mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 14, 2026 5:32 pm**

: Μέγιστη τιμή γινομένου.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές

Έστω

τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου

BC=2R.

Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της

τέμνει

τις BA, AC

στα σημεία P, N

αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου

MN\cdot MP.

24 ώρες μόνο για μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 16, 2026 12:11 am**

george visvikis έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 5:32 pm Μέγιστη τιμή γινομένου.png
Έστω τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $BC=2R.$ Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $MN\cdot MP.$

: Μέγιστη τιμή.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

.
Από τα όμοια τρίγωνα

PBM, NMC

έχουμε

\dfrac {BM}{MN}=\dfrac {MP}{MC}

. Άρα

MN\cdot MP=BM\cdot MC

, που σημαίνει ότι η εύρεση του μεγίστου γινομένου

MN\cdot MP

ανάγεται στην εύρεση του μεγίστου γινομένου

BM\cdot MC

. Αλλά τα

BM, \,MC

έχουν σταθερό άθροισμα,

BM+MC=BC=2R

. Άρα πετυχαίνουμε το μέγιστο όταν

BM=MC=R

, και η τιμή του μεγίστου είναι τότε

(MN\cdot MP)_{max}=(BM\cdot MC)_{max} =\boxed { R^2}

Σχόλια.

α) Το ενδιαφέρον είναι ότι η παραπάνω απόδειξη δείχνει πως όταν μεταβάλλεται το

αλλά το

μένει σταθερό, τότε η τιμή του γινομένου

MN\cdot MP

δεν αλλάζει. Αντίθετα., όταν μένει σταθερό το

αλλά το

μεταβάλλεται, τότε η τιμή του ίδιου γινομένου αλλάζει.

β) Η παραπάνω ισότητα γινομένων μπορεί να μας δώσει (ακόμη) μία απόδειξη ότι τα ύψη τριγώνου (εδώ του PBC

) συγκλίνουν. Πράγματι, φέρνουμε το ύψος

. Αν το ύψος

το τέμνει στο

, τότε όπως είδαμε, ισχύει

MN\cdot MP=BM\cdot MC

.(*) Φερνουμε τώρα το τρίτο ύψος

και έστω ότι τέμνει το πρώτο στο

(βλέπε σχήμα παρακάτω). Από τα παραπάνω έχουμε

MK\cdot MP=BM\cdot MC

(**). Αφού τα δεξιά μέλη στις (*), (**) είναι ίσα, έχουμε

MN\cdot MP= MK\cdot MP

. Έπεται ότι

\boxed {MN=MK}

, δηλαδή τα N,K

συμπίπτουν, που σημαίνει ότι τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα κοινό σημείο, όπως θέλαμε.
.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 16, 2026 9:21 am**

george visvikis έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 5:32 pm Μέγιστη τιμή γινομένου.png
Έστω τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $BC=2R.$ Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $MN\cdot MP.$

24 ώρες μόνο για μαθητές.

Γράφουμε τον κύκλο ,

(A,N,C)

και τέμνει (ακόμα) την ευθεία

στο

.

Επειδή ${a_1} = {a_2}$ ( το τετράπλευρο ABMN

είναι εγγράψιμο )

και ${a_2} = {a_3}$ ( το τετράπλευρό PNCT

είναι εγγεγραμμένο) συνεπώς :

\boxed{{a_1} = {a_3}} \Leftrightarrow \boxed{BM = MT = x}

.

: Μέγιστο γινομένου.png (31.47 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

Διαδοχικά έχουμε:

MN \cdot MP = MC \cdot MT = yx = (2r - x)x = - {x^2} + 2rx

που παρουσιάζει μέγιστο (ως τριώνυμο)

για x = r

και είναι

\boxed{{{(MN \cdot MP)}_{\max }} = (2r - r)r = {r^2}}

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 18, 2026 9:41 am**

Ευχαριστώ τούς φίλους Μιχάλη και Νίκο για τις λύσεις τους και το Μιχάλη επιπλέον για την
απόδειξη της σύγκλισης των υψών τριγώνου. Ας δούμε όμως και μία άλλη παρόμοια λύση.

: Μέγιστη τιμή γινομένου.b.png (19.99 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές

Το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου PBC

και αν η

τέμνει τον περίκυκλο του PBC

στο

ως γνωστόν θα είναι

MN=MN'.

Έτσι,

MN\cdot MP=MN'\cdot MP=BM\cdot MC,

κ.λπ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 18, 2026 5:57 pm**

george visvikis έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 5:32 pm Μέγιστη τιμή γινομένου.png
Έστω τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $BC=2R.$ Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $MN\cdot MP.$

24 ώρες μόνο για μαθητές.

Με

PQ \bot BP \Rightarrow \dfrac{MN}{MP} = \dfrac{x}{MQ}= \dfrac{x}{ \dfrac{PM^2}{2r-x} } \Rightarrow MN.MP=x( 2r-x)

κι επειδή

2r-x +x=2r

το

x( 2r-x)

γίνεται μέγιστο όταν

2r-x=x \Rightarrow x=r

με μέγιστο r^2

: Μέγιστη τιμή γινομένου.png (12.9 KiB) Προβλήθηκε 17 φορές

mathematica.gr

Μέγιστη τιμή γινομένου

Μέγιστη τιμή γινομένου

Re: Μέγιστη τιμή γινομένου

Re: Μέγιστη τιμή γινομένου

Re: Μέγιστη τιμή γινομένου

Re: Μέγιστη τιμή γινομένου