mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2026 6:28 am**

: Καθετότητα και ισότητα.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Στον περίκυκλο του τριγώνου ABC

, με :

, εντοπίστε σημείο

,

τέτοιο ώστε , αν

είναι η προβολή του

στην ημιευθεία

, να προκύπτει : SC=CT

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2026 9:38 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 10, 2026 6:28 am Στον περίκυκλο του τριγώνου , με : , εντοπίστε σημείο ,

τέτοιο ώστε , αν είναι η προβολή του στην ημιευθεία , να προκύπτει : .

: shape.png (24.59 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2026 9:49 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 10, 2026 6:28 am Καθετότητα και ισότητα.pngΣτον περίκυκλο του τριγώνου , με : , εντοπίστε σημείο ,

τέτοιο ώστε , αν είναι η προβολή του στην ημιευθεία , να προκύπτει : .

Θέτω

DC=CT=x

και είναι

\cos \theta=\dfrac{2x}{AS}.

Αλλά, με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω

\cos \theta=\dfrac{4}{5}.

: Καθετότητα και ισότητα.ΚΑ.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Άρα,

AS=\dfrac{5x}{2}.

Τέλος με νόμο συνημιτόνου στο ASC,

παίρνω

\boxed{x=\frac{10}{\sqrt{13}}}

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2026 9:57 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 10, 2026 6:28 am Καθετότητα και ισότητα.pngΣτον περίκυκλο του τριγώνου , με : , εντοπίστε σημείο ,

τέτοιο ώστε , αν είναι η προβολή του στην ημιευθεία , να προκύπτει : .

Θεωρούμε σημείο

στο εσωτερικό της

ώστε

BD=3DC

.

Η τομή της

με τον κύκλο (A,B,C)

προσδιορίζει τη θέση του

Πράγματι,επειδή

διχοτόμος της

\angle CSB

θα είναι

\dfrac{BS}{SC}= \dfrac{BD}{DC}=3

και με

CZ \bot AS

θα είναι

AC=AZ=AB

και

CS=SZ=m

άρα

Έτσι στον κύκλο (A,AB)

με

AE \bot BZ

θα είναι

BE=EZ=m

άρα και

TC=m

(αφού

\triangle ABE= \triangle ATC

)

: Καθετότητα και ισότητα.png (40.32 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 11, 2026 12:49 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 10, 2026 6:28 am Καθετότητα και ισότητα.pngΣτον περίκυκλο του τριγώνου , με : , εντοπίστε σημείο ,

τέτοιο ώστε , αν είναι η προβολή του στην ημιευθεία , να προκύπτει : .

Υπολογίζω την ακτίνα του κύκλου

AM=3,OM=R-3,R^{2}=OM^{2}+16\Rightarrow R^{2}=(R-3)^{2}+16\Rightarrow R=\dfrac{25}{6},(1),

Στο τρίγωνο

ATC,AT^{2}=25-x^{2},(2), ATS,AS^{2}=3x^{2}+25,(3)

(ASC)=\dfrac{5x.AS}{4R}=\dfrac{1}{2}x.AT,(4), (1) ,(2),(3),(4)\Rightarrow 25(25-x^{2})=27x^{2}+9.25\Leftrightarrow x=\dfrac{10\sqrt{13}}{13}

mathematica.gr

Καθετότητα και ισότητα

Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα

Re: Καθετότητα και ισότητα