mathematica.gr • MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Σελίδα 1 από 1

MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 02, 2026 3:55 pm

από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ

Παρακάτω δημοσιεύω μια άσκηση που μου ζητήθηκε η λύση της. Ίσως κάποιος ωφεληθεί αν την δει...
Όταν ασχολήθηκα μαζί της θυμήθηκα κάποια πράγματα από τότε που ήμουν μαθητής της Τρίτης Λυκείου και πρωτοετής φοιτητής στο Μαθηματικό της Πάτρας.

Βρείτε το όριο της ακολουθίας

\left( a_{n} \right)

με $a_{1}>0$ και

a_{n+1} =\frac{a_{n}}{1+\frac{1}{n}+a_{n}+a_{n}^{3}} ,n=1,2,3,...

και να διερευνήσετε τη σύγκλιση της παρακάτω σειράς

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ n!}{n^{n}}a_{n} ^3

Re: MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 02, 2026 4:56 pm

από Dimessi

Μήπως δίνεται a_1>0

a_1>0

; Τότε επαγωγικά a_n>0

a_n>0

για κάθε

και $a_{n+1}<a_{n}$ για κάθε

οπότε $a_{n}$ ως γνήσια φθίνουσα έχει όριο στο $\infty$ το οποίο επειδή είναι θετική είναι είτε

\ell \geqslant 0

είτε $+\infty$ που το δεύτερο δε γίνεται γιατί

\lim a_{n}=\inf a_{n}

οπότε

\lim a_{n}=\ell \geqslant 0

και άμεσα

\ell =\dfrac{\ell }{1+\ell +\ell ^3}\Longrightarrow \ell =0

και για τον γενικό όρο της σειράς

y_{n}=\dfrac{n!}{n^n}a_{n}^3

είναι

\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}}=\dfrac{1}{\left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n}\cdot \dfrac{1}{\left (1+\dfrac{1}{n}+a_n+a_n^3 \right)^3}

\rightarrow \dfrac{1}{e}<1

.

Re: MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 02, 2026 5:07 pm

από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ

Dimessi έγραψε: Δευ Νοέμ 02, 2026 4:56 pm Μήπως δίνεται ;

Ναι, δίνεται ότι a_1>0

a_1>0

. Δικό μου η παράλειψη που έγινε κατά την πληκτρολόγηση. Συγνώμη για αυτό.
Κατά τα άλλα η παραπάνω λύση είναι ίδια με τη δική μου.