mathematica.gr

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ, όταν δίνονται το εμβαδόν του, η γωνία του

και ένα σημείο που δεν ανήκει στις πλευρές Ax, Ay αλλά ανήκει στην ευθεία ΒΓ ,περιγράφοντας (έστω) πώς γίνονται όλες οι πιθανές επιμέρους κατασκευές του προβλήματος.


S.E.Louridas

S.E.Louridas έγραψε:Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ, όταν δίνονται το εμβαδόν του, η γωνία του

και ένα σημείο που δεν ανήκει στις πλευρές Ax, Ay αλλά ανήκει στην ευθεία ΒΓ ,περιγράφοντας (έστω) πώς γίνονται όλες οι πιθανές επιμέρους κατασκευές του προβλήματος.

Συνοπτικά:

Από το Δ φέρνουμε παράλληλη ΔΕ της ΑΓ, οπότε οι ΑΕ, ΕΔ είναι γνωστές.
Θα βρούμε δύο εξισώσεις για τις (άγνωστες) ΑΒ, ΑΓ.

Η μία είναι από την παραλληλία,

ΑΒ/ΒΕ = ΑΓ/ΔΕ ή αλλιώς ΑΒ/(ΑΒ-ΑΕ) = ΑΓ/ΔΕ (*)

Η άλλη είναι από την συνθήκη του εμβαδού: Αν Ω το δοθέν αμβαδόν, τότε
ΑΒ.ΑΓ.ημΑ = 2Ω (**)
(υπ΄όψιν ότι αφού δίνεται η Α, τότε το ημίτονό της κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη. Προκύπτει από ορθογώνια τρίγωνο με γωνία Α και κάθετο ίση με , ας πούμε, 1)

Οι (*) και (**) οδηγούν σε μία δευταροβάθμια ως προς ΑΒ (απλό) οι συντελεστές της οποίας είναι γνωστοί. Από στάνταρ θεωρία, υπάρχει άλλωστε στο ΙΙ των Στοιχείων, οι ρίζες κατασκευάζονται.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου