Bulletin Γεωμετρικές Κατασκευές

parmenides51 · #1

. Να εγγραφεί σε αυτό, άλλο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο (οι κορυφές του να ανήκουν ανά μία στις πλευρές του αρχικού), τέτοιο ώστε ο λόγος του εμβαδού του προς εκείνο του αρχικού, να είναι ελάχιστος.)

Εύρεση σημείων
ύπαρξη ευθείας από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται γωνία $\sphericalangle x{\rm O}y,$ σημείο Ρ εσωτερικό της και σημείο Σ στο εσωτερικό της παραπληρωματικής της $\sphericalangle x{\rm O}\eta$ (Οη,Οy εκατέροθεν της ευθείας Οx). νδο υπάρχει ευθεία διερχόμενη από το σημείο Σ που να τέμνει τις Οx,Οy σε σημεία Α, Β αντίστοιχα ώστε τα σημεία Ο, Α, Ρ, Β να είναι σημεία του ίδιου κύκλου. Είναι δυνατόν να οριστεί ,κατασκευαστικά, η ευθεία αυτή; )
ύπαρξη 2 ευθειών από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται γωνία $\sphericalangle x{\rm O}y,$ σημείο Ρ εσωτερικό της και σημείο Σ στο εσωτερικό της παραπληρωματικής της $\sphericalangle x{\rm O}\eta$ (Οη,Οy εκατέρωθεν της ευθείας Οx). νδο υπάρχουν δύο ευθείες (μή ταυτιζόμενες) διερχόμενες από το σημείο Σ που να τέμνουν η πρώτη τις Οx,Οy σε σημεία Α, Β αντίστοιχα και η δεύτερη επίσης τις Οx,Οy στα σημεία Γ, Δ αντίστοιχα ώστε $\frac{{\left( {{\rm P}{\rm A}{\rm B}} \right)}} {{\left( {{\rm P}\Gamma \Delta } \right)}} = \frac{{{\rm P}{\rm A} \cdot {\rm P}{\rm B}}} {{{\rm P}\Gamma \cdot {\rm P}\Delta }}.$ Είναι δυνατόν να οριστούν ,κατασκευαστικά, οι ευθείες αυτές;)
εύρεση σημείου από Σωτήρη Λουρίδα (έστω γωνία xOy και δύο σημεία Α, Β στο εσωτερικό της. Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί (κατασκευαστικά) σημείο C της Οx ώστε : $OD \cdot OE = OC^2 - CD^2 ,$ όταν $\ D \equiv CA \cap Oy,E \equiv CB \cap Oy;$ )
εύρεση σημείου από KARKAR (δίνεται κύκλος (O,R)

με τα σταθερά , αντιδιαμετρικά σημεία του A , B

, και ευθεία $\varepsilon$ , με το σταθερό της σημείο

. Να βρεθεί σημείο

, επί του κύκλου , ώστε αν οι AS , BS

, τέμνουν την ευθεία $\varepsilon$ στα σημεία L , K

αντίστοιχα , το

να είναι το μέσο του

)
εύρεση σημείου από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται ευθεία ΧΟΨ και δύο σημεία Α, Β μή ανήκοντα σε αυτή.Να προσδιοριστεί κατασκευαστικά σημείο Μ της (ε) ώστε <ΧΜΑ = 2<ΨΜΒ.)
εύρεση σημείου από KARKAR (να βρεθεί ( κατασκευασθεί ) σημείο S πάνω στον περίκυκλο τριγώνου $\displaystyle{ ABC}$ , ώστε για κάθε κύκλο που διέρχεται από τα $\displaystyle{ A , S}$ , και τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB , AC}$ στα σημεία D , E αντίστοιχα , να προκύπτει : $\displaystyle{BD=CE}$ )
εύρεση σημείου από KARKAR (Στο "άνω" ημικύκλιο , κύκλου διαμέτρου $\displaystyle{AOB}$ , βρίσκονται τα σημεία $\displaystyle{P}$ και $\displaystyle{Q}$ . Βρείτε τη θέση σημείου S στο "κάτω" ημικύκλιο , ώστε οι $\displaystyle{SP , SQ}$ να τέμνουν τη διάμετρο σε σημεία $\displaystyle{M , N}$ , συμμετρικά ως προς το κέντρο $\displaystyle{O}$ )
εύρεση σημείου από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται κύκλος (O, R)

και δύο σημεία του επιπέδου του B, C

που δεν ανήκουν σε αυτόν. Εξετάστε αν δύναται να προσδιοριστεί κατασκευαστικά σημείο

του κύκλου, ώστε να ισχύει $\displaystyle{\frac{(MB)(MC)}{(MK)(ML)}=\frac{m_1d_1}{m_2d_2}}$ , όπου K,L

οι τομές των CM,BM

με τον δοθέντα κύκλο , m_1,m_2

οι αντίστοιχοι διάμεσοι των τριγώνων MBC,MLK

που άγονται από την κοινή κορυφή τους

και

οι αντίστοιχοι εσωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών των ίδιων τριγώνων που επίσης άγονται από την κοινή κορυφή τους

)
εύρεση σημείου από KARKAR (2 ευθείες $\varepsilon$ και $\eta$ , τέμνονται στο

και έστω σημείο

της $\varepsilon$ και σημείο

της $\eta$ .Να κατασκευασθεί σημείο

της $\varepsilon$ , ώστε αν

το συμμετρικό του ως προς

, η

να είναι διχοτόμος της $\widehat{A'SA}$ )
εύρεση 2 σημείων από Σωτήρη Λουρίδα (σε τρίγωνο ΑΒΓ να κατασκευαστούν δύο σημεία Δ της ΑΒ και Ε της ΑΓ ώστε το ΒΔ+ΔΕ+ΕΓ είναι δεδομένο όπως επίσης είναι δεδομένο και το εμβαδόν (ΒΔΕΓ) του τετραπλεύρου ΒΔΕΓ)
εύρεση 2 σημείων από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται γωνία xOy και δύο σημεία των πλευρών της A,B αντίστοιχα των Οχ, Οψ διάφορα του Ο.Υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα KL με K σημείο της Οx και L σημείο της Οy, ώστε (KL^2-KA^2=c^2) και (KL^2-KB^2=t^2), όταν c,t δοθείσες θετικές σταθερές; Είναι δυνατή (αν υπάρχει) η κατασκευή του KL;)
εύρεση 2 σημείων από KARKAR (έστω τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αμβλυγώνιο στο

. Βρείτε δύο σημεία D , D'

στη βάση

, τέτοια ώστε : $AD^{2}=DB{\cdot}DC$ και $A D^{\prime} ^{2}=D^{\prime} B{\cdot}D^{\prime} C$ . Στη συνέχεια δείξτε ότι : $\widehat{BAD}=\widehat{CAD^{\prime}}$ )
εύρεση 2 σημείων από Σωτήρη Λουρίδα (δίνονται στο επίπεδο τρία σημεία, όχι κατ’ ανάγκη της ίδιας ευθείας, L,C,T.

Θεωρούμε τους κύκλους με διαμέτρους τα LC,CT.

Ζητάμε την κατασκευή δύο αντίστοιχων σημείων P,R

στούς κύκλους και με την σειρά που τούς αναφέραμε, ώστε: $\frac{{PC}}{{CR}} = \frac{m}{n},\;\angle PCR = \frac{\pi }{2},$ με m,n

να είναι δοθέντα ευθύγραμμα τμήματα.)
εύρεση 2 σημείων από Σωτήρη Λουρίδα (θεωρούμε ορθή γωνία <xOy= 9 $0^{o}$ . Έστω δύο κινούμενα σημεία $A \in Ox\;\kappa \alpha \iota \;B \in Oy,$ ώστε η ευθεία ΑΒ να εφάπτεται σε δοθέντα κύκλο (O, R) και σε αντίστοιχο σημείο του, έστω Γ. Να αιτιολογήσετε σε ποια θέση της ΑΒ το άθροισμα $k\sqrt {{\rm A}\Gamma } + m\sqrt {\Gamma {\rm B}}$ γίνεται ελάχιστο, όταν k, m δοθέντες θετικοί αριθμοί.)
εύρεση 2 σημείων (θεωρούμε γωνία $\angle xOy = 60^ \circ$ και δύο σημεία A,B

κινούμενα στις πλευρές Ox, Oy

αντίστοιχα ώστε να διατηρείται το μήκος

.
Έστω

οι δύο διχοτόμοι του τριγώνου OAB

.
Προσδιορίστε (με απόδειξη) την θέση του

, ώστε το γινόμενο $AE \cdot BD$ να παίρνει την μέγιστη τιμή.)
εύρεση 2 σημείων από Ανδρέα Βαρβεράκη (ευθύγραμμου τμήματος ΔΕ με τα σημεία Δ, Ε να ανήκουν στις πλευρές ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα, τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο ώστε ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ)
εύρεση 2 σημείων από Δημήτρη Σκουτέρη (ευθύγραμμου τμήματος δεδομένου μήκους και παράλληλου σε δεδομένη ευθεία , του οποίου τα άκρα να βρίσκονται επί δεδομένων κύκλων)
εύρεση 2 σημείων από KARKAR (ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ ABC}$ , είναι τοποθετημένο μεταξύ δύο παραλλήλων ευθειών.Να κατασκευασθεί τμήμα DH , με άκρα επί των ευθειών , το οποίο να τριχοτομείται από τα σημεία τομής του E , Z , με τις δύο πλευρές του τριγώνου )
εύρεση 2 σημείων από petros r (βρείτε την μικρότερη τιμή του x τέτοια ώστε, για οποιαδήποτε σημείο Α μέσα σε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1, μπορούμε πάντα να διαλέξουμε δύο σημεία στις πλευρές του τριγώνου που βρίσκονται στην ίδια ευθεία με το Α και έχουν απόσταση x μεταξύ τους.)

Κατασκευές ευθείας
διχοτόμου μιας γωνίας της οποίας η κορυφή βρίσκεται έξω από το φύλλο σχεδίασης από Μάκη Χατζόπουλο (κι εδώ , εδώ)
κοινό εφαπτόμενο τμήμα 2 (εφαπτόμενων) ημικυκλίων από KARKAR
κοινών εξωτερικών εφαπτομένων 2 κύκλων από dimitris pap
ευθείας διερχόμενη από σημείο ώστε να σχηματίζει ισόπλευρο τρίγωνο με δοσμένες παράλληλες ευθείες και άλλο σημείο από KARKAR (σημείο

βρίσκεται μέσα στη ζώνη των παραλλήλων ευθειών $\varepsilon _{1} , \varepsilon _{2}$ , και σημείο

επί της $\varepsilon _{1}$ Να αχθεί τρίτη ευθεία , η οποία να διέρχεται από το

, έτσι ώστε αν τέμνει τις ευθείες $\varepsilon _{1} , \varepsilon _{2}$ στα B , C

το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , να είναι ισοσκελές)
ευθείας (μεταβλητής παράλληλης προς τις βάσεις τραπεζίου) από Κώστα Βήττα (ευθεία $(\varepsilon)$ παράλληλη προς τις βάσεις $AB,\ CD$ δοσμένου τραπεζίου ABCD,

τέμνει τις πλευρές του $AD,\ BC$ στα σημεία $E,\ Z$ αντιστοίχως και έστω τα σημεία $F\equiv AZ\cap BE$ και $H\equiv CE\cap DZ.$ Προσδιορίστε τη θέση της $(\varepsilon)$ ώστε το EFZH

να είναι παραλληλόγραμμο.)
ευθείας παράλληλης στη ΒΓ σε τρίγωνο ΑΒΓ, η οποία να τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε και να είναι ΔΜΕ=90 μοίρες, όπου Μ το μέσο της ΒΓ από dimplak
τέμνουσας σε γωνία από Γιώργο Απόκη (δίνεται γωνία $\widehat{xOy}$ ,

εσωτερικό σημείο της και πραγματική σταθερά $k\ne 0$ . Να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το

και να τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα A,B

, έτσι ώστε α) $\displaystyle{(OAB)=k^2}$ β) το $\displaystyle{(OAB)}$ να είναι ελάχιστο.)

Λοιπές κατασκευές
έγκεντρου, διαμέσων, βαρύκεντρου, ορθόκεντρου, περίκεντρου,ύψών σε τρίγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται έξω από το χαρτί σχεδιάσεως από Νίκο Κυριαζή

Κατασκευή τριγώνου
ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε τετράγωνο από Ανδρέα Πούλο
τριγώνου ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α, τη διάμεσό του ΑΜ=μ και τη διαφορά των γωνιών του Β και Γ, Β-Γ=φ από ypatia
τριγώνου ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α και γνωστής θέσης, την ευθεία ε, επί της οποίας βρίσκεται η κορυφή Α και τη διαφορά των γωνιών του Β και Γ, Β-Γ=φ από ypatia
τριγώνου ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α, τη διαφορά των γωνιών του Β και Γ, Β-Γ=φ και το γινόμενο των πλευρών του ΑΒ * ΑΓ = λ^2 από ypatia
τριγώνου ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α, τη διαφορά των γωνιών του Β-Γ=φ και τον πόδα Δ επί την ΒΓ του ύψους ΑΔ από ypatia
τριγώνου με δεδομένη την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου (

), το άθροισμα δυο πλευρών ( b+c

) και τη διαφορά των αντίστοιχων γωνιών ( $\angle{B} - \angle{C}$ ) από Δημήτρη Σκουτέρη
τριγώνου με πλευρές a,b,c

και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου

όταν είναι γνωστά τα R, a

και

αν δίνονται η κορυφή του

η ευθεία $Ax\equiv AB,$ τυχόν σημείο

στην προέκταση της πλευράς

προς το μέρος του

και τυχόν κύκλος (O)

χορδής

με το κέντρο του

προς το μέρος της

που δεν κείνται το

)
τριγώνου με δεδομένο το περίκεντρο

, το έγκεντρο

και ένα παράκεντρο I_A

. από Δημήτρη Σκουτέρη
τριγώνου που ορίζουν τα μέσα ευθυγράμμων τμημάτων αγόμενα από τις κορυφές του από Παναγιώτη Γιαννόπουλο
τριγώνου $AB\Gamma$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ αν γνωρίζουμε τα μήκη των $\rho ,\rho _{\alpha }, \beta -\gamma$ απόthemiskant
τριγώνου ABC

όταν δίνονται BC=a

, το ύψος

, όταν

δοθέντα ευθύγραμμα τμήματα και ότι η εσωτερική διχοτόμος του τριγώνου αυτού είναι μέση ανάλογη των τμημάτων που ορίζει αυτή επί της βάσης

από Σωτήρη Λουρίδα
τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ αν δίνονται η γωνία του , το ύψος του ${\rm A}\Delta = \upsilon$ και το $\tau - \gamma$ ,όπου τ η ημιπερίμετρος του. από Άλκη Μπεντεβή
τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , αν δίνονται: η πλευρά του $\displaystyle{a = BC}$ , η ακτίνα $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου του κύκλου ( $\displaystyle{2R \ge a}$ ) και η διαφορά $\displaystyle{\frac{1}{c} - \frac{1}{b}}$ , όπου $\displaystyle{c = AB}$ και $\displaystyle{b = AC}$ . από Βαγγέλη Μουρούκο
τριγώνου ABC

αν δίνονται: $b + c = k,\quad h_a = \ell ,\quad d_a = m,\quad m > \ell .$ Με h_a, d_a

το ύψος του και διχοτόμος του αντίστοιχα που άγονται από την κορυφή του

. από Σωτήρη Λουρίδα
ισοσκελούς τριγώνου από Κώστα Βήττα (δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω

τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Ζητείται να προσδιοριστούν τα σημεία $D,\ E,$ επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, ώστε το τρίγωνο $\vartriangle ODE$ να είναι ισοσκελές με OD = OE

και $\angle DOE = \angle \omega,$ όπου $\angle \omega$ είναι δοσμένη γωνία)
τριγώνου όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλων του από Σωτήρη Λουρίδα

Κατασκευή τετραπλεύρου
τραπέζιου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \left( {{\rm A}{\rm B}\parallel \Gamma \Delta } \right),$ όταν δίνονται οι πλευρές ΑΔ=α, ΒΓ=β και οι διαγώνιες ΒΔ=γ, ΑΓ=δ $\left( {\gamma \ne \delta } \right)$ από Σωτήρη Λουρίδα
κοινής εξωτερικής εφαπτομένης δύο κύκλων με διάκεντρο μεγαλύτερη της διαφοράς των δύο ακτίνων από Σπύρο Καρδαμίτση
τετραγώνου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο από Ανδρέα Πούλο
κυρτού τετραπλεύρου ABCD

, όταν δίνονται τα στοιχεία του: $\displaystale{AD = k,\;\;DB = m,\;\;DC = n,\;\;\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{h}{p},\;\;\angle ABC = u,}$ όταν k, m, n, h, p, u

δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα από Σωτήρη Λουρίδα
εγγράψιμου κυρτού τετράπλευρου από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD

με

.Αποδείξτε την κατασκευαστική ύπαρξη εγγράψιμου κυρτού τετραπλεύρου A{'} B{'} C{'} D{'}

με τις ίδιες κατά σειρά πλευρές a, b, c, d

.)
αμφιγράψιμου τετραπλεύρου από Grigoris K. (Εις δοθέντα κύκλον να εγγραφή τετράπλευρον $\displaystyle{ ABCD }$ του οποίου δίδεται η διαγώνιος $\displaystyle{ AC }$ , η γωνία των διαγωνίων και το οποίον να είναι συγχρόνως και περιγράψιμον εις κύκλον.)

Κατασκευή ν-γωνου με 5+ πλευρές
μη κανονικόυ εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ με ίσες πλευρές τέτοιο ώστε οι πλευρές ΑΒ, ΓΔ και ΕΖ τα βρίσκονται πάνω στις πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου ΚΛΜ από Ανδρέα Βαρβεράκη

Κατασκευή κύκλου
κύκλου εφαπτόμενου σε κύκλο και σε ευθεία σε δοθέν σημείο αυτής από Κώστα Σερίφη
κύκλου εφαπτόμενου σε 2 εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους και στην κοινή εφαπτομένη τους από Κώστα Βήττα
κύκλου διερχόμενου από σταθερό σημείο κι εφαπτόμενου σε ευθεία και σε κύκλο από Φωτεινή Καλδη
κύκλου εφαπτόμενου σε κύκλου και διερχόμενου από 2 σημεία εκτός κύκλου από papel
κύκλου εφαπτόμενου σε ευθεία και διερχόμενου από 2 σημεία εκτός ευθείας από papel
κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στον περιγεγραμμένο κύκλο τριγώνου και σε δύο πλευρές του από Σωτήρη Λουρίδα
κύκλου εφαπτόμενου σε ευθεία και κύκλο από geomyljason
κύκλου που να διέρχεται από σημείο και να εφάπτεται σε 2 ευθείες από Φωτεινή Καλδη
κύκλου $\displaystyle{(C)}$ ώστε να διέρχεται από την κορυφή $\displaystyle{D}$ και να εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{BC}$ σε τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ από Κώστα Δόρτσιο
κύκλου διερχόμενου από δυο δοθέντα σημεία που να τέμνει δοθείσα ευθεία κατά χορδή που να απέχει από το κέντρο του δοθείσα απόσταση από Σωτήρη Λουρίδα

Αδύνατες
εύρεση σημείου από Σωτήρη Λουρίδα (θεωρούμε κύκλο C, χορδή του ΒΓ και σημείο Δ της χορδής αυτής διάφορο των άκρων της. Να προσδιοριστεί σημείο Α της μεσοκάθετης της ΒΓ ώστε αν Ε η τομή της ΑΔ με το μεγάλο τόξο ΒΓ, να έχουμε: $\mathop {{\rm B}{\rm E}\Delta }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm B}{\rm A}\Gamma }\limits^ \wedge .$ )
πρόβλημα νεύσης από Σωτήρη Λουρίδα (δίνεται κυρτή γωνία <xOy και σημείο Α της παραπληρωματικής της μη ανήκον στις ημιευθείες Ox, Oy.Να εξεταστεί αν μπορεί, εν γένει, να κατασκευαστεί ευθεία διερχόμενη από το Α και τέμνουσα τις Ox, Oy στά σημεία Β, Γ, ώστε το ΒΓ να ισούται με δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα,)
ευθείας διερχόμενης από την κορυφή Δ ορθογωνίου ΑΒΓΔ, η οποία να τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΒΓ στα Κ, Λ αντίστοιχα, ώστε ΟΚ=ΟΛ, όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου
κατασκευή ευθείας από Atemlos
(οι ευθείες

και

είναι παράλληλες και οι

και

κάθετες.Εαν FB=2EA

τότε να δείξετε ότι η γωνία CEF

είναι διπλάσια της γωνίας BEA

)
κατασκευή τριγώνου από Doloros (τριγώνου ABC

η $\hat A = {120^0}$ . Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο σημείο

. Αν

να υπολογιστεί το τμήμα, BD = x

.Κατασκευάζεται γεωμετρικά το πιο πάνω τρίγωνο ABC

; )

Ενδεχομένως η ταξινόμηση να μην είναι η καλύτερη δυνατή αλλά μόλις συγκεντρώσω τις προταθείσες, θα την βελτιώσω.

για τους λάτρεις της Γεωμετρίας

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Bulletin Γεωμετρικές Κατασκευές

Bulletin Γεωμετρικές Κατασκευές

Μέλη σε σύνδεση