mathematica.gr

.
Ένας εξερευνητής θέλει να διασχίσει τον λαβύρινθο της εικόνας, από το σημείο με την ένδειξη «αρχή» έως το σημείο με την ένδειξη «τέλος». Μπορεί να κινηθεί μόνο οριζόντια ή κάθετα και μπορεί να περάσει μόνο μέσα από λευκούς κύκλους σε γειτονικούς λευκούς κύκλους. Πρέπει, επίσης, να περάσει από όλους τους λευκούς κύκλους από ακριβώς μία φορά τον καθένα. Ποια είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει;

Για την λύση, παρακαλώ να υπάρχει και ένα σκεπτικό που να αιτιολογεί κάποια από τα βήματα. Επίσης, καλό είναι να τεκμηριωθεί, έστω πρόχειρα, ότι η διαδρομή είναι μοναδική.

Kαλησπέρα σε όλους. Δίνω μια εξήγηση της μοναδικότητας της διαδρομής, χρησιμοποιώντας αρκετά εκτεταμένη λεκτική περιγραφή. Θα χαρώ να δω κάτι πιο κομψό και πειστικό.

Διαδρομή: 1–2 υποχρεωτικά. Αν πάμε 2–5, τότε στο 3 θα πάμε υποχρεωτικά από το 4, δίχως διέξοδο. Άρα πάμε 2–3–4. Αν στρίψουμε δεξιά (στο 19) τότε στο 5 θα πάμε μόνον από το 6, δίχως διέξοδο. Οπότε πάμε 4–5–6–7 (υποχρεωτικά για τον ίδιο λόγο) κ.ο.κ. 8–9–10–11–12. Ομοίως, αν πάμε στο 17, όταν επιστρέψουμε στο 13, 14 δεν έχουμε διέξοδο. Πάμε 13–14. Αν πάμε επάνω στο 17, τότε το 15 δεν θα έχει διέξοδο. Άρα πάμε 15-16–17 (για τον ίδιο λόγο), 18–19 κ.ο.κ. με τη σειρά που είναι σημειωμένα τα βήματα στο σχήμα.

Γιώργο, ωραιότατα. Σε ευχαριστώ.

Δίνω την δική μου εκδοχή ανακάλυψης της διαδρομής. Για το συγκεκριμένο πρόβλημα, η ανακάλυψη της διαδρομής δεν είναι τόσο δύσκολη, αλλά η τεχνική που δίνω λειτουργεί και σε πιο σύνθετες καταστάσεις τις οποίες δεν θα μπορούσε κανείς να λύσει χωρίς κάποιες σκέψεις που καταγράφω:

Δεν σχεδιάζουμε το μονοπάτι του εξερευνητή με τυχαίες δοκιμές ούτε το σχεδιάζουμε με μια μονοκονδυλιά από την αρχή μέχρι το τέλος. Αντίθετα, το σχεδιάζουμε τμηματικά μετά από κάποιες σκέψεις. Αυτό που πρέπει να παρατηρήσει κανείς είναι ότι ορισμένοι κύκλοι συνδέονται με ακριβώς έναν ή με ακριβώς δύο άλλους: στην εικόνα παρακάτω οι κύκλοι αυτοί είναι χρωματισμένοι με πράσινο χρώμα. Η διαδρομή μέσα από αυτούς τους κύκλους είναι χωρίς επιλογή (έρχεται από έναν από τους δύο γείτονες και φεύγει προς τον άλλον). Επομένως σχεδιάζουμε το αντίστοιχο τμήμα της διαδρομής (τα κόκκινα τμήματα στο σχήμα). Όταν τελειώσουμε τα κόκκινα επιμέρους τμήματα, θα διαπιστώσουμε ότι τώρα υπάρχουν μερικοί νέοι κύκλοι (οι κίτρινοι στο σχήμα) που συνδέονται με ακριβώς δύο άλλους γιατί κάποιοι από τους γειτονικούς τους κύκλους είναι ήδη στο μονοπάτι. Με βάση τους κίτρινους κύκλους (δεν σχεδιάζονται όλοι εδώ, αλλά τους αφήνουμε για να τους εντοπίσει ο αναγνώστης) μπορούν να προστεθούν περισσότερα τμήματα της διαδρομής (συμπληρώστε τις λεπτομέρειες). Όταν γίνει αυτό θα έχουμε σχεδιασμένο ένα αρκετά μεγάλο τμήμα της διαδρομής και θα είναι τώρα εύκολο να το συμπληρώσουμε μέχρι τέλους. Η εικόνα κάτω δεξιά δείχνει την πλήρη διαδρομή, η οποία είναι και μοναδική.