mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 3:43 am**

Εστω γ,δ οι ριζες και Δ η διακρινουσα της ακολουθης δευτεροβαθμιας εξισωσης :

$\displaystyle{\gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x + \Delta = 0}$

Να υπολογιστουν αριθμητικα οι τιμες των γ,δ και Δ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 11:22 am**

dxdy έγραψε:Εστω γ,δ οι ριζες και Δ η διακρινουσα της ακολουθης δευτεροβαθμιας εξισωσης :

$\displaystyle{\gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x + \Delta = 0}$

Να υπολογιστουν αριθμητικα οι τιμες των γ,δ και Δ.

...

μήπως να την γράψουμε : $\displaystyle{\gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x - \Delta = 0}$ ή κάνω λάθος;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 12:07 pm**

Καλημέρα!
Έχω την εντύπωση ότι την έχουμε συζητήσει στο παρελθόν.
Έψαξα, αλλά δεν την βρίσκω...

Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 12:11 pm**

Κάπου την έχει ξαναδώσει ο papel.

Τυχαίο;

Δε νομίζω!

Καλημέρα σας.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 5:20 pm**

chris_gatos έγραψε:Κάπου την έχει ξαναδώσει ο papel.

Τυχαίο;

Δε νομίζω!

Καλημέρα σας.

Αντί να αφήνεις υπονοούμενα για τον καθένα εδώ μέσα καλύτερα να κάνεις κάτι άλλο.

Διεγράφη μέρος του μηνύματος .
Θα θέλαμε να υπενθυμίσουμε στο μέλος μας που έχει επιλέξει το όνομα χρήστη dxdy ότι ο κανονσιμός μας αναφέρει
...αποφεύγετε να ασκείτε έντονη κριτική για μη καθαρά μαθηματικά ζητήματα σε μέλη που επιλέγουν την επωνυμία και αναλαμβάνουν την ευθύνη όσων γράφουν...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 5:23 pm**

Φωτεινή έγραψε:
dxdy έγραψε:Εστω γ,δ οι ριζες και Δ η διακρινουσα της ακολουθης δευτεροβαθμιας εξισωσης :

$\displaystyle{\gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x + \Delta = 0}$

Να υπολογιστουν αριθμητικα οι τιμες των γ,δ και Δ.
... μήπως να την γράψουμε : $\displaystyle{\gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x - \Delta = 0}$ ή κάνω λάθος;

Η άσκηση έχει δωθεί σωστά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 6:03 pm**

Πρέπει να λύσουμε το σύστημα

x^3+xy+z=0

<-------------τυπογραφικό--> πρέπει z=y^2-4xz

.

(χρησιμοποίησα x,y,z

αντί για $\gamma, \delta, \Delta$ αντίστοιχα, για ευκολία στο γράψιμο.

οπότε

(από εδώ και κάτω είναι λάθος....)

y^2-4xy=-x^3-xy=-xy^2-y^2

. (*)

Απορρίπτουμε την τετριμμένη λύση x=y=z=0

(δε δίνει δευτεροβάθμια)

Από y^2-4xy=-xy^2-y^2

απλοποιώντας το $y\ne 0$ , παίρνουμε $\displaystyle{x=\frac{2y}{4-y}}$ και $\displaystyle{y=\frac{4x}{2+x}}$ .

Από την y^2-4xy=-x^3-xy

παίρνουμε

$\displaystyle{0=x^3+y^2-3xy=x^3+y(y-3x)=x^3-\frac{4x^2(2+3x)}{(2+x)^2}}$

Απλοποιώντας το x^2

παίρνουμε

$\displaystyle{x-\frac{4(2+3x)}{(2+x)^2}}=0}$

που είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{x(2+x)^2-4(2+3x)=0}$

ή μετά τις πράξεις με την

$\displaystyle{(x-2)(x^2+6x+4)=0}$ .

Αυτή μας δίνει το

, που μας δίνει τα

και

.

Απλά στο τέλος θα πρέπει να απορρίψουμε αρνητικές τιμές για το

, δηλ. το $\Delta$ .

Οπότε

$\gamma=-3-\sqrt{5}$ , $\delta=2(1+\sqrt{5})$ και $\Delta=8(11+5\sqrt{5})$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 6:19 pm**

Αχιλλεα σε ευχαριστω για την ενασχοληση. Να πω για το συστημα στην αρχη οτι εαν θεσω :

$\displaystyle{P(x) = \gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x + \Delta }$ και επειδη

$\displaystyle{P(\gamma ) = P(\delta ) = 0}$ και $\displaystyle{\Delta = {\delta ^2} - 4 \cdot \gamma \cdot \Delta }$

καταληγουμε στο συστημα :

$\displaystyle{\begin{gathered} \Delta = {\delta ^2} - 4 \cdot \gamma \cdot \Delta \hfill \\ {\gamma ^3} + \delta \cdot \gamma + \Delta = 0 \hfill \\ \gamma \cdot {\delta ^2} + \delta \cdot \gamma + \Delta = 0 \hfill \\ \end{gathered} }$

και εχουμε να επιλυσουμε το ακολουθο συστημα.

(*Τωρα βλεπω οτι ολες οι λυσεις ειναι μιγαδικες.Θα ξαναδω τις πραξεις.)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 6:26 pm**

dxdy έγραψε:Αχιλλεα σε ευχαριστω για την ενασχοληση. Να πω για το συστημα στην αρχη οτι εαν θεσω :

$\displaystyle{P(x) = \gamma \cdot {x^2} + \delta \cdot x + \Delta }$ και επειδη

$\displaystyle{P(\gamma ) = P(\delta ) = 0}$ και $\displaystyle{\Delta = {\delta ^2} - 4 \cdot \gamma \cdot \Delta }$

καταληγουμε στο συστημα :

$\displaystyle{\begin{gathered} \Delta = {\delta ^2} - 4 \cdot \gamma \cdot \Delta \hfill \\ {\gamma ^3} + \delta \cdot \gamma + \Delta = 0 \hfill \\ \gamma \cdot {\delta ^2} + \delta \cdot \gamma + \Delta = 0 \hfill \\ \end{gathered} }$

και εχουμε να επιλυσουμε το ακολουθο συστημα.

(*Τωρα βλεπω οτι ολες οι λυσεις ειναι μιγαδικες.Θα ξαναδω τις πραξεις.)

Είχα τυπογραφικό στην τρίτη εξίσωση...με συγχωρείτε.

Πράγματι οι μη τετριμμένες λύσεις είναι μιγαδικές

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^ ... %3Dy^2-4xz

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 6:54 pm**

Να πω και εγώ την γνώμη μου:

Με τους τύπους του Vieta:
1) $\gamma +\delta =\frac{-\delta}{\gamma }$
2) $\gamma \delta =\Delta / \gamma$

Όμως $\Delta =\delta ^2-4\gamma \Delta \Rightarrow \Delta =\frac{\delta ^2}{4\gamma +1}$

Και άρα έχουμε να λύσουμε το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:
1) $\gamma +\delta =\frac{-\delta }{\gamma }$
2) $\gamma \delta =\frac{\delta ^2}{(4\gamma +1)\gamma }$

Kαι ό,τι λύσεις αυτό το σύστημα μας δίνει...

Φιλικά,
Νίκος
Σημείωση:Δεν κοίταξα το σύστημα και ελπίζω να μην είναι αόριστο σύστημα,δηλαδή να μην έχει άπειρες λύσεις...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 25, 2010 7:06 pm**

Μετα τις πραξεις κατεληξα στα ακολουθα αποτελεσματα :

$\displaystyle{\begin{gathered} \gamma = \frac{{ - 5 \pm i \cdot \sqrt 7 }}{8} \hfill \\ \delta = \frac{{1 \pm i \cdot 3\sqrt 7 }}{8} \hfill \\ \Delta = \frac{{57 \pm i \cdot 11\sqrt 7 }}{{128}} \hfill \\ \end{gathered} }$

Μετα απο παροτρυνση των Συντονιστων (το εργο των οποιων ειναι δυσκολο) αφαιρω το υστερογραφο το οποιο ελπιζω να λαβουν υποψη τους.Φιλικα

mathematica.gr

Δευτεροβαθμια

Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια

Re: Δευτεροβαθμια