mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 06, 2009 11:05 am**

Να αποδείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :
$\displaystyle{\displaystyle \frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} \geqslant 4 }$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 06, 2009 11:35 am**

Η συνάρτηση $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}$ είναι κυρτή συνεπώς από την ανισότητα Jensen έχουμε

$f(A)+f(B)+f(C)\geq 3f\left(\displaystyle\frac{A+B+C}{3}\right)$ άρα

$\displaystyle\frac{1}{\sin^2A}+\frac{1}{\sin^2B}+\frac{1}{\sin^2C} \geq 3\frac{1}{\sin^2\frac{A+B+C}{3}} = 3\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{3}}=4.$

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 06, 2009 1:21 pm**

Γειά σας. Μια άλλη λύση.

Στην δοσμένη ανισοϊσότητα αν αντικαταστήσουμε στην θέση του 1 (στους αριθμητές) την σχέση $\eta \mu^{2}A + \sigma \upsilon \nu ^{2}A$ , (βέβαια με την αντίστοιχη γωνία σε κάθε κλάσμα) τότε προκύπτει η ισοδύναμη: $\sigma \phi ^{2}A + \sigma \phi ^{2}B + \sigma \phi ^{2}\Gamma \geq 1$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε αυτήν. Όμως ισχύει ότι:
$\sigma \phi ^{2}A + \sigma \phi ^{2}B + \sigma \phi ^{2}\Gamma \geq \sigma \phi A \sigma \phi B + \sigma \phi B \sigma \phi \Gamma + \sigma \phi A \sigma \phi \Gamma \geq \sigma \phi A \sigma \phi B - \sigma \phi B \sigma \phi (A+B) - \sigma \phi A \sigma \phi (A+B) = \sigma \phi A \sigma \phi B - \sigma \phi (A+B) (\sigma \phi A + \sigma \phi B) = \sigma \phi A \sigma \phi B - \sigma \phi A \sigma \phi B +1=1$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 06, 2009 1:26 pm**

Πολύ καλή η λύση σου Κώστα!

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 06, 2009 4:30 pm**

chris_gatos έγραψε:Να αποδείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :
$\frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} \geqslant 4$ .

Άλλη λύση, της λίγο ισχυρότερης ανίσωσης

$\frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} \geqslant \frac{2R}{\rho}$

που δίνει τη ζητούμενη διότι, από ανίσωση Euler, $R \ge 2\rho$ . Εδώ ρ=ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Θα χρειαστούμε τoυς τύπους Ε = ρτ, αβγ = 4RE.

Πράγματι, από τον νόμο των ημιτόνων είναι

$\frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} = \frac{4R^2} {a^2} + \frac{4R^2} {b^2}+ \frac{4R^2} {c^2} \ge 4R^2(\frac {1}{ab} + \frac {1}{bc} +\frac {1}{ca}) = \\ \\= 4R^2\frac {a+b+c}{abc} = \frac{8R^2 \tau}{abc}= 8R^2 \frac{E}{\rho} \frac{1}{4RE}= \frac{2R}{\rho}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 06, 2009 10:27 pm**

Αλέξανδρε, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Περιττό να σου πώ πόσο σε θαυμάζω, έχοντας διαβάσει πολλές από τις λύσεις σου στον λίγο χρόνο που είμαι μέλος. Και ευχαριστούμε πολύ και τον καθηγητή κ. Λάμπρου για την λύση που μας έδωσε, η οποία - διαβάζοντάς την - μας κάνει σίγουρα καλύτερους.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 08, 2009 1:09 pm**

Και μία ισχυρότερη:
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:
$\displaystyle\sum\frac{1}{\sin^2A}=\frac{2R}{\rho}\geq\frac{4\sqrt{3}\tau}{9\rho}\geq4$

mathematica.gr

τριγωνομετρική ανισότητα...

τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...