mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 8:08 pm**

Να βρεθεί το $I= \int\limits_0^{2\pi} \frac{d\theta}{3+2\sin\theta}=?$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 8:27 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 9:03 pm**

Ακόμα καί τό αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα:

Θέτωντας $t=\tan{\frac{x}{2}}$ , προκύπτουν $\sin{x}=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}$ καί $dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}\,dt$ .

$\displaystyle\int{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\int{\frac{1}{3+2\,\frac{2t}{1+t^2}}\,\frac{2}{1+t^2}\,dt}=\int{\frac{2}{3t^2+4t+3}\,dt}=$

$\displaystyle\int{\frac{6}{9t^2+12t+4+5}\,dt}=\int{\frac{6}{({3t+2})^2+{\sqrt{5}}^2}\,dt}=\int{\frac{6}{\left({\frac{3}{\sqrt{5}}\,t+\frac{2}{\sqrt{5}}}\right)^2+1}\,dt}=$

$\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\,\arctan\!\left({\tfrac{3}{\sqrt{5}}\,t+\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\right)+c\stackrel{t=\tan{\frac{x}{2}}}{=}\,\frac{2}{\sqrt{5}}\,\arctan\!\left({\tfrac{3}{\sqrt{5}}\,\tan{\tfrac{x}{2}}+\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\right)+c.\quad\square$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 9:12 pm**

matha έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Απ' ότι θυμάμαι τέτοια ολοκληρώματα στο $[0, 2 \pi]$ βγαίνουν πολύ γρήγορα με μιγαδικές και ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

υπολογιζετε πολυ ωραια επισης με μιγαδικες οπως ανεφερες $z=e^{i\theta}$ επικαμπυλια κτλ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 9:28 pm**

Αφού φρέσκαρα μερικά πράγματα, παραθέτω τη λύση.

Θέτοντας $z=e^{i\theta}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{3+2\sin \theta} =\frac{iz}{z^2 +3iz-1}}$ και

$\displaystyle{d\theta =\frac{1}{iz}dz}$ άρα αναγόμαστε στον υπολογισμό του

$\displaystyle{\oint _{c}\frac{1}{z^2 +3iz-1}dz}$ όπου

ο μοναδιαιός κύκλος. Ας ονομάσουμε την ολοκληρωτέα συνάρτηση f(z)

Η συνάρτηση $\frac{1}{z^2 +3iz-1}$ έχει στο εσωτερικό του

απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$ επομένως το αρχικό ολοκλήρωμα θα ισούται με

$\displaystyle{2\pi i Res(f(z),z_{0}).}$ Επειδή το $z_{0}$ είναι απλός πόλος ισχύει

$\displaystyle{Res(f(z),z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})\frac{1}{z^2 +3iz-1}=...=\frac{1}{\sqrt{5}i}.}$
Άρα το αρχικό ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\frac{2 \pi}{\sqrt{5}}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 9:29 pm**

matha έγραψε:Αφού φρέσκαρα μερικά πράγματα, παραθέτω τη λύση.

Θέτοντας $z=e^{i\theta}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{3+2\sin \theta} =\frac{iz}{z^2 +3iz-1}}$ και

$\displaystyle{d\theta =\frac{1}{iz}dz}$ άρα αναγόμαστε στον υπολογισμό του

$\displaystyle{\int _{c}\frac{1}{z^2 +3iz-1}dz}$ όπου ο μοναδιαιός κύκλος. Ας ονομάσουμε την ολοκληρωτέα συνάρτηση

Το τριώνυμο έχει στο εσωτερικό του απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$ επομένως το αρχικό ολοκλήρωμα θα ισούται με

$\displaystyle{2\pi i Res(f(z),z_{0}).}$ Επειδή το $z_{0}$ είναι απλός πόλος ισχύει

$\displaystyle{Res(f(z),z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})\frac{1}{z^2 +3iz-1}=...=\frac{1}{\sqrt{5}i}.}$
Άρα το αρχικό ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\frac{2 \pi}{\sqrt{5}}.}$

Nαι!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 9:36 pm**

Με την αλλαγή μεταβλητής ημθ=κ βρίσκουμε 0. Να βρείτε το λάθος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 9:40 pm**

H συναρτηση ειναι συνεχης και αλλαζει μονοτονια με βημα π/2 (αρα δεν ειναι 1-1 σε ολο διαστημα ολοκληρωσης).

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 24, 2010 10:41 pm**

Είναι απαραίτητο το «1-1»; Γιατί;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 12:44 am**

Το τριώνυμο z^2 +3iz-1 έχει στο εσωτερικό του c απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$

Το τριώνυμο αποκλείεται να έχει πόλο, μάλλον έχει ρίζα....κεκτημένη ταχύτητα υποθέτω.Επίσης σε λατέχ το επικαμπύλιο γράφεται με το \oint , δηλαδή $\displaystyle{\oint _{C}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 12:50 am**

Ωmega Man έγραψε:
Το τριώνυμο z^2 +3iz-1 έχει στο εσωτερικό του c απλό πόλο το $\displaystyle{z_{0}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}i}$
Το τριώνυμο αποκλείεται να έχει πόλο, μάλλον έχει ρίζα....κεκτημένη ταχύτητα υποθέτω.Επίσης σε λατέχ το επικαμπύλιο γράφεται με το \oint , δηλαδή $\displaystyle{\oint _{C}}$ .

το Ζo ειναι απλος πολος της f(z) !

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 12:53 am**

Ναι της ολοκληρωτέας όχι του τριωνύμου , αν δεις παραπάνω διορθώθηκε...

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 12:56 am**

Ωmega Man έγραψε:Ναι της ολοκληρωτέας όχι του τριωνύμου , αν δεις παραπάνω διορθώθηκε...

oκ οκ συγνωμη

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 7:42 am**

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ 16.pdf: (23.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 10:54 am**

συνχωρεστε με που επεμβενω απλα ειμαι νεο μελος και ειπα απλα να πω οτι η λυση του grigkost (χωρις παραξεγιση

) μου φενεται πιο απλη απο ολα που αναφεραται! (απλα μου θημισε τα λογια ενος δασκαλου που μου ειχε πεει οταν βλεπεις τετια ολοκληρωματα κανε αλλαγη μεταβλιτης με εφαπτομενη..) τελος παντων απο ολο αυτο ηθελα να πω γεια σας

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 25, 2010 1:30 pm**

paltoG έγραψε:συνχωρεστε με που επεμβενω απλα ειμαι νεο μελος και ειπα απλα να πω οτι η λυση του grigkost (χωρις παραξεγιση ) μου φενεται πιο απλη απο ολα που αναφεραται! (απλα μου θημισε τα λογια ενος δασκαλου που μου ειχε πεει οταν βλεπεις τετια ολοκληρωματα κανε αλλαγη μεταβλιτης με εφαπτομενη..) τελος παντων απο ολο αυτο ηθελα να πω γεια σας

Το μόνο που πρέπει να προσέξει κανείς είναι ότι αν με την προσέγγιση του Γρηγόρη θέλει κανείς να περάσει στο ορισμένο πρέπει να σπάσει μετά σε δυο ολοκληρώματα.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 26, 2010 4:12 am**

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το μόνο που πρέπει να προσέξει κανείς είναι ότι αν με την προσέγγιση του Γρηγόρη θέλει κανείς να περάσει στο ορισμένο πρέπει να σπάσει μετά σε δυο ολοκληρώματα.

Σωστή η επισήμανση τού Αναστάση καί, ταυτόχρονα, δικιά μου παράληψη. Η $\tan\tfrac{x}{2}$ δέν ορίζεται στό $\pi$ , επομένως πρέπει νά σπάσουμε τό $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}$ σέ $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}-\frac{2\pi}{\sqrt{5}}\,\arctan\bigl({\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\bigr)$ καί $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\frac{\pi}{\sqrt{5}}+\frac{2\pi}{\sqrt{5}}\,\arctan\bigl({\tfrac{2}{\sqrt{5}}}\bigr)$ .

Άρα $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\frac{dx}{3+2\,\sin{x}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{5}}$ .

mathematica.gr

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκληρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα