mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 4:52 pm**

: Τυπολατρεία.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=8

, βρίσκεται χορδή SP=6

.

Αν :

BS=2BP

, υπολογίστε το $\sin\theta$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 5:17 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 17, 2026 4:52 pm Τυπολατρεία.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται χορδή .

Αν : $BS=2BP$ , υπολογίστε το $\sin\theta$ .

Ο Πτολεμαίος στο ABPS

δίνει,

48 + x\sqrt {64 - 4{x^2}} = 2x\sqrt {64 - {x^2}} \Leftrightarrow

\boxed{x^2=10+2\sqrt 7}

: Τυπολατρεία.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Νόμος συνημιτόνου στο

PSB:

36 = 5{x^2} - 4{x^2}\cos \theta = 50 + 10\sqrt 7 - (40 + 8\sqrt 7 )\cos \theta

απ' όπου παίρνω

\cos \theta=\dfrac{\sqrt 7}{4}

και

\boxed{\sin \theta=\frac{3}{4}}

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 7:31 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 8:04 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 17, 2026 4:52 pm Τυπολατρεία.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται χορδή .

Αν : $BS=2BP$ , υπολογίστε το $\sin\theta$ .

: Τυπολατρία.png (22.34 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Προφανές : $\boxed{\sin \theta = \frac{3}{4}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 8:38 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 17, 2026 4:52 pm Τυπολατρεία.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται χορδή .

Αν : $BS=2BP$ , υπολογίστε το $\sin\theta$ .

.
Η πληροφορία

BS=2BP

είναι περιττή! Ουσιαστικά η άσκηση είναι άμεση:

Ως γνωστόν σε κύκλο διαμέτρου

, αν μία χορδή μήκους

φαίνεται υπό εγγεγραμμένη γωνία $\theta$ , τότε ισχύει

\boxed {a=2R \sin \theta}

. Εδώ

6=8 \sin \theta

, δηλαδή

\boxed {\sin \theta = \dfrac {3}{4}}

.

Σχολιάζω (το γνωστό) ότι ο τύπος

a=2R \sin \theta

, ισοδύναμα

\dfrac {a}{\sin \theta }=2R

, είναι η απόδειξη του Νόμου των ημιτόνων.

Edit: Με πρόλαβε ο Νίκος, ουδιαστικά επισημαίνοντας ότι η κεντρική πληροφορία της εκφώνησης είναι περιττή. Όταν έγραφα το παραπάνω, δεν είχα δει το ποστ του Νίκου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 8:58 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 17, 2026 4:52 pm Τυπολατρεία.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκεται χορδή .

Αν : $BS=2BP$ , υπολογίστε το $\sin\theta$ .

Είναι

\hat{SBP}=\hat{SAP}=\theta ,\hat{SOP}=2\theta ,\hat{SPO}=90-\theta

και νόμος ημιτόνων στο τρίγωνο

OSP,\dfrac{6}{sin2\theta }=\dfrac{4}{sin(90-\theta )}\Rightarrow sin\theta =\dfrac{3}{4}

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 17, 2026 9:14 pm**

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-08-17 210456.png (64.19 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

Παίρνω χορδή

AE=SP=6.

Τότε

\angle SBP=\theta = \angle ABE

(βαίνουν σε ίσα τόξα)
Συνεπως

\sin \theta = sin ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{6}{8}= \frac{3}{4}

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 18, 2026 7:05 am**

: Τυπολατρεία.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Έγινε φανερό , ότι η επιλογή του ζητουμένου της άσκησης δεν ταιριάζει με τα δεδομένα

Αντ' αυτού θα μπορούσε το ζητούμενο να είναι : Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου SPB

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 18, 2026 7:31 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 18, 2026 7:05 am Τυπολατρεία.pngΈγινε φανερό , ότι η επιλογή του ζητουμένου της άσκησης δεν ταιριάζει με τα δεδομένα

Αντ' αυτού θα μπορούσε το ζητούμενο να είναι : Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

(PSB) = \dfrac{1}{2}2x \cdot x \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}{x^2}\,\,(1)

Από νόμο συνημίτονου στο $\vartriangle PSB$ έχουμε:

: Τυπολατρία_Εμβαδόν.png (19.93 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

\boxed{36 = {x^2}(5 - 4\sqrt {1 - \dfrac{9}{{16}}} \,)}

ή

{x^2} = 2\sqrt {7} + 10 \Rightarrow \boxed{(PSB) = \dfrac{3}{2}(5 + \sqrt {7} )}

mathematica.gr

Τυπολατρεία

Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία

Re: Τυπολατρεία