mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 17, 2026 2:42 pm**

Το

είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το

είναι το ίχνος του ύψους

, τα

και

είναι τα μέσα των πλευρών

και

αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι (M, B, D)

,

εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής.

Κάποιες πληροφορίες σχετικά με την πρόταση: Η παραπάνω πρόταση δεν είναι είναι δική μου, αλλά μου την έστειλε πριν κάποιους μήνες ένα μέλος στο AoPS σε προσωπικό μήνυμα ως άσκηση ζητόντας να βρεθεί η γωνία $\angle BAC$ , ομολογώ πως έκανα χρήση του GeoGebra για να βρω πως ο ζητούμενη είναι 90^0

διατύπωσα την πρόταση με τον τρόπο που βλέπετε πάνω και για ένα σχετικά μικρό χρονικό διάστημα προσπάθησα να την λύσω αλλά δεν έχω λύση. Επειδή λοιπόν την είχα ξεχάσει για κάποιους μήνες και την θυμήθηκα τώρα πρόσφατα, την αναρτώ εδώ ως άσκηση.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 17, 2026 4:37 pm**

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Παρ Απρ 17, 2026 2:42 pm Το είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το είναι το ίχνος του ύψους , τα και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι , εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής.

: εφαπτ κύκ.png (24.21 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

.
Επειδή η

είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου DAC

έχουμε

, και άρα $\widehat {NCD}=\theta = \widehat {CDN}$ . Φέρνουμε τώρα την εφαπτομένη

στον επάνω κύκλο, οπότε είναι και $\theta = C= \widehat {NDE}$ (χορδή και εφαπτομένη). Με άλλα λόγια έχουμε την ισότητα των τριών γωνιών $\theta$ του σχήματος.

Όμοια $\widehat {MDB}= B = \phi$ . Άρα έχουμε από την $\theta + \phi = B+C=90$ ότι

$\widehat {EDM}= 180- 2\theta - \phi = 180- \theta - (\theta +\phi)= 90- \theta =\phi =B$

Άρα από χορδή και εφαπτομένη η

εφάπτεται του κάτω κύκλου. Συνεπώς η

είναι κοινή εφαπτομένη στους δύο κύκλους, και άρα οι δύο αυτοί κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους, όπως θέλαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 17, 2026 8:53 pm**

Και ο κύκλος των σημείων ΑΜDΝ εφάπτεται της διακέντρου των προηγουμένων κύκλων στο D

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 18, 2026 7:39 am**

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Παρ Απρ 17, 2026 2:42 pm Το είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το είναι το ίχνος του ύψους , τα και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι , εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής.

Κάποιες πληροφορίες σχετικά με την πρόταση: Η παραπάνω πρόταση δεν είναι είναι δική μου, αλλά μου την έστειλε πριν κάποιους μήνες ένα μέλος στο AoPS σε προσωπικό μήνυμα ως άσκηση ζητόντας να βρεθεί η γωνία $\angle BAC$ , ομολογώ πως έκανα χρήση του GeoGebra για να βρω πως ο ζητούμενη είναι διατύπωσα την πρόταση με τον τρόπο που βλέπετε πάνω και για ένα σχετικά μικρό χρονικό διάστημα προσπάθησα να την λύσω αλλά δεν έχω λύση. Επειδή λοιπόν την είχα ξεχάσει για κάποιους μήνες και την θυμήθηκα τώρα πρόσφατα, την αναρτώ εδώ ως άσκηση.

Καλημέρα

$MT//AD//NL,BT=TD=\dfrac{1}{2}\dfrac{c^{2}}{a},DL=LC=\dfrac{b^{2}}{2a},AD=2MT=2NL, \hat{BAD}=\omega =\hat{MDA}=\hat{NDC}, \hat{TKD} =2\omega =\hat{DIL}$

Οπότε τα τρίγωνα KTD,DLI

ειναι όμοια και $\hat{KDT}=\hat{LDI}$ και τα σημεία K,D,I

είναι συνευθειακά

με $\varrho =KD=\dfrac{ca}{4b},R=\dfrac{ba}{4c}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 18, 2026 12:25 pm**

Ωραίες όλες οι αποδείξεις και σχετικά σχόλια μέχρι τώρα. Έχει απομείνει μόνο το αντίστροφο της πρότασης χωρίς απόδειξη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 18, 2026 6:49 pm**

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Παρ Απρ 17, 2026 2:42 pm Το είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το είναι το ίχνος του ύψους , τα και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι , εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής.

Κάποιες πληροφορίες σχετικά με την πρόταση: Η παραπάνω πρόταση δεν είναι είναι δική μου, αλλά μου την έστειλε πριν κάποιους μήνες ένα μέλος στο AoPS σε προσωπικό μήνυμα ως άσκηση ζητόντας να βρεθεί η γωνία $\angle BAC$ , ομολογώ πως έκανα χρήση του GeoGebra για να βρω πως ο ζητούμενη είναι διατύπωσα την πρόταση με τον τρόπο που βλέπετε πάνω και για ένα σχετικά μικρό χρονικό διάστημα προσπάθησα να την λύσω αλλά δεν έχω λύση. Επειδή λοιπόν την είχα ξεχάσει για κάποιους μήνες και την θυμήθηκα τώρα πρόσφατα, την αναρτώ εδώ ως άσκηση.

Για το αντίστροφο , ισχύει ότι οι κύκλοι (M,B,D),(N,C,D)

εφάπτονται στο σημείο

Θα αποδειχθεί ότι η γωνία $\hat{A}=90^{0}$

$MT//AD\Rightarrow \hat{BMT}=\hat{MAD}=\omega =\hat{MDA},\hat{TKD}=2\omega, \hat{KDT}=90-2\omega =D_{1},(1), NL//AD\Rightarrow \hat{DAC} =\hat{LNC}=\phi =\hat{DNL},\hat{NDL}=90-\phi ,\hat{DIL}=180-2\phi ,\hat{LDI}=2\phi -90=D_{2}, D_{1}=D_{2}\Rightarrow \omega +\phi =90^{0} \Rightarrow \hat{A}=90^{0}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 19, 2026 9:15 am**

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: Παρ Απρ 17, 2026 2:42 pm Το είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το είναι το ίχνος του ύψους , τα και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι , εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής.

Κάποιες πληροφορίες σχετικά με την πρόταση: Η παραπάνω πρόταση δεν είναι είναι δική μου, αλλά μου την έστειλε πριν κάποιους μήνες ένα μέλος στο AoPS σε προσωπικό μήνυμα ως άσκηση ζητόντας να βρεθεί η γωνία $\angle BAC$ , ομολογώ πως έκανα χρήση του GeoGebra για να βρω πως ο ζητούμενη είναι διατύπωσα την πρόταση με τον τρόπο που βλέπετε πάνω και για ένα σχετικά μικρό χρονικό διάστημα προσπάθησα να την λύσω αλλά δεν έχω λύση. Επειδή λοιπόν την είχα ξεχάσει για κάποιους μήνες και την θυμήθηκα τώρα πρόσφατα, την αναρτώ εδώ ως άσκηση.

Για το αντίστροφο:

Αν K, L

είναι τα κέντρα των κύκλων (M, B, D)

και

τότε τα σημεία K, D, L

είναι συνευθειακά και BK||CL.

Άρα, $\displaystyle B\widehat KD = D\widehat LC \Leftrightarrow \frac{{B\widehat MD}}{2} = \frac{{180^\circ - D\widehat NC}}{2} \Leftrightarrow B\widehat MD + D\widehat NC = 180^\circ,$ δηλαδή το AMDN