mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 30, 2026 10:52 am**

: Ελάχιστο άθροισμα..png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

Θεωρώ ημιευθεία

παράλληλη και ομόρροπη της

και επί αυτής τυχόν

σημείο

Αν

είναι το σημείο τομής των BS, AC

και

η απόσταση των δύο παραλλήλων, να βρείτε το ελάχιστο

του αθροίσματος (MAS)+(MBC),

καθώς και τη θέση του

για την οποία επιτυγχάνεται αυτό.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 30, 2026 12:02 pm**

Καλημέρα σε όλους. Μία προσπάθεια, δίχως παραγώγους, με τις παλιές αλγεβρικές μεθόδους που αρέσουν στον Γιώργο (και όχι μόνον στον Γιώργο, βεβαίως).

: Ελάχιστο άθροισμα..png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Από την ομοιότητα των MAS, BMC

είναι $\displaystyle \frac{{AS}}{a} = \frac{{h - x}}{x}$ , όπου

ύψος από

στη

.

$\displaystyle \left( {MAS} \right) + \left( {BMC} \right) = \frac{{AS \cdot \left( {h - x} \right)}}{2} + \frac{{ax}}{2} = \frac{{a{{\left( {h - x} \right)}^2} + a{x^2}}}{{2x}} =$

$\displaystyle = \frac{{2a{x^2} - 2ahx + a{h^2}}}{{2x}} = ax + \frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x} - ah$

Επειδή το γινόμενο $\displaystyle \left( {ax} \right) \cdot \left( {\frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x}} \right) = \frac{{{a^2}{h^2}}}{2}$ είναι σταθερό,
το άθροισμα $\displaystyle \left( {ax} \right) + \left( {\frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x}} \right)$ γίνεται ελάχιστο

όταν $\displaystyle \left( {ax} \right) = \left( {\frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{h^2}}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{h\sqrt 2 }}{2}$ αφού $\displaystyle \left( {x > 0} \right)$

Οπότε $\displaystyle AS = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)a$ (κατασκευάσιμο)
και $\displaystyle \left( {MAS} \right) + {\left( {BMC} \right)_{\min }} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)ah$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 30, 2026 12:20 pm**

Και η άσκηση και ή λύση πολύ ωραίες

mathematica.gr

Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Re: Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Re: Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών