mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 21, 2026 6:30 pm**

: Όλα τριπλά.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AOB

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τέμνουσα

SPT

. Κατασκευάστε το σχήμα έτσι , ώστε :

SP=PT=TA

και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{\tan\omega}{\tan\theta}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 21, 2026 9:44 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 6:30 pm Όλα τριπλά.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε τέμνουσα

. Κατασκευάστε το σχήμα έτσι , ώστε : $SP=PT=TA$ και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{\tan\omega}{\tan\theta}$ .

: Τριπλ.png (15.86 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές

.
Είναι

\widehat {O_1}=\widehat {O_2}

(ίσες χορδές), οπότε στα ισοσκελή τρίγωνα

AOT, TOP

οι τέσσερις γωνίες $\omega$ είναι ίσες. Ειδικά τώρα από το τρίγωνο ATS

είναι

3\omega = 180-\theta

και άρα

\sin 3\omega= \sin \theta

(*)

Επίσης, από τον Νόμο των ημιτόνων στο ATS

είναι

\dfrac {2a}{\sin \omega} = \dfrac {a}{\sin \theta}

. Άρα

\sin \omega = 2\sin \theta

(**)

Από (*), (**) είναι

2\sin 3\omega = 2\sin \theta = \sin \omega

. Τώρα η πρώτη και η τελευταία δίνουν

2(3\sin \omega- 4 \sin ^3 \omega )= \sin \omega

, από όπου

\sin \omega = \sqrt {\dfrac {5}{8} }

οπότε από την (**) είναι και

\sin \theta = \sqrt {\dfrac {5}{32} }

Εύκολα τώρα

\tan \omega = \sqrt {\dfrac {5}{3} }

και

\tan \theta = \sqrt {\dfrac {5}{27} }

. Άρα

\boxed { \dfrac{\tan\omega}{\tan\theta}=3}

.

Για την κατασκευή του σχήματος είναι

AT= 2R \cos \omega = \sqrt {\dfrac {3}{2} }R

(άμεσο), οπότε τώρα συμπληρώνουμε το σχήμα αρχίζοντας με το να λάβουμε

TP=AT

, και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 22, 2026 12:51 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 6:30 pm Όλα τριπλά.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε τέμνουσα

. Κατασκευάστε το σχήμα έτσι , ώστε : $SP=PT=TA$ και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{\tan\omega}{\tan\theta}$ .

: Τριπλ 2.png (20.48 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

.
Υπάρχει γρήγορος τρόπος κατασκευής του σχήματος: Όπως πριν, οι τέσσερις γωνίες $\omega$ είναι ίσες. Έπεται ότι η

είναι διχοτόμος της γωνίας

του τριγώνου ATS

. Άρα

\dfrac {AO}{OS}= \dfrac {AT}{TS}= \dfrac {1}{2}

που σημαίνει ότι

OS=2OA=2R

. Αυτό προσδιορίζει το

. Το

είναι τώρα άμεσο, καθώς βρίσκεται στον κύκλο του Απολλωνίου των σημείων που χωρίζουν το

σε λόγο

(o κόκκινος). Εκεί που τέμνει τον δοθέντα, είναι το ζητούμενο σημείο

.

H εύρεση του $\dfrac{\tan\omega}{\tan\theta}$ μπορεί να γίνει όπως πριν ή από τον Νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ATS

. To αφήνω λόγω ώρας και γιατί είναι σχετικά απλό.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 22, 2026 1:52 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 6:30 pm Όλα τριπλά.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε τέμνουσα

. Κατασκευάστε το σχήμα έτσι , ώστε : $SP=PT=TA$ και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{\tan\omega}{\tan\theta}$ .

Ανάλυση

Με