mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 24, 2026 1:11 pm**

Το σύνολο

αποτελείται από δέκα διαφορετικούς θετικούς ακέραιους τέτοιους, ώστε για κάθε

k=2, \ldots , 10

το άθροισμα οποιονδήποτε

εξ αυτών των αριθμών διαιρείται με το

. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή, την οποία μπορεί να πάρει ο μέγιστος εξ αυτών των αριθμών.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 25, 2026 3:51 am**

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 1:11 pm Το σύνολο αποτελείται από δέκα διαφορετικούς θετικούς ακέραιους τέτοιους, ώστε για κάθε $k=2, \ldots , 10$ το άθροισμα οποιονδήποτε εξ αυτών των αριθμών διαιρείται με το . Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή, την οποία μπορεί να πάρει ο μέγιστος εξ αυτών των αριθμών.

Αντιγράφω τη λύση μου που είχα βάλει χθες το μεσημέρι από το κινητό με ενιαίο κείμενο και βάζω και μια γενίκευση.

Θεωρούμε το σύνολο S με στοιχεία

a_1,a_2,...,a_{10}

έστω σε αύξουσα σειρα. Κοιτάμε κάθε

αδα με τους αριθμούς

x_1,x_2,x_3,...,x_\ell

που το άθροισμα των στοιχείων της είναι modulo k. Συγκρίνουμε με την

αδα

x_1,x_2,x_3,...,x_{m}

όπου το τελευταίο της στοιχείο είναι x_m

αντί του

x_\ell

και της οποίας επίσης το άθροισμα των στοιχείων είναι modulo k. Αφαιρώντας επομένως

x_\ell -x_m \equiv 0 \left (\mathrm {mod } k \right )

για κάθε

x_\ell

,

x_m \in S

και για κάθε

2\leqslant k\leqslant 10

. Δηλαδή για κάθε

1\leqslant \ell,m\leqslant 10

είναι

a_\ell -a_m \equiv 0 \left (\mathrm{mod } 2520 \right )

. Τότε

a_{10}\geqslant a_1+9\times 2520

. Σε κάθε

αδα έχουμε

στοιχεία ισότιμα

\mathrm{mod } k

και άρα το άθροισμα των στοιχείων κάθε

αδας διαιρείται με το

. Επομένως η ελάχιστη δυνατή τιμή του a_1

είναι 1 και τότε

a_{10}\geqslant 1+9\times 2520 =22681

με την ελάχιστη τιμή του $a_{10}$ να είναι εφικτή κατασκευάζοντας τους δέκα πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο a_1=1

και διαφορά

\omega =2520

. Επομένως

\boxed{\min a_{10}=22681}

. Με ακριβώς το ίδιο σκεπτικό γενικεύεται το συμπέρασμα και επιτυγχάνεται η ελάχιστη τιμή του μεγίστου εκ των αριθμών a_1,a_2,...,a_n

για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο

αντί της ειδικής περίπτωσης n=10

, όπου και πάλι για το σύνολο

\left \{a_1,a_2,...,a_n \right \}

πληρούνται οι συνθήκες

a_n>a_{n-1}>...>a_2>a_1

και το άθροισμα οποιονδήποτε

εξ αυτών διαιρείται με το

για κάθε

2\leqslant k \leqslant n

. Πράγματι για κάθε

2\leqslant k\leqslant n

είναι

a_m\equiv a_s \left (\mathrm{mod} k \right)

για κάθε

1\leqslant s,m \leqslant n

και άρα

a_m\equiv a_s \left (\mathrm{mod} \left (\mathrm{lcm}(2,...,n) \right) \right)

για κάθε

1\leqslant s,m \leqslant n

, επομένως

a_n\geqslant a_1+(n-1)\mathrm{lcm} \left (2,...,n\right )\geqslant

\geqslant 1+(n-1)\mathrm{lcm} \left (2,...,n \right) \left (\ast \right)

. Προς επίτευξη του κάτω φράγματος κατασκευάζουμε τους

πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο a_1=1

και διαφορά

\omega =\mathrm{lcm} \left (2,...,n \right)

και τότε για κάθε

2\leqslant k \leqslant n

το άθροισμα των στοιχείων κάθε

αδας είναι το άθροισμα

θετικών ακεραίων ισότιμων

\mathrm{mod} k

και άρα διαιρείται με το

. Επομένως

\boxed{\min a_n=1+(n-1)\mathrm{lcm} \left (2,...,n \right)}

Γενίκευση Θεωρούμε ένα σύνολο

που αποτελείται από

διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακεραίους εκ των οποίων ο καθένας ανήκει στο σύνολο

\left \{1,2,...,(n-1)\mathrm{lcm} \left (2,...,n \right) \right \}

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας

k \in \left \{2,3,...,n \right \}

για τον οποίο υπάρχει

αδα που αποτελείται από στοιχεία του συνόλου

και το άθροισμα των στοιχείων της δεν διαιρείται με το

.
Απόδειξη Αν δεν υπήρχε τέτοιος

τότε για κάθε

k\in \left \{2,3,...,n \right \}

το άθροισμα των στοιχείων κάθε τέτοιας

αδας θα διαιρούνταν με το

και άρα

M\geqslant 1+(n-1)\mathrm{lcm} \left (2,3,...,n \right)>(n-1) \mathrm{lcm} \left (2,3,...,n \right )

όπου

το μεγαλύτερο στοιχείο του συνόλου

που είναι άτοπο. Άρα υπάρχει τέτοιος

k \in \left \{2,3,...,n \right \}

για τον οποίο υπάρχουν

στοιχεία του συνόλου

\left \{y_1,y_2,...,y_k \right \} \subseteq {X}

με άθροισμα

k \nmid y_1+y_2+...+y_k

, που ολοκληρώνει την απόδειξη. $\square$

mathematica.gr

Μέγιστο ελάχιστου σε σύνολο

Μέγιστο ελάχιστου σε σύνολο

Re: Μέγιστο ελάχιστου σε σύνολο