mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 02, 2026 6:06 am**

: Ευεξήγητα.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, οι διχοτόμοι BD , CE

,

τέμνονται στο σημείο

. Το

είναι το μέσο της

.

α) Δείξτε ότι : DM=DE

... β) Δείξτε ότι :

MS \perp CE

... γ) Υπολογίστε την

\tan\widehat{DMS}

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 02, 2026 7:06 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 02, 2026 6:06 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , οι διχοτόμοι ,

τέμνονται στο σημείο . Το είναι το μέσο της .

α) Δείξτε ότι : ... β) Δείξτε ότι : $MS \perp CE$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\widehat{DMS}$ .

: shape.png (33.8 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 02, 2026 10:23 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 02, 2026 6:06 am Ευεξήγητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , οι διχοτόμοι ,

τέμνονται στο σημείο . Το είναι το μέσο της .

α) Δείξτε ότι : ... β) Δείξτε ότι : $MS \perp CE$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\widehat{DMS}$ .

α) Από την προφανή ισότητα των τριγώνων

DMB, DEB,

είναι

\boxed{DM=DE}

β) Με νόμο συνημιτόνου στο MEB

βρίσκω

ME=\sqrt{10}

και με Π.Θ στο CAE

παίρνω

CE=3\sqrt 5.

Αλλά,

\frac{{CS}}{{SE}} = \frac{{a + b}}{c} = \frac{{16}}{8} = 2 \Rightarrow CS = 2\sqrt 5 ,SE = \sqrt 5

CM^2-ME^2=25-10=15=CS^2-SE^2,

απ' όπου,

\boxed{MS\bot CE}

(κριτήριο καθετότητας).

: Ευεξήγητα.Κ.png (18.03 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές

γ) Με Π.Θ διαδοχικά στα τρίγωνα

ADE, NDE

βρίσκω πρώτα

DE=\dfrac{\sqrt{145}}{3}

και στη συνέχεια

DN=\dfrac{7\sqrt{10}}{6}.

Άρα,

\tan \omega=\dfrac{3}{7}.

Τέλος, στο τρίγωνο SDE

είναι:

\tan \theta + \tan \omega + \tan 135^\circ = \tan \theta \tan \omega \tan 135^\circ \Leftrightarrow \tan \theta + \dfrac{3}{7} - 1 = - \dfrac{3}{7}\tan \theta \Leftrightarrow

\boxed{\tan \theta=\frac{2}{5}}

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 02, 2026 7:19 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 02, 2026 6:06 am Ευεξήγητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , οι διχοτόμοι ,

τέμνονται στο σημείο . Το είναι το μέσο της .

α) Δείξτε ότι : ... β) Δείξτε ότι : $MS \perp CE$ ... γ) Υπολογίστε την $\tan\widehat{DMS}$ .

α)

BM = BE = 5

και η ευθεία

διχοτόμος . Συνεπώς η ευθεία αυτή είναι μεσοκάθετος στο

.

Έτσι θα ισχύουν ακόμα :

SE = SM\,\,\,,\,\,\,DE = DM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\theta = \omega

β) Στο $\vartriangle ABC$ η εξωτερική γωνία

\widehat {ESB} = \dfrac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 45^\circ

. Επίσης η

\widehat {BSC} = 90^\circ + \dfrac{A}{2}\,\,

, κατά συνέπεια

MS \bot SC

.
,

: Ευεξήγητα.png (28.9 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

,
γ) Από το Π. Θ. στα

\vartriangle ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle AEC

έχουμε

ED = \dfrac{{\sqrt {145} }}{3}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,EC = 3\sqrt 5 \,\,

. Εύκολα έχουμε ακόμα ότι

SC = 2\sqrt 5

. Εμβαδόν

(EDC) = \dfrac{1}{2}DC \cdot EA = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{10}}{3} \cdot 3 = 5

και αλλιώς

(EDC) = \dfrac{1}{2}EC \cdot DT = \dfrac{1}{2}3\sqrt 5 \cdot DT

.

Από τις δυο τελευταίες προκύπτει ,

\boxed{DT = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}}

και μετά από το Π. Θ. στο $\vartriangle TDE$ ,

\boxed{TE = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}}

οπότε:

\boxed{\tan \theta = \tan \omega = \frac{2}{5}}

mathematica.gr

Ευεξήγητα

Ευεξήγητα

Re: Ευεξήγητα

Re: Ευεξήγητα

Re: Ευεξήγητα