mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 29, 2026 9:00 am**

: Αναμονή τέλος.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, τα ημικύκλια διαμέτρων AOB

και

εφάπτονται μεταξύ τους .

Υπολογίστε την : $\tan\widehat{OKC}$ . ( Τίτλος , για όσους ενδιαφέρονται για την "ώρα εφαπτομένης" )

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 29, 2026 9:30 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 29, 2026 9:00 am Αναμονή τέλος.pngΣτο τετράγωνο , τα ημικύκλια διαμέτρων και εφάπτονται μεταξύ τους .

Υπολογίστε την : $\tan\widehat{OKC}$ . ( Τίτλος , για όσους ενδιαφέρονται για την "ώρα εφαπτομένης" )

Έστω

η ακτίνα του μικρού ημικυκλίου και

η πλευρά του τετραγώνου.

Πυθαγόρειο στο τρίγωνο AOK,

$\displaystyle {\left( {r + \frac{a}{2}} \right)^2} = {(a - r)^2} + \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow r = \frac{a}{3}$

: Αναμονή τέλος.png (14.05 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

$\displaystyle \tan \varphi = \frac{r}{a} = \frac{1}{3},\tan \theta = \frac{{2(a - r)}}{a} = \frac{4}{3} \Rightarrow \tan \omega = \tan (\varphi + \theta ) = \dfrac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3}}}{{1 - \dfrac{4}{9}}} = 3$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 29, 2026 10:48 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 29, 2026 9:00 am Αναμονή τέλος.pngΣτο τετράγωνο , τα ημικύκλια διαμέτρων και εφάπτονται μεταξύ τους .

Υπολογίστε την : $\tan\widehat{OKC}$ . ( Τίτλος , για όσους ενδιαφέρονται για την "ώρα εφαπτομένης" )

Κατασκευάζουμε κύκλο (C,a)

που τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

Η

τέμνει την

στο

.Τότε το ημικύκλιο (K,KD=x)

εφάπτεται του ημικυκλίου $((O, \dfrac{a}{2} ))$ (απλή η απόδειξη)

Επειδή

εφάπτεται του «κάτω» ημικυκλίου , $KA^2=KE(KE+a) \Rightarrow (a-x)^2=x(x+a) \Rightarrow x= \dfrac{a}{3}$

Τώρα,από το ορθογώνιο τρίγωνο $KEC \Rightarrow tan \omega = \dfrac{a}{ \dfrac{a}{3} }=3$

: Αναμονή τέλος.png (48.86 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 29, 2026 11:48 am**

: Αναμονή τέλος.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Αν έχουμε την έμπνευση του κοινού εφαπτόμενου τμήματος , μπορούμε να παρατηρήσουμε

ότι : $\omega=\phi$ και το αποτέλεσμα είναι άμεσο . Σε περίπτωση απελπισίας μπορούμε και με

το : $\tan\phi\cdot\tan\omega\cdot \tan\theta=\tan\phi+\tan\omega+ \tan\theta$ ( Προσφιλές στον Γιώργο ) .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 29, 2026 7:02 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 29, 2026 9:00 am Αναμονή τέλος.pngΣτο τετράγωνο , τα ημικύκλια διαμέτρων και εφάπτονται μεταξύ τους .

Υπολογίστε την : $\tan\widehat{OKC}$ . ( Τίτλος , για όσους ενδιαφέρονται για την "ώρα εφαπτομένης" )

Ας είναι $\left( {K,x} \right)$ το ζητούμενο ημικύκλιο. Ο ομόκεντρος κύκλος που διέρχεται από το

θα διέρχεται

ακόμα από το σταθερό

, συμμετρικό του

ως προς το

και από το

, προς βορά σημείο του $AD\,$

κατά τμήμα DN = AO

. Δηλαδή το $\vartriangle NPO$ είναι σταθερό , οπότε ξέρουμε το κέντρο του.

: Αναμονή τέλος_ok.png (28.41 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

Θεωρώ

. Έστω ακόμα AE = y

. Προφανές $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}$ . Επειδή :

$\left\{ \begin{gathered} 2x + y = 6 \hfill \\ {\left( {x + y} \right)^2} + 9 = {\left( {x + 3} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = y = 2$ , .άρα $\boxed{\tan \omega = \tan \theta = 3}$

mathematica.gr

Αναμονή τέλος

Αναμονή τέλος

Re: Αναμονή τέλος

Re: Αναμονή τέλος

Re: Αναμονή τέλος

Re: Αναμονή τέλος