mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 24, 2010 3:53 pm**

Έστω τρίγωνο $\triangle ABC$ και D, E

τα μέσα των AB, AC

αντίστοιχα. Αν

τυχαίο σημείο της

να δείξετε ότι $\displaystyle E_{KDE}=\frac{1}{4}E_{ABC}.$
(Με το γράμμα

εννοώ φυσικά το εμβαδόν του τριγώνου)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 10:48 am**

Έχουμε ότι DE//BC γιατί ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή για τα ευθύγραμμα τμήματα AD/DB=AE/EC=1 αφού D και E μέσα.
Επίσης έχουμε ότι το τρίγωνο ADE είναι όμοιο με το ABC αφού ισχύει $\wedge CBA=\wedge ADE$ και $\wedge BCA=\wedge DEA$ (ως εντός εκτός κι επί ταυτά αφού DE//BC). Ξέρουμε και ότι ο λόγος ομοιότητας είναι 1/2 γιατί τα D και E είναι μέσα.
Άρα καταλήγουμε ότι $DE=\frac{1}{2}BC$ .

Φέρνουμε κάθετη από το D στην BC (όπως στο σχήμα) που είναι ίση με το ύψος του KDE με βάση την DE αφού DE//BC. Επίσης φέρνουμε το ύψος του ABC από το A προς την BC. Σχηματίζονται τα τρίγωνα ABN και DBM τα οποία είναι όμοια αφού B κοινή γωνία και έχουν ίσες και τις ορθές. Ο λόγος ομοιότητας τους είναι 1/2 και το συμπεραίνουμε αφού $DB=\frac{1}{2}AB$ . Άρα καταλήγουμε ότι $DM=\frac{1}{2}AN$ .

Έτσι από τον λόγο των εμβαδόν τους έχουμε:

$\frac{E_{KDE}}{E_{ABC}}=\frac{\frac{DM*DE}{2}}{\frac{AN*BC}{2}}=\frac{DM*DE}{AN*BC}=\frac{\frac{1}{2}AN*\frac{1}{2}BC}{AN*BC}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow E_{KDE}=\frac{1}{4}E_{ABC}$

ΥΓ: Το σχήμα είναι με τη ζωγραφική...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 7:44 pm**

Ένας λίγο διαφορετικός τρόπος.
Έστω Z το μέσο της BC. Εύκολα αποδεικνύεται η ομοιότητα των τριγώνων ABC και DEZ με λόγο ομοιότητας 1/2
άρα (ABC) = 1/4(DEZ). Όμως (DEZ) = (DEK) (έχουν την ίδια βάση και ίσα ύψη) και άρα (ABC) = 1/4(DEΚ).
Πάντως ο τρόπος γραφής στο

για κάποιον που δεν έχει εξοικειωθεί, είναι αργός και βασανιστικός. Είναι από τις λίγες φορές που αναρτώ κάτι και ο λόγος είναι αυτός. χωρίς παρεξήγηση πάντα...

mathematica.gr

Εμβαδό Τριγώνου

Εμβαδό Τριγώνου

Re: Εμβαδό Τριγώνου

Re: Εμβαδό Τριγώνου