mathematica.gr

Σε φέρνουμε τα ύψη του , και ας είναι το ορθόκεντρό του .

Οι ευθείες , τέμνονται στο . Δείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στη διάμεσο του .

Doloros έγραψε: Δευ Οκτ 19, 2026 11:07 pm Σε φέρνουμε τα ύψη του , και ας είναι το ορθόκεντρό του .

Οι ευθείες , τέμνονται στο . Δείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στη διάμεσο του .

Από το εγγράψιμο προκύπτει .

Έστω το σημείο τομής του περίκυκλου του εγγράψιμου με την .

Από το εγγράψιμο προκύπτει .

Από που σημαίνει ότι το είναι εγγράψιμο, άρα το ανήκει στον περίκυκλο του κέντρου .

Φέρνουμε τη διάμετρο του κύκλου και προφανώς .

Από το εγγράψιμο ισχύει ότι .

Από συνευθειακά.

Εφόσον έπεται ότι το είναι παραλληλόγραμμο και αφού θα είναι και .

Έτσι, τα σημεία είναι συνευθειακά, οπότε και αφού προκύπτει ότι το είναι το ορθόκεντρο του και το ζητούμενο έπεται.

Doloros έγραψε: Δευ Οκτ 19, 2026 11:07 pm Σε φέρνουμε τα ύψη του , και ας είναι το ορθόκεντρό του .

Οι ευθείες , τέμνονται στο . Δείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στη διάμεσο του .

Θα χρησιμοποιήσω το σημείο A-Humpty

Θεωρώ τον περίκυκλο του τριγώνου και του κύκλους διαμέτρων αντίστοιχα. Οι κύκλοι

τέμνονται στο ορθόκεντρο και σε ένα άλλο σημείο που είναι το σημείο του τριγώνου Είναι Αρκεί να δείξω ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Πράγματι, οι ευθείες είναι ριζικοί

άξονες των κύκλων αντίστοιχα. Άρα η διέρχεται από το σημείο τομής των

Doloros έγραψε: Δευ Οκτ 19, 2026 11:07 pm Σε φέρνουμε τα ύψη του , και ας είναι το ορθόκεντρό του .

Οι ευθείες , τέμνονται στο . Δείξετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στη διάμεσο του .

Εκτός ύλης..

Για το πλήρες τετράπλευρο με εγγράψιμμο, είναι γνωστό ότι το κέντρο

του κύκλου και το σημείο τομής των διαγωνίων του ορίζουν ευθεία που είναι κάθετη

στην τρίτη διαγώνιό του (Το ίχνος της στην είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου)

Εδώ,στο πλήρες τεράπλευρο το κέντρο του κύκλου είναι το μέσον του .

Άρα ορθόκεντρο του τριγώνου ,συνεπώς