mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 2:44 pm**

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, (\hat{A}=90^{0})$ όπου AC=2AB.

Έστω

το μέσο της

και $DE\perp BC.$ Αν $CE=4\sqrt{5}$ τότε να βρείτε το εμβαδόν του ABC.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:00 pm**

kostas136 έγραψε:Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, (\hat{A}=90^{0})$ όπου Έστω το μέσο της και $DE\perp BC.$ Αν $CE=4\sqrt{5}$ τότε να βρείτε το εμβαδόν του

διέγραψα την απάντηση που είχα δώσει,γιατί άλλα διάβαζα,άλλα έβλεπα ...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:23 pm**

Φωτεινή, η σχέση (2) πώς έχει προέλθει;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:28 pm**

kostas136 έγραψε:Φωτεινή, η σχέση (2) πώς έχει προέλθει;

η BD είναι διάμεσος άρα τα ABD,BCD είναι ισεμβαδικά με $\displaystyle{(BDC)=\frac{1}{2}BC\cdot DE}$
και νομίζω ότι το 8 πρέπει να γίνει 4,να το δω

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:30 pm**

Το αριθμητικό είχα δεί και εγώ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:33 pm**

Το

είναι το μισό του CE.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:39 pm**

Κώστα τη διέγραψα,γιατί... το CE το έβλεπα DE...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:40 pm**

Από το ημΓ στα δύο ορθογώνια τρίγωνα DEC(γωνΕ=90) και ΑΒC(γωνΑ=90) είναι $\frac{c}{a}=\frac{DE}{c}$ ή $c^2=aDE \fbox1$
Ομοίως από το συνΓ στα δύο προηγούμενα ορθογώνια τρίγωνα πάλι έχουμε: $\frac{4\sqrt{5}}{c}=\frac{2c}{a}$ ή $c^2=2a\sqrt{5}\fbox2$
Από $\fbox1,\fbox2$ έχουμε $DE=2\sqrt{5}$ οπότε από πυθαγόρειο στο ABC έχουμε c=10

.
Τελικά (ABC)=100 αν δεν έχω κάνει λάθος.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:43 pm**

Άλλος τρόπος. Το ύψος $AK=2DE=CE=4\sqrt{5}.$ Αλλά $\displaystyle AK^{2}=KC\times BK\Rightarrow BK=2\sqrt{5}\Rightarrow E=\frac{1}{2}BC\times AK=\frac{1}{2}10\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}=100$
Δεν έπρεπε να την διαγράψεις, ήταν πολύ ωραία λύση, απλά από $\displaystyle tan\hat{C}=\frac{1}{2}$ προκύπτει $DE=2\sqrt{5}$ και συνεχίζεις...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 4:13 pm**

κ.Κώστα βάζω κάτι ακόμα πιο σύντομο

:

Τα τρίγωνα CDE και ABC είναι όμοια (όλες οι γωνίες τους είναι ίσες) άρα:

$\displaystyle \frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}\Leftrightarrow \frac{4\sqrt{5}}{2x}=\frac{x}{\sqrt{4x^{2}+x^{2}}}\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{5}}{x}=\frac{x}{\sqrt{5}x}\Leftrightarrow x=10$

Άρα $\displaystyle (ABC)=x^2=100$