Συγχορδία

KARKAR · #1

Η χορδή

, ενός κύκλου (O)

, διέρχεται από το μέσο

της χορδής

. Οι εφαπτόμενες

στα άκρα της

τέμνονται στο

, ενώ οι εφαπτόμενες στα άκρα της

τέμνονται στο

Δείξτε ότι : ST // AB

#2

KARKAR έγραψε:Η χορδή , ενός κύκλου , διέρχεται από το μέσο της χορδής . Οι εφαπτόμενες

στα άκρα της τέμνονται στο , ενώ οι εφαπτόμενες στα άκρα της τέμνονται στο

Δείξτε ότι :

: 1.png (34.54 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

Έστω $\displaystyle{ O }$ το κέντρο του «αρχικού κόκκινου κύκλου» τότε $\displaystyle{ SAOB }$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \left( {\widehat{OAS} + \widehat{OBS} = 90^0 + 90^0 = 180^0 } \right) }$

(από τις εφαπτόμενες στα σημεία επαφής) και επειδή

$\displaystyle{ SA = SB,OA = OB,OS = OS\mathop \Rightarrow \limits^{\Pi - \Pi - \Pi } \vartriangle SOA = \vartriangle SOB \Rightarrow \widehat{SOA} = \widehat{SOB} \Rightarrow S,M,O }$ συνευθειακά και $\displaystyle{ \boxed{AB \bot OS}:\left( 1 \right) }$

Για τις τεμνόμενες στο $\displaystyle{ M }$ χορδές $\displaystyle{ AB,OS }$ του περιγεγραμμένου στο $\displaystyle{ SAOB }$ κύκλου ισχύει : $\displaystyle{ \boxed{MS \cdot MO = MA \cdot MB}:\left( 2 \right) }$

Για τις τεμνόμενες στο $\displaystyle{ M }$ χορδές $\displaystyle{ AB,CD }$ του κύκλου $\displaystyle{ \left( O \right) }$ ισχύει $\displaystyle{ \boxed{MC \cdot MD = MA \cdot MB}:\left( 3 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow MS \cdot MO = MC \cdot MD }$ οπότε από το αντίστροφο του θεωρήματος

των τεμνομένων χορδών προκύπτει ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{ SCOD }$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο

στον οποίο ανήκει και το $\displaystyle{ T }$ (αφού το $\displaystyle{ CODT }$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \left( {\widehat{OCT} + \widehat{ODT} = 90^0 + 90^0 = 180^0 } \right) }$

(από τις εφαπτόμενες στα σημεία επαφής). Άρα $\displaystyle{ \widehat{OST} = \widehat{OCT} = 90^0 \Rightarrow ST \bot OS\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{ST//AB} }$

Στάθης

Υ.Σ. Ας μου επιτρέψει ο Θανάσης ένα επιπλέον ενδιαφέρον νομίζω ερώτημα

Να δειχθεί ότι αν $\displaystyle{ K \equiv AC \cap BD }$ τότε $\displaystyle{ K \in ST }$ και η ευθεία $\displaystyle{ LQ }$ με $\displaystyle{ L \equiv SC \cap OD,Q \equiv AS \cap OB }$ διέρχεται από το $\displaystyle{ K }$