mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 14, 2026 6:27 am**

: Βεβαιότητα και εικασία.png (24.06 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

Η χορδή

του ημικυκλίου διαμέτρου

- με μέσο το σημείο

- κινείται

μένοντας παράλληλη προς τον x'x

. Οι

AS , BM

τέμνονται στο σημείο

.

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

.

β) Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ATB}$ ελαχιστοποιείται , όταν :

\widehat{TAB}=2\widehat{TBA}

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 14, 2026 8:39 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 6:27 am Βεβαιότητα και εικασία.pngΗ χορδή του ημικυκλίου διαμέτρου - με μέσο το σημείο - κινείται

μένοντας παράλληλη προς τον . Οι $AS , BM$ τέμνονται στο σημείο .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

β) Δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ATB}$ ελαχιστοποιείται , όταν : $\widehat{TAB}=2\widehat{TBA}$ .

α) Έστω

T(x,y).

Η εξίσωση του ημικυκλίου είναι

\boxed{x^2+y^2-ax-2a^2=0,y\ge 0}

Επειδή το

βρίσκεται

στη μεσοκάθετο της

θα έχει πάντα τετμημένη ίση με $\dfrac{a}{2}.$ Θέτω

M\left( {\dfrac{a}{2},m} \right),S(s,m),

οπότε

P(a-s,m).

BM:y = \frac{{2m}}{{3a}}(2a - x),AS:y = \frac{m}{{s + a}}(x + a)

απ' όπου παίρνω

\dfrac{{3a}}{{2(2a - x)}} = \dfrac{m}{y} = \dfrac{{s + a}}{{x + a}} \Rightarrow

\boxed{s = \frac{{a(5x - a)}}{{2(2a - x)}},m = \frac{{3ay}}{{2(2a - x)}}}

: Βεβαιότητα και εικασία.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Αλλά, το

είναι σημείο του ημικυκλίου, άρα

s^2+m^2-as-2a^2=0.

Καταλήγω λοιπόν στη σχέση

\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3a^2}=1}

που είναι και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου (έλλειψη). Στο σχήμα ο γεωμετρικός τόπος

είναι η κόκκινη ημιέλλειψη (υποθέτω ότι τα S, P

μπορούν να αλλάξουν θέση μεταξύ τους).

β) Η γωνία $\omega$ ελαχιστοποιείται, όταν το άθροισμα

\varphi+\theta

γίνει μέγιστο. Αλλά,

\tan \varphi = \frac{y}{{x + a}},\tan \theta = \frac{y}{{2a - x}},{y^2} = 3{a^2} - 3{x^2}

Τελικά παίρνω,

\tan (\varphi + \theta ) = \dfrac{{3a\sqrt {3{a^2} - 3{x^2}} }}{{(2x - a)(x + a)}},

όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι παρουσιάζει

μέγιστο όταν

\boxed{x=\frac{(1-\sqrt 3)a}{2}}

Τότε όμως

\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt {6\sqrt 3 } }}{{3 - \sqrt 3 }},\tan \theta = \dfrac{{\sqrt {6\sqrt 3 } }}{{3 + \sqrt 3 }}

Εύκολα στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι

\tan \varphi=\tan 2\theta.

mathematica.gr

Βεβαιότητα και εικασία

Βεβαιότητα και εικασία

Re: Βεβαιότητα και εικασία