mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 26, 2008 9:19 pm**

Καλησπέρα σε όλους!Μια εξαιρετικά ''πονηρή'' (και οχι τόσο τεχνική) είναι κατά την ταπεινή μου γνώμη,η εξής άσκηση:

Να ορίσετε τον $a\neq 0$ ,ώστε η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ,με f(x)=x^2+2ax-1

αν $x\leq 0$ και
f(x)=ax-1

,αν

,να είναι

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 26, 2008 9:37 pm**

Γειά σας και χρόνια πολλά. Η συνάρτηση που δίνεται είναι συνεχής. Αν λοιπόν είναι 1-1 θα είναι γνησίως μονότονη. Η παράγωγος της για x<0

είναι $2(x+\alpha)$ . Για να διατηρεί πρόσημο πρέπει $\alpha \leq 0$ . Η τιμή 0 απορρίπτεται για προφανείς λόγους. Βλέπουμε ότι για $\alpha<0$ και μόνον η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και συγκεκριμένα γνησίως φθίνουσα.
Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 26, 2008 9:53 pm**

Καταρχήν θα πρέπει η τετμημένη της κορυφή της παραβολής να είναι θετική (διαφορετικά υπάρχει μία περιοχή στην οποία η συνάρτηση δεν είναι 1-1). Άρα λοιπόν πρέπει $\alpha<0$ . Από την άλλη, όταν $\alpha<0$ τότε ο δεύτερος κλάδος της συνάρτησης (η ευθεία) έχει σύνολο τιμών το $(-\infty, -1)$ . Άρα λοιπόν για να είναι η συνάρτηση 1-1 πρέπει να απαιτήσουμε ο πρώτος κλάδος (η υπερβολή) να είναι $\geq -1$ για κάθε $x \geq 0$ , πράγμα που ισχύει για κάθε $\alpha<0$ . Συνεπώς πρέπει $\alpha<0$ .

Αλέξανδρος