βραδυνό ολοκλήρωμα 89
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 23, 2010 9:46 pm
Να υπολογίσετε το
![\displaystyle\int_0^1 \left( \sqrt[2012]{1 - x^{2010}} - \sqrt[2010]{1-x^{2012}} \right) \; \mbox d x](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/486b3c30babd6dc4f0cea7c7471fc128.png "\displaystyle\int_0^1 \left( \sqrt[2012]{1 - x^{2010}} - \sqrt[2010]{1-x^{2012}} \right) \; \mbox d x")
![\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[m]{1-x^n}dx\overset{x^n=u}{=}\frac{1}{n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}u^{\frac{1}{n}-1}(1-u)^{\frac{1}{m}}du=\frac{1}{n}B\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}+1\right)=\frac{1}{n}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{1}{m}+1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}=\frac{1}{nm}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{1}{m}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a2f9d63d827893857152d8d4502eb492.png "\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[m]{1-x^n}dx\overset{x^n=u}{=}\frac{1}{n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}u^{\frac{1}{n}-1}(1-u)^{\frac{1}{m}}du=\frac{1}{n}B\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}+1\right)=\frac{1}{n}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{1}{m}+1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}=\frac{1}{nm}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{1}{m}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}}")
Όμοια
![\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[n]{1-x^m}dx=\frac{1}{mn}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{m}\right)\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9c60aa8657a534f8c7c44c76981d2ef8.png "\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[n]{1-x^m}dx=\frac{1}{mn}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{m}\right)\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}}")
Τελικά
![\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[2012]{1-x^{2010}}-\sqrt[2010]{1-x^{2012}}\right)dx=0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4ed48920ea718c0b8125766a75f0d9d5.png "\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[2012]{1-x^{2010}}-\sqrt[2010]{1-x^{2012}}\right)dx=0}")
Σελίδα 1 από 1
Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 89
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 25, 2010 11:10 pm
Όμοια
Τελικά
Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 89
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 26, 2010 2:11 am
Μία άμεση λύση προκύπτει αν σκεφτούμε την αντίστροφη της ![\displaystyle{{\sqrt[{2012}]{{1 - {x^{2010}}}}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a3dbeea29341e04e22ae7f8f1a65e304.png "\displaystyle{{\sqrt[{2012}]{{1 - {x^{2010}}}}}}")
στο [0,1]
στο [0,1]