mathematica.gr

.
Ένας σκύλος και μία γάτα κάνουν βόλτες γύρω από μία λίμνη. Η γάτα θέλει λεπτά για έναν γύρο ενώ ο σκύλος θέλει μόνο . Αν ξεκινήσουν συγχρόνως και προς την ίδια κατεύθυνση, σε πόσην ώρα ο σκύλος θα ξαναφτάσει την γάτα;

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Δημοτικού. Επιθυμώ λύσεις με γνώσεις των μαθητών του Δημοτικού (γνωρίζω τουλάχιστον δύο τρόπους), δηλαδή χωρίς χρήση εξισώσεων.)

Σε 1΄ η γάτα κάνει το 1/15 του γύρου και ο σκύλος το 1/12. Άρα σε 1΄ ο σκύλος θα έχει κάνει 1/12-1/15=1/60 του γύρου περισσότερο της γάτας. Δηλαδή σε 60΄ ο σκύλος θα ξαναφτάσει την γάτα.

Σε κάθε γύρο που κάνει η γάτα ο σκύλος κάνει επιπλέον του γύρου.

Θα συναντηθούν για πρώτη φορά όταν ο σκύλος κάνει έναν γύρο επιπλέον.

Έτσι όταν η γάτα κάνει γύρους ο σκύλος θα κάνει επιπλέον γύρο και θα φθάσει τη γάτα στην αφετηρία.

Ο χρόνος που θα περάσει θα είναι λεπτά.

Ερώτηση:

Αν η γάτα κάνει 25 λεπτά το γύρο και ο σκύλος 12 λεπτά σε πόση απόσταση, (σε γύρους), από την αφετηρία ο σκύλος θα φθάσει τη γάτα για πρώτη φορά;

Με όμοιο σκεπτικό σε 1΄ ο σκύλος μπροστά τα 1/12-1/25=13/300 του γύρου, άρα θα τον προσπεράσει σε 300/13΄. Στον χρόνο αυτό ο σκύλος θα έχει κάνει 300/13*1/12=25/13 γύρους και η γάτα 300/13*1/25=12/13 γύρους.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Οκτ 26, 2026 11:17 pm λίμνη.png
.
Ένας σκύλος και μία γάτα κάνουν βόλτες γύρω από μία λίμνη. Η γάτα θέλει λεπτά για έναν γύρο ενώ ο σκύλος θέλει μόνο . Αν ξεκινήσουν συγχρόνως και προς την ίδια κατεύθυνση, σε πόσην ώρα ο σκύλος θα ξαναφτάσει την γάτα;

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Δημοτικού. Επιθυμώ λύσεις με γνώσεις των μαθητών του Δημοτικού (γνωρίζω τουλάχιστον δύο τρόπους), δηλαδή χωρίς χρήση εξισώσεων.)

Μια λύση εκτός φακέλου.

Μετά από λεπτά:

ο σκύλος θα έχει κάνει γύρο και θα βρίσκεται στην αφετηρία ενώ

η γάτα θα έχει κάνει τα του γύρου.

Ξεδιπλώνοντας το σχήμα: Έστω λεπτά ο εναπομένων χρόνος μέχρι ο σκύλος να συναντήσει τη γάτα.

Στον χρόνο αυτό:

ο σκύλος θα διανύσει γύρους,

η γάτα θα διανύσει γύρους και

θα συναντηθούν μόλις ο σκύλος διανύσει ό,τι διανύσει η γάτα συν το προβάδισμά της (το οποίο απέκτησε κατά το ξεδίπλωμα και είναι ίσο με τα του γύρου), για αυτό:



Εν κατακλείδι, ο σκύλος θα συναντήσει τη γάτα μετά από λεπτά, δηλαδή ώρα.

*Όλα τα παραπάνω ισχύουν με την προϋπόθεση ότι το μέτρο της ταχύτητάς τους μένει σταθερό καθ' όλη την διάρκεια της βόλτας.