mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 22, 2026 12:25 pm**

: Κατασκευαστικοί υπολογισμοί.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι :

AB=8 , BC=12 , CA=13

. Σημείου

της

ονομάζω

,

τις προβολές στις BC , AB

αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του

, για την οποία :

SP = 2ST

.

Γενίκευση επιθυμητή ...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 24, 2026 11:59 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 22, 2026 12:25 pm Στο τρίγωνο είναι : $AB=8 , BC=12 , CA=13$ . Σημείου της ονομάζω ,

τις προβολές στις αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του , για την οποία : $SP = 2ST$ .

Γενίκευση επιθυμητή ...

Κατασκευή με ομοιοθεσία:

: kat-yp.png (28.2 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές

Ξεκινάμε απο το έγκεντρο

που είναι το σημείο του τριγώνου που ισαπέχει απο τις τρεις πλευρές του.
Φέρνουμε παράλληλη απο το

προς την βάση

που συναντά την

στο

.
Παίρνουμε το μέσο

του

και εντοπίζουμε το

ώς την προέκταση της

.

Η ίδια μέθοδος λειτουργεί και σε τυχαίο τρίγωνο με λόγο διαφορετικό του 1:2

, αρκεί να διαιρέσουμε αντίστοιχα το τμήμα

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 25, 2026 8:43 am**

duamba έγραψε: Δευ Αύγ 24, 2026 11:59 pm
KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 22, 2026 12:25 pm Στο τρίγωνο είναι : $AB=8 , BC=12 , CA=13$ . Σημείου της ονομάζω ,

τις προβολές στις αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του , για την οποία : $SP = 2ST$ .

Γενίκευση επιθυμητή ...
Κατασκευή με ομοιοθεσία:
kat-yp.png

Ξεκινάμε απο το έγκεντρο που είναι το σημείο του τριγώνου που ισαπέχει απο τις τρεις πλευρές του.
Φέρνουμε παράλληλη απο το προς την βάση που συναντά την στο .
Παίρνουμε το μέσο του και εντοπίζουμε το ώς την προέκταση της .

Η ίδια μέθοδος λειτουργεί και σε τυχαίο τρίγωνο με λόγο διαφορετικό του , αρκεί να διαιρέσουμε αντίστοιχα το τμήμα .

Καλό

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 25, 2026 9:52 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 22, 2026 12:25 pm Κατασκευαστικοί υπολογισμοί.pngΣτο τρίγωνο είναι : $AB=8 , BC=12 , CA=13$ . Σημείου της ονομάζω ,

τις προβολές στις αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του , για την οποία : $SP = 2ST$ .

Γενίκευση επιθυμητή ...

Θέτω

και

, οπότε

Έστω ακόμα

AD=h_a, CE=h_c.

Είναι

\boxed{\dfrac{h_a}{h_c}=\dfrac{c}{a}}

και επειδή

SP||AD, ST||CE

θα είναι :

: κατασκευαστικοί υπολογισμοί.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

\dfrac{x}{{{h_c}}} = \dfrac{y}{b},\dfrac{{2x}}{{{h_a}}} = \dfrac{{b - y}}{b}\mathop \Rightarrow \limits^{( \div )} \dfrac{{{h_a}}}{{2{h_c}}} = \dfrac{y}{{b - y}} \Leftrightarrow \dfrac{c}{{2a}} = \dfrac{y}{{b - y}} \Leftrightarrow

\boxed{y=\dfrac{bc}{2a+c}.}

Με τα νούμερα της άσκησης είναι

y=\dfrac{13}{4}.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 25, 2026 5:41 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 22, 2026 12:25 pm Κατασκευαστικοί υπολογισμοί.pngΣτο τρίγωνο είναι : $AB=8 , BC=12 , CA=13$ . Σημείου της ονομάζω ,

τις προβολές στις αντίστοιχα . Βρείτε την θέση του , για την οποία : $SP = 2ST$ .

Γενίκευση επιθυμητή ...

: Κατασκε.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

.
Βρίσκουμε τον γεωμετικό τόπο των σημείων

που ορίζονται ως εξής: Από μεταβλητό σημείο

της

φέρνουμε κάθετο

στην

και από το

φέρνουμε κάθετο

στην

. Επί της

παίρνουμε

YQ=2XY

. Αυτό ορίζει το

.

Εύκολα βλέπουμε ότι ο γεωμετικός τόπος του

είναι ευθεία (η κόκκινη) που διέρχεται από το

. Αυτό είναι άμεσο/τετριμμένο (αλλά εκτός σχολικής ύλης) με χρήση των πλαγιογώνιων αξόνων AB, AC

αλλά μπορεί εύκολα να διευθετηθεί με χρήση των όμοιων τριγώνων

XYQ, TSP

ή αλλιώς με τα επιχειρήματα που γράφει ο Γιώργος στην λύση του. Τον τόπο αυτό μπορούμε να τον σχεδιάσουμε εύκολα από δύο σημεία του, από τα οποία το ένα είναι το

. Με αυτά ως δεδομένα είναι σαφές ότι το σημείο

της τομής του τόπου με την

είναι το ζητούμενο. Τελειώσαμε.

Η γενίκευση είναι άμεση. Π.χ. δεν αλλάζει τίποτα αν αντί της υπόθεσης

SP = 2ST

πάρουμε

SP = \lambda ST

για οποιοδήποτε $\lambda$ .

mathematica.gr

Κατασκευαστικοί υπολογισμοί

Κατασκευαστικοί υπολογισμοί

Re: Κατασκευαστικοί υπολογισμοί

Re: Κατασκευαστικοί υπολογισμοί

Re: Κατασκευαστικοί υπολογισμοί

Re: Κατασκευαστικοί υπολογισμοί