mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2026 6:46 am**

: Ο στόχος.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές

Οι ακτίνες δύο ομόκεντρων κύκλων διαφέρουν κατά

και η

είναι διάμετρος του μικρού .

Από σημείο

του μεγάλου , φέρουμε τις PA , PB

, οι οποίες τον ξανατέμνουν στα S , T

.

Δείξτε ότι η παράσταση : $\dfrac{PA}{AS}+\dfrac{PB}{BT}$ , ισούται με : $\dfrac{k^2+1}{k} , k>1$ και αν : k=5

,

βρείτε το άθροισμα των δύο ακτίνων .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 08, 2026 10:00 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 08, 2026 6:46 am Ο στόχος.pngΟι ακτίνες δύο ομόκεντρων κύκλων διαφέρουν κατά και η είναι διάμετρος του μικρού .

Από σημείο του μεγάλου , φέρουμε τις , οι οποίες τον ξανατέμνουν στα .

Δείξτε ότι η παράσταση : $\dfrac{PA}{AS}+\dfrac{PB}{BT}$ , ισούται με : $\dfrac{k^2+1}{k} , k>1$ και αν : ,

βρείτε το άθροισμα των δύο ακτίνων .

Έστω

η ακτίνα του μικρού και

η ακτίνα του μεγάλου κύκλου. Τότε θα είναι R=r+1.

Έστω ακόμα K, L

τα σημεία τομής του μεγάλου κύκλου με την AB.

: Ο στόχος.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

$\displaystyle PA \cdot AS = KA \cdot AL = 2r + 1 \Leftrightarrow P{A^2} = (2r + 1)\frac{{PA}}{{AS}}$ και ομοίως, $PB^2=(2r+1)\dfrac{PB}{BT}.$

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνω, $\displaystyle P{A^2} + P{B^2} = (2r + 1)\left( {\frac{{PA}}{{AS}} + \frac{{PB}}{{BT}}} \right).$ Αλλά με θεώρημα διαμέσων

στο PAB

έχω,

PA^2+PB^2=2R^2+2r^2=2(r+1)^2+2r^2=(2r+1)^2+1.

Επομένως:

$\displaystyle \frac{{PA}}{{AS}} + \frac{{PB}}{{BT}} = \frac{{{{(2r + 1)}^2} + 1}}{{2r + 1}} = \frac{{{k^2} + 1}}{k} \Rightarrow$ $\boxed{k=2r+1}$ και για k=5

είναι

και $\boxed{R+r=5}$

mathematica.gr

Ο στόχος

Ο στόχος

Re: Ο στόχος