mathematica.gr • Ντουζίνα

Σελίδα 1 από 1

Ντουζίνα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 28, 2026 7:50 pm

από KARKAR

: Ντουζίνα.png (7.39 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

ABC

, με :

AB=9 , AC=6

, θεωρούμε σημεία S , P ,

S , P ,

των

AB , AC ,

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AS=AP=x

AS=AP=x

. Αν :

S' , P'

οι προβολές

των S,P

S,P

στην υποτείνουσα

, για ποια τιμή του

είναι :

(ASS'P'P)=12

;

Re: Ντουζίνα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 28, 2026 8:33 pm

από Mihalis_Lambrou

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2026 7:50 pm Ντουζίνα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : $AB=9 , AC=6$ , θεωρούμε σημεία

των $AB , AC ,$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Αν : $S' , P'$ οι προβολές

των στην υποτείνουσα , για ποια τιμή του είναι : $(ASS'P'P)=12$ ;

: ντουζ.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές

.
Ισοδύναμα θέλουμε

(SBS')+(PCP')= (ABC)- (ASS'P'P)= 27-12=15

(*).

Από την ομοιότητα των τριγώνων

SBS', ABC

και αφού

BC^2= 9^2+6^2=117

έχουμε

\dfrac {(SBS')}{27}= \dfrac {SB^2}{BC^2}= \dfrac {(9-x)^2}{117}

. Όμοια

\dfrac {(PCP')}{27}= \dfrac {(6-x)^2}{117}

Άρα από την (*) είναι

\dfrac {27 (9-x)^2}{117}+ \dfrac {27 (6-x)^2}{117}= 15

. Λύνοντας, $\boxed {x=2}$ ή x=13

x=13

, αλλά κρατάμε την πρώτη.

Re: Ντουζίνα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 30, 2026 3:34 pm

από KARKAR

Εξαιρετική αντιμετώπιση

: Λήμμα.png (4.78 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές

Μια πιο πεζή λύση : Με χρήση του λήμματος και δεδομένου ότι :

\sin 2\theta=\dfrac{12}{13}

, παίρνουμε :

\dfrac{3}{13}((9-x)^2+(6-x)^2)=15

, ισοδύναμα :

x^2-15x+26=0

, με προφανείς πλέον

ρίζες , τις x=2

x=2

( δεκτή ) και : x=13

x=13

( απορρίπτεται ).