mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm**

Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD

.

: Εμβαδον ορθογωνίου.png (15.49 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές

Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2026 8:33 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου
.
Εμβαδον ορθογωνίου.png

Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

: Εμβ ορθ.png (10.65 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

.

\dfrac {\sqrt 3}{3} = \tan 30 = \dfrac {EB}{CB}= \dfrac {6}{CB}

, άρα

CB=6\sqrt 3

. Oπότε

\dfrac {\sqrt 3}{3} = \tan 30 = \dfrac {DZ}{DC}= \dfrac {DA-2}{DC}= \dfrac {CB-2}{DC}= \dfrac {6\sqrt3-2}{DC}

, άρα

DC=(6\sqrt 3-2)\sqrt 3

Άρα

(ABCD)= CD\cdot CB= (6\sqrt 3-2)\sqrt 3\cdot 6\sqrt 3 = \boxed {108\sqrt 3 -36}

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2026 9:24 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 8:33 pm
Doloros έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου
.
Εμβαδον ορθογωνίου.png

Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

Εμβ ορθ.png
.
$\dfrac {\sqrt 3}{3} = \tan 30 = \dfrac {EB}{CB}= \dfrac {6}{CB}$ , άρα $CB=6\sqrt 3$ . Oπότε

$\dfrac {\sqrt 3}{3} = \tan 30 = \dfrac {DZ}{DC}= \dfrac {DA-2}{DC}= \dfrac {CB-2}{DC}= \dfrac {6\sqrt3-2}{DC}$ , άρα $DC=(6\sqrt 3-2)\sqrt 3$

Άρα $(ABCD)= CD\cdot CB= (6\sqrt 3-2)\sqrt 3\cdot 6\sqrt 3 = \boxed {108\sqrt 3 -36}$

Ευχαριστώ . Πολύ ωραίο,

. "Πειράζω" λίγο το σχήμα μετά έχω το αποτέλεσμα περίπου σαν εσάς .

Θα τα γράψω αλλά ας περιμένουμε και άλλες λύσεις .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2026 10:35 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου
.
Εμβαδον ορθογωνίου.png

Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

Με

συμμετρικό του

ως προς

προφανώς το τρίγωνο CEH

είναι ισόπλευρο

πλευράς

με ύψος

BC=6 \sqrt{3}

Με

DZ=x \Rightarrow CD=x \sqrt{3}

.Αλλά

2+x=6 \sqrt{3} \Rightarrow x=6 \sqrt{3}-2

Έτσι

CD=(6 \sqrt{3}-2 ) \sqrt{3}

κι εύκολα

(ABCD)= 36(3 \sqrt{3}-1)

: Εμβαδόν ορθογωνίου.png (23.84 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2026 10:49 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου
.
Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

: shape.png (21.74 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 29, 2026 9:13 am**

Αφού ήδη προηγήθηκαν λύσεις με τις προδιαγραφές της εκφώνησης, ελπίζω να μην πειράζει να βάλω και μια λύση με χαρτί και μολύβι.

Με βάση τους συμβολισμούς του παρακάτω σχήματος:

Λήψη ggb

Το $\triangle CEB$ είναι ορθογώνιο με

\angle ECB = 30^\circ\Leftrightarrow EC = 2EB = 12

Έστω

το ίχνος του

στην

και

το σημείο που η προέκταση του

ΕΝ

τέμνει την

τότε:

Η

είναι διχοτόμος και ύψος της

\angle KCE = 60^\circ

ανν το

\triangle KCE

είναι ισόπλευρο άρα

NC = 6\sqrt{3}

και

\triangle CBE = \triangle CNE

οπότε

DΑ = BC = NC = 6\sqrt{3}\Leftrightarrow DZ = DA - ZA = 6\sqrt{3} - 2

Το $\triangle DCZ$ είναι ορθογώνιο με

\angle DCZ = 30^\circ\Leftrightarrow ZC = 2DZ = 12\sqrt{3} - 4\Leftrightarrow NZ = ZC - NC = 6\sqrt{3}-4

Έστω

το βαρύκεντρο του

\triangle KEC

τότε:

GE = \dfrac{2}{3} NC = 4\sqrt{3}

και επειδή

ZA\perp AB

και

GE\perp AB\Leftrightarrow ZA \parallel GE

προκύπτει:

\dfrac{4\sqrt{3}}{2}\cdot AE = (\triangle AGE)=(\triangle ZGE) = \dfrac{\left(6\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3}\right)\cdot 6}{2} \Leftrightarrow AE = 12-2\sqrt{3}

Άρα

(ABCD) = AB \cdot BC = \left(6 + 12 - 2\sqrt{3}\right) \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3} - 36

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 30, 2026 2:41 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου
.
Εμβαδον ορθογωνίου.png

Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

Ας είναι

BC = AD = y

. Το ορθογώνιο

\vartriangle BCE \to (90^\circ ,30^\circ ,60^\circ )

, η υποτείνουσα του είναι ,

2 \cdot 6 = 12

.

Έστω

το σημείο τομής των , $CZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ . Στο ορθογώνιο

\vartriangle AZT

η γωνία του στο

είναι $30^\circ$

κι αυτό γιατί

DC//TB

, κατά συνέπεια

\boxed{TE = EC = 12}\,\,\,(1)

.

\boxed{y = 6\sqrt 3 }

( Ύψος ισοπλεύρου τριγώνου…)

και

\boxed{TB = 12 + 6 = 18}\,\,\,( * )

Από την προφανή ομοιότητα των

\vartriangle BCE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle ATZ

,

\boxed{\frac{y}{{AT}} = \frac{6}{2} = 3}

και λόγω της (2)

προκύπτει ,

\boxed{TA = 2\sqrt 3 }\,\,(3)

. Στο δεδομένο ορθογώνιο , ABCD

: Εμβαδόν ορθογωνίου_Λύση.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές

Προσαρτώ το ορθογώνιο , ADPT

κι έχει εμβαδόν ,

\boxed{(ADPT) = TA \cdot AD = 2\sqrt 3 \cdot 6\sqrt 3 = 36}\,\,(4)

Τώρα από το συνολικό εμβαδόν διώχνουμε το πιο πάνω εμβαδόν και λόγω των ,

(1)\,\,,\,\,(2)\,\,,( * )

, προκύπτει :

\boxed{(ABCD) = E = TB \cdot y - 36 = 18 \cdot 6\sqrt 3 - 36 = 3 \cdot 36\sqrt 3 - 36 = 36(3\sqrt 3 - 1)}

( αυτό που θέλουμε)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 30, 2026 6:14 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 7:44 pm Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου
.
Εμβαδον ορθογωνίου.png

Στόχος : να βρεθεί το ακριβές αποτέλεσμα , με το πιο σύντομο τρόπο και οι πράξεις να γίνονται:
.
Χωρίς μολύβι, χαρτί και προφανώς κομπιουτεράκι-λογισμικό .

Εστω

ET\perp ZC

Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα

TKC,KCF,EBC

είναι ίσα άρα ισεμβαδικά

Οπότε

(TKC)=(KCE)=(EBC)=E_{1}

μεσοκάθετος του

Oπότε

(TZK)=(ZKE)=E_{2},EBC,EC=2.6=12,CB=b=6\sqrt{3}

Το τρίγωνο TCE

είναι ισόπλευρο και

ΖΤ^{2}=ΖΕ^{2}\Rightarrow (a-12)^{2}+(6\sqrt{3}-2)^{2}=2^{2}+(a-6)^{2}\Leftrightarrow a=18-2\sqrt{3}, a.b=108\sqrt{3} -36

Kόκκινο -κίτρινο : ένα

mathematica.gr

Εμβαδόν ορθογωνίου

Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου