mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 30, 2026 6:22 pm**

Δίνεται ένα τρίγωνο ABC

και τα σημεία

και

στις πλευρές

και

αντίστοιχα,
και έστω

η προβολή του περικέντρου του τριγώνου ABC

στην ευθεία

.
Η ευθεία

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ του $\vartriangle ABC$ στο σημείο

.
Είναι γνωστό ότι οι ευθείες

,

και η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου
στο σημείο

τέμνονται σε ένα σημείο. Να αποδείξετε ότι το

είναι το μέσο του

.

: exer14.png (46.27 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 02, 2026 12:29 am**

: Από περίκεντρο .png (143.29 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

$\bullet$ Θεωρούμε σημεία E,F

επί των πλευρών AB,AC

αντίστοιχα, τέτοια ώστε

OE=OF,

το μέσο του

και

D \equiv AM \cap (O)(D \neq A).

\dfrac{TB}{TC}\div \left ( \dfrac{DB}{DC} \right )^{2}=\dfrac{EB}{EA}\cdot \dfrac{AF}{FC}\div \left ( \dfrac{AF}{AE} \right )^{2}=\dfrac{EB}{FC}\cdot \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{R_{\left ( O \right )}^{2}-OE^{2}}{R_{\left ( O \right )}^{2}-OF^{2}}=1 \left ( \ast \right )

Επομένως

εφαπτόμενο τμήμα του (O)

και με

OM \perp EF

τα

ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του προβλήματος άρα

μέσο του

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 02, 2026 8:50 pm**

Έστω ότι η ευθεία

τέμνει τον κύκλο στα σημεία

και

. Προφανώς το

είναι το μέσο της χορδής

.
Συμβολίζουμε με

το κοινό σημείο των ευθειών

,

και της εφαπτομένης

\tau_{D}

στο

(υπόθεση).
Θεωρούμε επίσης και την εφαπτομένη

\tau_{A}

του κύκλου στο σημείο

η οποία τέμνει την

στο σημείο

.
Θα αποδείξουμε ότι το

είναι μέσο και του

.
Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα

OMTD

και

(

\angle OMT=\angle ODT=90^{\circ}

και

\angle OMS=\angle OAS=90^{\circ}

)και
το ισοσκελές τρίγωνο OAD

έχουμε

\angle MTO=\angle MDO=\angle OAD=\angle MSO

. Επομένως, το τρίγωνο OMS

είναι ισοσκελές,
οπότε το ύψος

θα είναι και διάμεσος, δηλαδή,

μέσο του

.

: exer_sol.png (94.29 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Θεωρούμε το εκφυλισμένο τετράπλευρο που προκύπτει από το τρίγωνο ABC

όταν η κορυφή

θεωρηθεί διπλή.
Η πλευρά

είναι τότε η εφαπτομένη

\tau_A

του κύκλου στο

.
Η ευθεία

τέμνει τα ζεύγη των απέναντι πλευρών στα εξής ζεύγη:
τις

και

$\to$

και

,
τις

και

\tau_A

$\to$

και

,
τον κύκλο $\omega$ $\to$

και

.
Από το θεώρημα ενέλιξης(*) του Desargues(**) τα τρία αυτά ζεύγη αποτελούν ζεύγη της ίδιας
προβολικής ενέλιξης στην ευθεία

. Είναι γνωστό ότι κάθε ενέλιξη ορίζεται από δύο ζεύγη συζυγών
σημείων, και εφόσον τόσο τα

και

όσο και

και

είναι συμμετρικά ως προς το

,τότε και τα

και

θα είναι
επίσης συμμετρικά ως προς το

, δηλαδή, το

είναι το μέσο του

.

Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα ενέλιξης του Desargues, ένας τρόπος είναι ο εξής:

Προβάλλουμε τα σημεία

,

και

στην ευθεία

από το σημείο

. Τότε,
$X\rightarrow X$ ,

Y\rightarrow Y

,

A\rightarrow E

,

C\rightarrow T

Προβάλλουμε τα ίδια σημεία

,

και

στην ευθεία

από το σημείο

. Τότε
$X\rightarrow X$ ,

Y\rightarrow Y

,

A\rightarrow S

,

C\rightarrow F

Επομένως,

(X,Y;E,T)=(X,Y;S,F)

Αλλά

(X,Y;S,F)=(Y,X;F,S)

, όπότε

(X,Y;E,T)=(Y,X;F,S)\; (1)

.
Όμως

(Y,X;S,F)=(X,Y;F',T)\;(2)

λόγω συμμετρίας ως προς το μέσο

των

,

,
όπου

το συμμετρικό του

ως προς το

.
Από τις (1) και (2)

(X,Y;E,T)=(X,Y;F',T)\Rightarrow E\equiv F'

, δηλαδή

μέσο του

.

(*) Έστω $\mathcal{P}$ το σύνολο όλων των σημείων που ανήκουν σε μια σταθερή ευθεία ή σε μια σταθερή κωνική.
Τότε, η συνάρτηση

f \,: \,\mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P}

ονομάζεται ενέλιξη, αν και μόνο αν ικανοποιεί τις εξής δύο προϋποθέσεις.
$\bullet$ η

διατηρεί το διπλό λόγο, δηλαδή, για οποιαδήποτε σημεία

,

\in \mathcal{P}

(A,\, B\,;\, C,\, D) = (f(A), \,f(B)\,; \,f(C),\, f(D)) \,,

$\bullet$

f(f(A)) = A

για κάθε σημείο

A \in \mathcal{P}

Το ζεύγος που έχει τη μορφή

(A, f(A))

θα ονομάζεται αμοιβαίο ζεύγος ή ζεύγος συζυγών σημείων.

(**) Θεώρημα ενέλιξης του Desargues
Τα ζεύγη των απέναντι πλευρών ενός πλήρους τετραπλεύρου και η περιγεγραμμένη σε
αυτό κωνική τέμνουν μια τυχαία ευθεία σε ζεύγη συζυγών σημείων μιας ενέλιξης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 03, 2026 5:03 pm**

: Το Μ μέσο του EF .png (194.98 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

$\bullet$ Έστω

OM \perp EF, D \equiv AM \cap (O)(D \neq A).

Είναι

L\equiv \left ( MODT \right )\cap \left ( O \right )\left ( L\not\equiv D \right )\Longrightarrow \angle MLO\overset{L\in (MODT)}=\angle MDO\equiv \angle ADO=\angle MAO \overset{OA=OL}\Longrightarrow OM \perp AL \wedge MA=ML

\Longrightarrow EF \parallel AL \perp OM

και με

LBDC

αρμονικό τετράπλευρο

\Longrightarrow A. LEMF

αρμονική δέσμη

\overset{EF \parallel AL} \Longrightarrow ME=MF

: Το Μ μέσο του EF .png (194.98 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Γιάννη κάτσε λίγο να προλαβαίνουμε έχω τρεχάματα αυτές τις μέρες

mathematica.gr

Προβολή περικέντρου ορίζει μέσο

Προβολή περικέντρου ορίζει μέσο

Re: Προβολή περικέντρου ορίζει μέσο

Re: Προβολή περικέντρου ορίζει μέσο

Re: Προβολή περικέντρου ορίζει μέσο