mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 23, 2026 4:08 pm**

Να αποδείξετε πως δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί a, b, c

ώστε

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 23, 2026 7:17 pm**

Είσαι σίγουρος ότι είναι σωστή η εκφώνηση; Αντιθέτως, για α=1 , β=0 και γ:ακέραιο, παίρνουμε άπειρες λύσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 23, 2026 7:45 pm**

Και εγώ το παρατήρησα, αλλά λέω μήπως κάτι μου διαφεύγει.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 23, 2026 8:10 pm**

Σας παραθέτω την εκφώνηση όπως την βρήκα.

: Θεωρία αριθμών.png (32.89 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 23, 2026 8:16 pm**

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Δευ Φεβ 23, 2026 8:10 pm Σας παραθέτω την εκφώνηση όπως την βρήκα.Θεωρία αριθμών.png

Προφανώς τότε κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 23, 2026 8:25 pm**

Πράγματι υπάρχει ασάφεια στην άσκηση. Έπρεπε να έγραφαν και "για $a, b, c \neq 0$ ".

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 24, 2026 1:52 am**

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Δευ Φεβ 23, 2026 4:08 pm Να αποδείξετε πως δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί ώστε .

Ενδιαφέρουσα εξίσωση με μόνη αλλαγή ότι παρακάτω λύνω την παραπάνω διοφαντική εξίσωση στο σύνολο των ακεραίων χωρίς περιορισμούς για τα a,b,c

καθώς υπάρχουν λύσεις της διοφαντικής όπως ήδη παρατήρησαν και άλλα μέλη παραπάνω.

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Δευ Φεβ 23, 2026 8:25 pm Πράγματι υπάρχει ασάφεια στην άσκηση. Έπρεπε να έγραφαν και "για $a, b, c \neq 0$ ".

Ακόμη και αυτό να έγραφαν, η άσκηση θα ήταν λάθος καθώς υπάρχουν άπειρες λύσεις με μη μηδενικά τα a,b,c

όπως φαίνεται στη λύση παρακάτω (π.χ. $(a,b,c)=(-3,6,2), \ (-8,24,2), ...$ )

Πάμε να δώσουμε τη λύση στους ακεραίους.

$\blacksquare$ Αν a=0

τότε

όπου $k\geq 1$ θετικός ακέραιος.

$\blacksquare$ Αν a=1

έχουμε

με

ακέραιο.

$\blacksquare$ Αν a>1

γράφουμε την εξίσωση ως a^c-a^3=b^2

.

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

i) Αν c=3

τότε

άρα

, όπου το

ακέραιος.

ii) Αν c<3

τότε (αφού a>1

) η εξίσωση είναι αδύνατη.

iii) Αν c>3

:

Η εξίσωση γράφεται: $a^3\left(a^{c-3}-1\right)=b^2$ .

Αφού $\left(a^3, a^{c-3}-1\right)=1$ , άρα πρέπει οι αριθμοί $a^3, \ a^{c-3}-1$ να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

Έστω λοιπόν $a^{c-3}-1=m^2 \Leftrightarrow a^{c-3}-m^2=1$

$\bigstar$ Αν $c-3=1 \Leftrightarrow c=4$ τότε η εξίσωση γίνεται $a-m^2=1 \Rightarrow a=m^2+1$ που αντιβαίνει στο ότι το

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

$\bigstar$ Αν c-3>1

τότε η παραπάνω εξίσωση είναι εξίσωση Catalan άρα από το θεώρημα Mihailescu η μοναδική λύση της x^n-y^k=1

για

είναι η

. Αυτό σημαίνει ότι $a^{c-3}=9$ και m^2=8

, που είναι αδύνατον

$\blacksquare$ Αν a<0

, θέτω $a=-t, \ t \geq 1$ και η εξίσωση γίνεται (-t)^c-a^3=b^2

. Φανερά δε γίνεται το

να είναι αρνητικός ακέραιος.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

i) Αν o

είναι περιττός με $c\geq 1$ , τότε η εξίσωση γράφεται: b^2=t^3-t^c

.
$\bigstar$ Αν c=1

τότε $(a,b,c)=(0,0,1), \ (-1,0,1)$
$\bigstar$ Αν c=3

τότε

με

ακέραιο.
$\bigstar$ Αν $c\geq 5$ τότε b^2=t^3-t^c

και το δεύτερο μέλος είναι αρνητικό για $t\geq 2$ . Άρα μένει η περίπτωση t=1

απ' όπου

, όπου

ακέραιος.

ii) Αν ο

είναι άρτιος με $c\geq 2$ τότε η εξίσωση γράφεται $b^2=t^c+t^3=t^3\left(t^{c-3}+1\right)$ απ' όπου όπως πριν τα t^3

και $t^{c-3}+1$ πρέπει να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων. Έστω λοιπόν $t^{c-3}+1=y^2 \Leftrightarrow y^2-t^{c-3}=1$ η οποία είναι εξίσωση τύπου Catalan. Με όμοιο τρόπο όπως παραπάνω, οι περιπτώσεις $c-3=1, \ c-3>1$ δε δίνουν λύσεις ενώ η c-3<1