mathematica.gr

Ο κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του κύκλου .

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 7:01 am Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του κύκλου .

Τα σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρου Άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

(εγγεγραμμένες σε ίσες χορδές) και προφανώς τα αμβλυγώνια τρίγωνα θα είναι ίσα. Επομένως και τα τρίγωνα θα είναι ίσα, δηλαδή Επειδή όμως η εφάπτεται

του κύκλου το ίδιο θα συμβαίνει και με την

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 7:01 am Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του κύκλου .

Αγνοούμε προσωρινά την ευθεία . Θεωρούμε τις εφαπτόμενες από τα και ας είναι το σημείο τομής τους .

Το είναι το έγκεντρο του . Η χορδή είναι η χορδή των επαφών από το , δηλαδή η πολική του .

Ας πούμε το σημείο τομής της ημιευθείας με το ημικύκλιο . Σύμφωνα με το Θ.

η πολική του θα διέρχεται από το και θα είναι κάθετος στην Ας είναι , οι τομές της πολικής αυτής με τον . Προεκτείνουμε την και τέμνει τη χορδή των επαφών από το , στο σημείο .

Η τώρα εύκολα δείχνουμε ότι ειναι κοινή μεσοκάθετος των ισοσκελών τριγώνων , ,

οπότε διέρχεται κι από το Έτσι το ισοδύναμο αντίστροφο πρόβλημα έχει λυθεί .

Συνοπτικά γιατί φεύγω...


Θεωρώ και τα εφαπτόμενα τμήματα του που εφάπτεται στην στο ,

και τότε μεσοκάθετη του άρα διχοτόμος της

Ως γνωστόν και με η είναι διχοτόμος και η εξωτερική διχοτόμος στο

οπότε διχοτόμος της και ταυτοχρόνως διχοτόμος της άρα συνευθειακά οπότε συνευθειακά

Dimessi έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 8:40 pm Συνοπτικά γιατί φεύγω...


Θεωρώ και τα εφαπτόμενα τμήματα του που εφάπτεται στην στο ,

και τότε μεσοκάθετη του άρα διχοτόμος της

Ως γνωστόν και με η είναι διχοτόμος και η εξωτερική διχοτόμος στο

οπότε διχοτόμος της και ταυτοχρόνως διχοτόμος της άρα συνευθειακά οπότε συνευθειακά

Δημήτρη διαβάζω τη λύση σου. Ορίζεις το τομή της με το ημικύκλιο . Μετά λες ότι η

είναι μεσοκάθετο στο (σωστό ). . Συνεχίζεις όμως « άρα διχοτόμος της »

Εδώ υπάρχει μαθηματικό κενό αφού δεν έχουμε πουθενά πιο πάνω δείξει ότι το σημείο ανήκει στην ευθεία .

Δεν θέλω αντιδικία με κανένα πολύ περισσότερο με σένα .. Τι δεν βλέπω καλά? .

Καλησπέρα. Δεκτή η απορία αν και δεν υφίσταται κενό.

Δεν θεωρήθηκε καμία συνευθειακότητα εκ προοιμίου δίχως να έχει δειχθεί και εξηγούμαι ευθύς αμέσως:

χαρταετός άρα διχοτόμος της

Εδώ δεν χρησιμοποιήθηκε πουθενά το (αποδεικτέο) ότι το ανήκει στην ευθεία

Δεν τίθεται θέμα αντιδικίας αν και το ''πολύ περισσότερο με σένα'' που λέτε με έκανε να θέλω να ξεκαθαρίσω το εξής:

Εγώ δεν επιθυμώ να λειτουργώ ως μαύρη τρύπα που καταπίνει όλους τους χρήστες . Δεν λέω κάτι κακό δεκτή η απορία σας.

Δε χρειάζεται αυτός ο διστακτικός πρόλογος , θέλω να μιλάμε κανονικά όλοι με στοιχειώδη άνεση.

Επίσης νομίζω ότι καλό θα ήταν να κατεβάσουμε και οι δύο αυτά που γράφουμε τα δύο τελευταία μας ποστ
(η απορία σας και η τωρινή απάντησή μου) , καθώς δεν προσφέρουν κάτι και χαλάνε την όλη ανάρτηση.

Συζητήσαμε στο προσωπικό μήνυμα.

Στείλτε μου Π.Μ να μου πείτε ότι συμφωνείτε να τα κατεβάσουμε και αρχίζω να σβήνω πρώτος αυτό το μήνυμα κι έπειτα εσείς το μήνυμα της απορίας σας.

Και μια άλλη ισοδύναμη μορφή:

Οι εφαπτομένες του κύκλου που άγονται από τα , τέμνονται στο σημείο ,
και εφάπτονται του κύκλου στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω .
Τότε, .
Πρόκειται για το γνωστό λήμμα του Ιράν , που επανειλημμένα εχει χρησιμοποιηθεί:
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των , , , στα σημεία , , αντίστοιχα.
Έστω και τα μέσα των και , αντίστοιχα. Η ημιευθεία τέμνει την ευθεία στο .
Τότε, και το ανήκει στην ευθεία .

giannimani έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 9:52 pm Και μια άλλη ισοδύναμη μορφή:

Οι εφαπτομένες του κύκλου που άγονται από τα , τέμνονται στο σημείο ,
και εφάπτονται του κύκλου στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω .
Τότε, .

iran.png
Πρόκειται για το γνωστό λήμμα του Ιράν , που επανειλημμένα εχει χρησιμοποιηθεί:
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται των , , , στα σημεία , , αντίστοιχα.
Έστω και τα μέσα των και , αντίστοιχα. Η ημιευθεία τέμνει την ευθεία στο .
Τότε, και το ανήκει στην ευθεία .

Καλημέρα

Με άλλα λόγια η άσκηση του Θανάση είναι μια ισοδύναμη μορφή του Λήμματος του Ιράν . Προσωπικά μου ήταν άγνωστο

Θα ψάξω στο διαδίκτυο για αποδείξεις του .


Εδώ

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 7:01 am Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του κύκλου .

Λόγω του εγγράψιμμου και της εφαπτόμενης όλες οι μπλε γωνίες

είναι ίσες,άρα το είναι εγγράψιμμο,συνεπώς

Έτσι επομένως εφάπτεται του κύκλου

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 7:01 am Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του κύκλου .

Η τέμνει το ημικύκλιο στο

Λόγω του εγγράψιμμου και του χαρταετού οι σημειωμένες γωνίες είναι ίσες

Άρα η αναγκαστικά περνά από το και λόγω της προφανούς ισότητας των κόκκινων γωνιών,το

τετράπλευρο είναι εγγράψιμμο,συνεπώς άρα η εφάπτεται του κύκλου

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Παρ Οκτ 16, 2026 1:13 pm

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 7:01 am Κι αυτή εφάπτεται.pngΟ κύκλος εφάπτεται της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το ημικύκλιο

στο σημείο . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Δείξτε ότι και η εφάπτεται του κύκλου .

Λόγω του εγγράψιμμου και της εφαπτόμενης όλες οι μπλε γωνίες

είναι ίσες,άρα το είναι εγγράψιμμο,συνεπώς

Έτσι επομένως εφάπτεται του κύκλου

Κι αυτή εφάπτεται.png

Και οι δυο αναρτήσεις του Μιχάλη, πολύ ωραίες . Ειδικά η πρώτη του είναι με "δυο πινελιές"