mathematica.gr

Ναι, σωστά διαβάσατε!
Θα αποδείξουμε εδώ ότι όλα τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα!

Για το τυχαίο τρίγωνο του σχήματός μας θα αποδείξουμε πρώτα ότι είναι ισοσκελές, με .
Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας και τη μεσοκάθετο της πλευράς .
Έστω το σημείο τομής τους.

Η απόδειξη θα γίνει σε δύο μέρη:
ΜΕΡΟΣ 1:
ΜΕΡΟΣ 2:
Επομένως και .

ΜΕΡΟΣ 1:
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα και . Αυτά έχουν:
(κοινή)
( διχοτόμος)

Επομένως τα δύο τρίγωνα είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια κι έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση.
Άρα θα ισχύει και: .

ΜΕΡΟΣ 2:
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα και . Αυτά έχουν:
(χαρακτηριστική ιδιότητα σημείων μεσοκαθέτου)
(χαρακτηριστική ιδιότητα σημείων διχοτόμου)

Επομένως τα δύο τρίγωνα είναι ίσα, διότι είναι ορθογώνια κι έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία.
Άρα θα ισχύει και: .

Συμπέρασμα: .
Άρα το τυχαίο τρίγωνο τελικά αποδείχθηκε ισοσκελές.

Όμοια αποδεικνύεται κι ότι .

Άρα όλες οι πλευρές ίσες μεταξύ τους, δηλαδή ισόπλευρο!

...ή μήπως δεν είναι;....

(Η παραπάνω "απόδειξη" δεν είναι δική μου. Θα αναφέρω παρακάτω από πού την άντλησα)

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 10:44 am (Η παραπάνω "απόδειξη" δεν είναι δική μου. Θα αναφέρω παρακάτω από πού την άντλησα)

.
Φυσικά δεν είναι δική σου. Είναι άλλωστε πολλή γνωστή, εδώ και ενάμιση αιώνα, και συνήθως εμφανίζεται με πιο λιτή απόδειξη.

Θα ήταν ενδιαφέρον να μας πεις από πού την άντλησες γιατί ο ίδιος ξέρω πάρα πολλά σημεία που εμφανίζεται, όπως για παράδειγμα στο βιβλίο του E.A. Maxwell, Fallacies in Mathematics, Cambridge University Press, 1969, στην σελίδα 13.

Αυτό που δεν είναι τόσο γνωστό είναι ότι ο επινοητής του παραδόξου είναι ο Charles Dodgson (1832–1898), Άγγλος Μαθηματικός, Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, γριφολόγος, συγγραφέας, εφευρέτης και σπουδαίος φωτογράφος (τότε η τέχνη της φωτογραφίας ήταν νέα).

Στο ευρύ κοινό είναι γνωστός με το ψευδώνυμό του Lewis Carroll, με το οποίο έγραψε το παιδικό διήγημα Η Αλίκη στην χώρα των θαυμάτων (1865), και πολλά άλλα.

Δείτε βιογραφικά του

εδώ

Μία υπόδειξη μόνον προς νέους περιηγητές του που θα ασχοληθούν με το όμορφο παράδοξο του Charles Dodgson.

Μην εμπιστεύεστε αυτό που (νομίζετε ότι) βλέπετε και αναζητήστε τo Νότιο Πόλο του τριγώνου, με Βόρειο Πόλο το .

Αλλιώς κάντε εσείς το σχήμα προσεκτικά.

από τα πολύ παλιά εδώ.
Υ.Γ: Μπορούμε να βρούμε και εδώ μια πολύ ωραία συλλογή από τον Θανάση Δρούγα

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 11:08 am

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 10:44 am (Η παραπάνω "απόδειξη" δεν είναι δική μου. Θα αναφέρω παρακάτω από πού την άντλησα)

.
Φυσικά δεν είναι δική σου. Είναι άλλωστε πολλή γνωστή, εδώ και ενάμιση αιώνα, και συνήθως εμφανίζεται με πιο λιτή απόδειξη.

Θα ήταν ενδιαφέρον να μας πεις από πού την άντλησες γιατί ο ίδιος ξέρω πάρα πολλά σημεία που εμφανίζεται, όπως για παράδειγμα στο βιβλίο του E.A. Maxwell, Fallacies in Mathematics, Cambridge University Press, 1969, στην σελίδα 13.

Ευχαριστώ για τις πληροφορίες!

Έκανα αναζήτηση στο φόρουμ πριν κάνω την ανάρτηση, αλλά όπως φάνηκε δεν την είχα κάνει σωστά.
Άλλωστε αυτή η άσκηση αφορά την ύλη της α΄ λυκείου κι όχι της β΄ λυκείου, όπως μπήκε εκεί.
Μπορεί να διδαχθεί ακόμα και στην γ΄ γυμνασίου.

Την είχα ακούσει από τον καθηγητή μας στο Μαθηματικό (ΕΚΠΑ) Χρόνη Στράντζαλο, στο πλαίσιο ενός μαθήματος παιδαγωγικών των μαθηματικών. Μας την είχε παρουσιάσει για να μας παροτρύνει να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να μην εμπιστεύονται την εποπτεία. Άλλωστε ένας βασικός σκοπός που τα παιδιά διδάσκονται μαθηματικά είναι η καλλιέργεια σκέψης.

Μου θυμίζει το πολύ ωραίο θέμα 49 των προτύπων 2024, που είχα αναρτήσει πρόσφατα:
viewtopic.php?t=79496
Παρόμοια σχόλια θα έγραφα κι εδώ!


Δύο σχόλια μόνο για την άσκηση:

Πήγα εδώ:

Christos.N έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 11:28 am από τα πολύ παλιά εδώ.
Υ.Γ: Μπορούμε να βρούμε και εδώ μια πολύ ωραία συλλογή από τον Θανάση Δρούγα

Δεν συμφωνώ με τη λύση της Φωτεινής και του chris_gatos που γράφει εκεί (ότι δηλαδή το σημείο τομής δεν είναι στο εσωτερικό του τριγώνου).
Δεν εξηγεί το παράδοξο, τουλάχιστον έτσι όπως διατυπώθηκε. Αντιθέτως, πάλι μπορεί να υπάρχει πρόβλημα.

Η σωστή εξήγηση είναι:
Αν το Ζ είναι μεταξύ του Α και του Ε, τότε το Β είναι μεταξύ του Η και του Ε ή το ανάποδο.
Αλλιώς μπορεί πάλι να προκύψει το παράδοξο, αφαιρώντας τα ίσα τμήματα!

Επίσης θεωρώ ότι είναι καλό να γίνει πριν διδαχθεί (αν διδαχθεί) η άσκηση του βιβλίου Γεωμετρίας α΄ λυκείου:
Σύνθετο Θέμα 1, σελίδα 54.

Παραθέτω εδώ την άσκηση και τη λύση της στο λυσάρι.

.

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 1:02 pm Δεν συμφωνώ με τη λύση της Φωτεινής και του chris_gatos που γράφει εκεί (ότι δηλαδή το σημείο τομής δεν είναι στο εσωτερικό του τριγώνου).
Δεν εξηγεί το παράδοξο, τουλάχιστον έτσι όπως διατυπώθηκε. Αντιθέτως, πάλι μπορεί να υπάρχει πρόβλημα.

. .
Αντιθέτως, μια χαρά είναι η εξήγηση της Φωτεινής. Προφανώς κάτι δεν πρόσεξες από αυτά που γράφει. Για διευκόλυνση του αναγνώστη, παραθέτω το κείμενό της.

Με λίγα λόγια τεκμηριώνει ότι το σημείο τομής είναι εξωτερικά του τριγώνου. Άρα, αν μία απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι το σημείο τομής είναι εσωτερικά του τριγώνου, τότε είναι εκ προοιμίου εσφαλμένη αφού βασίζεται σε λάθος σχήμα. Αυτό ΕΙΝΑΙ εξήγηση του παραδόξου, παρά τον ισχυρισμό του αντιθέτου.
.

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 1:02 pm Η σωστή εξήγηση είναι:
Αν το Ζ είναι μεταξύ του Α και του Ε, τότε το Β είναι μεταξύ του Η και του Ε ή το ανάποδο. ...

.
Η ερμηνεία αυτή χρειάζεται συμπλήρωση. Ως έχει, λείπει η ουσία.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 2:06 pm .

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 1:02 pm Δεν συμφωνώ με τη λύση της Φωτεινής και του chris_gatos που γράφει εκεί (ότι δηλαδή το σημείο τομής δεν είναι στο εσωτερικό του τριγώνου).
Δεν εξηγεί το παράδοξο, τουλάχιστον έτσι όπως διατυπώθηκε. Αντιθέτως, πάλι μπορεί να υπάρχει πρόβλημα.

.
παραδ ισοσκ.png
.
Αντιθέτως, μια χαρά είναι η εξήγηση της Φωτεινής. Προφανώς κάτι δεν πρόσεξες από αυτά που γράφει. Για διευκόλυνση του αναγνώστη, παραθέτω το κείμενό της.

Με λίγα λόγια τεκμηριώνει ότι το σημείο τομής είναι εξωτερικά του τριγώνου. Άρα, αν μία απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι το σημείο τομής είναι εσωτερικά του τριγώνου, τότε είναι εκ προοιμίου εσφαλμένη αφού βασίζεται σε λάθος σχήμα. Αυτό ΕΙΝΑΙ εξήγηση του παραδόξου, παρά τον ισχυρισμό του αντιθέτου.
.

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 1:02 pm Η σωστή εξήγηση είναι:
Αν το Ζ είναι μεταξύ του Α και του Ε, τότε το Β είναι μεταξύ του Η και του Ε ή το ανάποδο. ...

.
Η ερμηνεία αυτή χρειάζεται συμπλήρωση. Ως έχει, λείπει η ουσία.

Σωστό! Μια χαρά είναι η απόδειξη!

Αλλά αρκεί να δείξουμε ότι το σημείο τομής είναι εξωτερικό του τριγώνου για να αρθεί το παράδοξο;

Δηλαδή θα έρθει αυτός που παρουσίασε την απόδειξη του παράδοξου και θα μας πει:
Ωραία, είναι εξωτερικό σημείο.
Διορθώνω, λοιπόν, το τέλος της απόδειξής μου και γράφω:

ΑΕ=ΕΖ-ΖΑ
ΒΕ=ΗΕ-ΗΒ

Άρα πάλι ΑΕ=ΒΕ, δηλαδή το ΑΒΕ ισοσκελές.
(Οι ονομασίες των τμημάτων αφορούν το αρχικό σχήμα)

Βάζω ξανά το σχήμα, με Ο να είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου, για να γίνει κατανοητό τι εννοώ.

Όλη η απόδειξη είναι σωστή και στο νέο σχήμα. Δεν την ξαναγράφω, μπορείτε να τη δείτε στην αρχή.
Αποδεικνύεται με τον ακριβώς ίδιο τρόπο ότι:
και

Αυτό που αλλάζει είναι το τέλος:


Άρα , ισοσκελές.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 2:06 pm Άρα, αν μία απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι το σημείο τομής είναι εσωτερικά του τριγώνου, τότε είναι εκ προοιμίου εσφαλμένη αφού βασίζεται σε λάθος σχήμα. Αυτό ΕΙΝΑΙ εξήγηση του παραδόξου, παρά τον ισχυρισμό του αντιθέτου.
.

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 1:02 pm Η σωστή εξήγηση είναι:
Αν το Ζ είναι μεταξύ του Α και του Ε, τότε το Β είναι μεταξύ του Η και του Ε ή το ανάποδο. ...

.
Η ερμηνεία αυτή χρειάζεται συμπλήρωση. Ως έχει, λείπει η ουσία.

Επομένως συνοψίζοντας:

Η "απόδειξη" ΔΕΝ "βασίζεται στο γεγονός ότι το σημείο τομής είναι εσωτερικά του τριγώνου."
Παραπάνω η απόδειξη συμπληρώθηκε και για αυτήν την περίπτωση.
Συμφωνώ όμως ότι ίσως για σκόπιμους λόγους παραλείφθηκε η αντίθετη περίπτωση, για να "μην ανοίξουν τα μάτια" του ακροατή κι αρχίσει να το ψάχνει περισσότερο. Άλλωστε σε όλα τα παράδοξα αποκρύπτεται κάποια αλήθεια (σκόπιμα ή όχι).
Αλλά ναι, έπρεπε να ειπωθεί κανονικά εξ αρχής, για λόγους πληρότητας.

Η απόδειξη βασίζεται στο ότι δεν λήφθηκε υπόψιν ο ισχυρισμός:
"Αν το Ζ είναι μεταξύ του Α και του Ε, τότε το Β είναι μεταξύ του Η και του Ε ή το ανάποδο".
(Ναι, χρειάζεται απόδειξη του ισχυρισμού)

athanasio έγραψε: Δευ Ιουν 29, 2026 2:25 pm Αλλά αρκεί να δείξουμε ότι το σημείο τομής είναι εξωτερικό του τριγώνου για να αρθεί το παράδοξο;

Δηλαδή θα έρθει αυτός που παρουσίασε την απόδειξη του παράδοξου και θα μας πει:
Ωραία, είναι εξωτερικό σημείο.
Διορθώνω, λοιπόν, το τέλος της απόδειξής μου και γράφω:

ΑΕ=ΕΖ-ΖΑ
ΒΕ=ΗΕ-ΗΒ

Άρα πάλι ΑΕ=ΒΕ, δηλαδή το ΑΒΕ ισοσκελές.

.
Ναι, αρκεί να αποδείξει κανείς ότι το σημείο τομής είναι εξωτερικό του τριγώνου. Από κει και πέρα δεν έχει απολύτως τίποτα άλλο να κάνει. Και εξηγούμαι: Το να δείξει ότι το σημείο πρέπει να είναι εξωτερικό δείχνει ότι το σχήμα που βασίστηκε η πρώτη απόδειξη (με την υπόθεση ότι είναι εσωτερικό το σημείο τομής) είναι εσφαλμένη διότι το σχήμα είναι λάθος. Τώρα εάν υπάρχει κάποια ΑΛΛΗ απόδειξη για εξωτερικό σημείο που είναι επίσης λάθος το σχήμα, δεν αφορά την άρση του παραδόξου για το εσωτερικό σημείο.

Με πρακτικούς όρους, η απόδειξη που δίνεις για εξωτερικό σημείο είναι επίσης λάθος διότι βασίζεται σε λάθος σχήμα. Οπότε είναι μια άλλη ιστορία που δεν αφορά εκείνον ο οποίος καταρρίπτει την απόδειξη για το εσωτερικό σημείο.

Το σωστό σχήμα για το εξωτερικό σημείο είναι το επισυναπτόμενο. Με αυτό απορρίπτεται η "απόδειξη" που γράφεις.
.

Καλησπέρα σε όλους. Για την πληρότητα της συζήτησης δίνω συγκεντρωμένα κάποια ερωτήματα και απαντήσεις (που έχουν ήδη διάσπαρτα δοθεί), σχετικά με το θέμα.

Γιατί το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας και της μεσοκάθετης της είναι εξωτερικό του τριγώνου;



Αν έχει προηγηθεί η παραπάνω παρουσίαση του παραδόξου της "φαινομενικής ισότητας", θα ήταν πολύ εύκολο να επικαλεστούμε την απαγωγή σε άτοπο: "Αν ήταν εσωτερικό σημείο, θα προέκυπτε , που είναι άτοπο, άρα είναι εξωτερικό σημείο".

Σωστή, βεβαίως, απόδειξη, αλλά θα αναζητήσουμε μια ευθεία απόδειξη, ανεξάρτητη της προηγηθείσας συζήτησης.

Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς τέμνει τη στο και τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο . Άρα το είναι μέσο του τόξου , οπότε .

Τότε , ως εγγεγραμμένες που βαίνουν σε ίσα τόξα, άρα η είναι η διχοτόμος της .

Oπότε, πάντοτε η διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου και η μεσοκάθετος της απέναντι πλευράς τέμνονται σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (το σημείο λέγεται Νότιος Πόλος του τριγώνου).

Κι εδώ, όμως, για την αυστηρότητα της απόδειξής μας, αποδεικνύουμε και την παρακάτω (προφανή στα μάτια των μαθητών) πρόταση:

Τα σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, με εξαίρεση τις κορυφές του, είναι πάντοτε εξωτερικά του τριγώνου.

Πράγματι, αν σημείο εσωτερικό των πλευρών του τριγώνου π.χ. της πλευράς , τότε , οπότε και για τα πλάγια τμήματα και θα ισχύει , άρα εσωτερικό σημείο του κύκλου.

Συνεχίζοντας, αποδεικνύω και το τελευταίο σημείο συζήτησης σχετικά με το παράδοξο που προκαλεί το λανθασμένο σχήμα:

Θα αποδείξουμε ότι αν , Νότιος πόλος του και κάθετες στις ευθείες των , τότε στην προέκταση της και εσωτερικό του .


Απόδειξη:

οπότε και τα τόξα είναι ομοίως άνισα, άρα ,

οπότε .

Έτσι, στο αμβλυγώνιο τρίγωνο το ύψος είναι στην προέκταση της , ενώ στο οξυγώνιο τρίγωνο το ύψος είναι εσωτερικό της

Ωραίο το τελευταίο!

Να συμπληρώσω μόνο μία περίπτωση για την οποία δεν έχει γίνει διερεύνηση:
Το σημείο τομής να είναι πάνω στην πλευρά BC (δηλαδή ούτε εσωτερικό, ούτε εξωτερικό).

Τότε η διχοτόμος είναι και διάμεσος, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.