mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 27, 2026 7:17 am**

: Τετριμμένο ελάχιστο 2.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Η ημιευθεία

είναι παράλληλη και ομόρροπη προς την ακτίνα

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ .

Σε σημείο

το οποίο κινείται στο τόξο , φέρω την εφαπτομένη , η οποία τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

. Βρείτε το ελάχιστο του αθροίσματος : (BTS)+(SAP)

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 31, 2026 10:30 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 27, 2026 7:17 am Τετριμμένο ελάχιστο 2.pngΗ ημιευθεία είναι παράλληλη και ομόρροπη προς την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ .

Σε σημείο το οποίο κινείται στο τόξο , φέρω την εφαπτομένη , η οποία τέμνει την στο

και την προέκταση της στο . Βρείτε το ελάχιστο του αθροίσματος : .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle (BTS) + (SAP) = \frac{1}{2}BT(r - x) + \frac{1}{2}APx$

και από τα όμοια τρίγωνα STN, SOL,

είναι $\displaystyle BT = ST = \frac{{r(r - x)}}{{OL}} = \frac{{r(r - x)}}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}$

: Τετριμμένο ελάχιστο.2.png (18.88 KiB) Προβλήθηκε 32 φορές

Εξάλλου, $\displaystyle {r^2} = OL \cdot OP \Leftrightarrow OP = \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }} \Rightarrow AP = OP - r = \frac{{{r^2} - r\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}$

Το άθροισμα των εμβαδών δίνεται από τη συνάρτηση: $\boxed{f(x) = \frac{{r{{(r - x)}^2} + x\left( {{r^2} - r\sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)}}{{2\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}}$

Επί της ουσίας η άσκηση τελειώνει εδώ, αφού ο τύπος της συνάρτησης δεν είναι διαχειρίσιμος.

Ωστόσο, με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω $\boxed{f_{\rm min}\simeq 0,17427r^2}$ όταν $\boxed{x\simeq 0,57874r}$

mathematica.gr

Τετριμμένο ελάχιστο 2

Τετριμμένο ελάχιστο 2

Re: Τετριμμένο ελάχιστο 2