mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 10, 2026 10:28 pm**

Έστω

εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο $\Gamma$ με

P\equiv AB \cap CD

και

Q \equiv AD \cap BC

κι ας είναι

R \equiv AC \cap BD

,

το μέσο του τμήματος

και

η τομή του τμήματος

με τον κύκλο $\Gamma.$ Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι

(JPQ)

και $\Gamma$ εφάπτονται.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 15, 2026 2:02 pm**

Dimessi έγραψε: Πέμ Σεπ 10, 2026 10:28 pmΈστω εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο $\Gamma$ με $P\equiv AB \cap CD$ και $Q \equiv AD \cap BC$ κι ας είναι $R \equiv AC \cap BD$ , το μέσο του τμήματος και η τομή του τμήματος με τον κύκλο $\Gamma.$ Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι $(JPQ)$ και $\Gamma$ εφάπτονται.

$\bullet$ Έστω το σημείο

S\equiv(O)\cap RM,

όπου

είναι ο περίκυκλος του δοσμένου τετραπλεύρου ABCD

και έχουμε ότι η σημειοσειρά

M,J,R,S

είναι αρμονική, γιατί αφού η

ως η Πολική ευθεία του

ως προς

περνάει από το

προκύπτει ότι η Πολική ευθεία του

ως προς τον (O)

περνάει από το σημείο

Έστω τα σημεία

E\equiv (O)\cap SQ

και έχουμε ότι η σημειοσειρά

Q,E,X,S,

όπου

X\equiv SQ\cap PR

είναι αρμονική, γιατί η

είναι η Πολική ευθεία του

ως προς τον κύκλο (O).

Από τις αρμονικές σημειοσειρές

M,J,R,S

και

Q,E,X,S

τώρα, με

P\equiv QM\cap XR,

προκύπτει ότι τα σημεία

E,J,P

είναι συνευθειακά και ομοίως τα σημεία

Z,J,Q

είναι επίσης συνευθειακά, όπου

Z\equiv (O)\cap SP.

Η σημειοσειρά

P,Z,Y,S

όπου

Y\equiv SP\cap QR

είναι αρμονική γιατί η

είναι η Πολική ευθεία του

ως προς τον κύκλο

(Ο).

$\bullet$ Από το πλήρες τετράπλευρο

ESZJ.PQ

έχουμε ότι η διαγώνιά του

περνάει από το σημείο

ως το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα σημεία

J,S.

Επειδή τώρα, το σημείο

ανήκει στην διάμεσο

του τριγώνου

\vartriangle SPQ,

έχουμε ότι

EZ\parallel PQ

και

RE=RZ.

Έστω

το σημείο τομής της μεσοκάθετης ευθείας του

από την ευθεία

OJ,

όπου

είναι το περίκεντρο του ABCD.

: Ελαφριά επαφή κύκλων.; t=79853.PNG (33.03 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Η

ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου

ως προς τον κύκλο (O)

και επομένως ισχύει

OR\perp PQ \ \ .(1)

Από

και

KM\perp PQ

$\Rightarrow$

OR\parallel KM

$\Rightarrow$

\frac{OR}{KM}=\frac{OJ}{KJ}=\frac{RJ}{MJ} \ \ ,(2)

Από

RE\parallel PM\Rightarrow

\frac{RJ}{MJ}=\frac{RE}{MP} \ \ ,(3)

Από $(2),\ (3)\Rightarrow$

\frac{OR}{KM}=\frac{RE}{MP} \ \ ,(4)

Από

προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα

\vartriangle REO,\ \vartriangle MPK

είναι όμοια και άρα, ισχύει

\frac{OE}{KP}=\frac{OR}{KM}=\frac{OJ}{KJ} \ \ ,(5)

Από

και

OE=OJ

έχουμε

\boxed{KJ=KP=KQ} \ \ ,(6)

Από

συμπεραίνεται ότι ο περίκυκλος έστω (K)

του τριγώνου

\vartriangle PQJ

εφάπτεται του κύκλου (O)

κατά το σημείο

ως κοινό σημείο των δύο κύκλων που ανήκει στην διάκεντρό τους και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 15, 2026 5:59 pm**

Σφαιράτος Vittasko Bάζω και τη δική μου λύση

: PJQ Γ .png (584.84 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

$\bullet$ Έστω

L\equiv RM\cap \left ( O \right )\left ( L\neq J \right ),X\equiv BM\cap \left ( O \right )\left ( X\neq B \right ),Y\equiv MC\cap \left ( O \right )\left ( Y\neq C \right ).

Το

ανήκει στην πολική του

ως προς τον (O),

άρα από Θεώρημα La Hire και το

ανήκει στην πολική του

ως προς τον

(O) \Longrightarrow (M,J,R,L)=-1 \Longrightarrow B.MJRL

αρμονική δέσμη

\Longrightarrow B. XJDL

αρμονική δέσμη

\Longrightarrow XJDL

αρμονικό τετράπλευρο

\Longrightarrow XJ

διέρχεται από τον πόλο της

ως προς τον κύκλο (O),

έστω

και συνεπώς το

R\in JL

που είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο (O),

άρα από Θεώρημα La Hire και το

ανήκει στην πολική του

ως προς τον (O),

άρα

συνευθειακά κι έστω

V\equiv \left ( DCQ \right )\cap PQ \left ( V\neq Q \right ).

Είναι

\angle PBC\equiv \angle ABC\overset{ABCD \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle CDQ\overset{CDVQ \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle CVQ \Longrightarrow V\in \left ( BPC \right )\Longrightarrow \begin{Bmatrix} \mathrm{Pow}\left ( Q,\left ( O \right ) \right )=QV\cdot QB & \\ \mathrm{Pow}\left ( P,\left ( O \right ) \right )=PV\cdot PQ & \\ \end{Bmatrix}

\Longrightarrow OP^{2}+OQ^2-PQ^2=2R^2

\Longrightarrow MX\cdot MB=\mathrm{Pow }\left ( M,\left ( O \right ) \right )=

=\dfrac{2\left ( OP^2+OQ^2 \right )-PQ^2}{4}-R^2=\dfrac{2\left ( PQ^2+2R^2 \right )-PQ^{2}}{4}-R^{2}=MP^2=MQ^2 \Longrightarrow \vartriangle MQX \sim \vartriangle MQB

\Longrightarrow \angle MQX=\angle QBX\equiv \angle CBX\overset{CBDX \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle CDX \overset{D \in PC}\Longrightarrow PDXQ

εγγράψιμο

\overset{S \equiv XD \cap QP}\Longrightarrow SP \cdot SQ=SD \cdot SX\overset{\left ( SJ \epsilon \phi \alpha \pi \tau o\mu \epsilon \nu o \left ( O \right ) \right )}= SJ^{2},

άρα η ευθεία

είναι εφαπτομένη και του κύκλου

(PJQ),

άρα κοινή εφαπτομένη στο

των κύκλων

(PJQ)

και

οι οποίοι επομένως εφάπτονται στο

: PJQ Γ .png (584.84 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 15, 2026 7:12 pm**

: Επιπρόσθετο ερώτημα .png (1.13 MiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Επιπρόσθετο ερώτημα για κύριο Κώστα

W \equiv DM \cap AC

Y \equiv MC \cap (O)(Y\neq C)

X \equiv BM \cap (O)(X \neq B)

Δείξτε ότι οι ευθείες

RY,SW,BM

συντρέχουν.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 16, 2026 10:54 pm**

Dimessi έγραψε:Επιπρόσθετο ερώτημα για κύριο Κώστα
$W \equiv DM \cap AC$
$Y \equiv MC \cap (O)(Y\neq C)$
$X \equiv BM \cap (O)(X \neq B)$
Δείξτε ότι οι ευθείες $RY,SW,BM$ συντρέχουν.

Το επιπρόσθετο ερώτημα ισχύει για τυχόν σημείο

επι της ευθείας

και όχι απαραίτητα για το μέσον του τμήματος

και διαμορφώνεται σε ξεχωριστή πρόταση με την ακόλουθη εκφώνηση.

Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα σημεία $P\equiv AB\cap CD$ και $Q\equiv BC\cap AD$ και $R\equiv AC\cap BD$ και ας είναι τυχόν σημείο επί της ευθείας Η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία $L,\ J$ και ας είναι το μεταξύ των $A,\ B.$ Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία $L,\ J$ τέμνονται στο σημείο και έστω τα σημεία $W\equiv AC\cap MD$ και $Y\equiv (O)\cap MC.$ αποδείξτε ότι οι ευθείες $SW,\ RY,\ MB$ συντρέχουν.

: Ελαφριά επαφή κύκλων - Επιπρόσθετο ερώτημα Dimessi.; t=79853 (a).PNG (41.27 KiB) Προβλήθηκε 17 φορές

Αντίθετα απ' ότι συνηθίζω, βάζω πρώτα το σχήμα, καθαρογράφω την λύση και ακολουθεί (αύριο) η πληκτρολόγησή της.

Κώστας Βήττας.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 17, 2026 12:21 am**

Πράγματι το

δεν είναι απαραίτητη προϋπόθεση να είναι το μέσο του PQ.

Εγώ διατύπωσα το θέμα που σκέφτηκα διατηρώντας το Μ ως το μέσο για να αποκρυφθει η γενικευμένη φύση του εμβολιμου ερωτήματος αυτού και να την ξεκλειδώσει ο λύτης

.
Δε λέω περισσότερα έρχομαι αύριο κι εγώ θα τα πούμε γιατί έχω ξενύχτι σήμερα με άλλα πράγματα που καταπιάνομαι

.

mathematica.gr

Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!

Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!

Re: Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!

Re: Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!

Re: Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!

Re: Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!

Re: Ελαφριά επαφή κύκλων (Not Dimessi style )!