"Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

Ανδρέας Πούλος · #1

Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ με a > b > 0

.

1. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μόνο δύο κύκλοι, οι οποίοι εφάπτονται στους άξονες xx'

και

,
έχουν κέντρα με θετικές συντεταγμένες και έχουν μόνο ένα κοινό σημείο με την έλλειψη.

2. Να εκφράσετε την απόσταση των κέντρων αυτών των δύο κύκλων συναρτήσει των αριθμών a, b

.

Ακολουθεί σύντομα και η συνέχεια του "σήριαλ". Το φινάλε είναι γνωστό.... Ένας από τους δύο κύκλους θα παντρευτεί την έλλειψη

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Γιώργος Απόκης · #2

Eπαναφορά

#3

Πρόκειται για ένα διαισθητικά προφανές θεώρημα που φαίνεται όμως να παρουσιάζει τεχνικές δυσκολίες... Αρχίζω με δύο ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος 'βέλτιστες' ανισότητες, κατά τι ισχυρότερες των απαιτουμένων.

Λήμμα 1. Αν 0<b<a

και

τότε

Απόδειξη. Από τις 0<b<a

και

προκύπτει η a^2x^3(x-2)<b^2x^3(x-2)

και επομένως, ύστερα από λίγες πράξεις, η a^2x^4-2a^2x^3+2b^2x-b^2<b^2(x-1)^3(x+1)<0

.

Λήμμα 2. Αν 0<b<a

και

τότε

.

Απόδειξη. a^4x^5-a^4x^4-2a^2b^2x^3+2a^2b^2x^2+a^2b^2x-b^4>(x-1)(a^2x^2-b^2)^2>0

.

Επιστρέφοντας στο αρχικό πρόβλημα, θεωρούμε μεταβλητό κύκλο (x-R)^2+(y-R)^2=R^2

που εφάπτεται των θετικών ημιαξόνων (άρα R>0

) και εφάπτεται επίσης της έλλειψης $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ σε αναζητούμενο σημείο (p, q)

(όπου

,

). Προκύπτουν αμέσως οι εξισώσεις (p-R)^2+(q-R)^2=R^2

και $\frac{p^{2}}{a^{2}}+\frac{q^{2}}{b^{2}}=1$ . Παρατηρούμε επίσης ότι η εφαπτόμενη κύκλου και έλλειψης είναι κοινή, άρα οι κλίσεις κύκλου και έλλειψης στο (p, q)

είναι ίσες^ προκύπτει λοιπόν από τις $y'=\frac{x-R}{R-y}$ (κύκλος) και $y'=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ (έλλειψη) μία τρίτη εξίσωση, η $\frac{p-R}{R-q}=-\frac{b^{2}p}{a^{2}q}$ .

Στόχος μας είναι να δείξουμε ότι το ως προς

,

σύστημα τριών εξισώσεων που προέκυψε έχει ακριβώς δύο λύσεις.

Επιλύοντας την πρώτη εξίσωση (δευτεροβάθμια) και την τρίτη εξίσωση (πρωτοβάθμια) ως προς

προκύπτουν οι $R=p+q\pm\sqrt{2pq}$ και $R=\frac{(a^{2}-b^{2})pq}{a^{2}q-b^{2}p}$ , άρα και η $p+q\pm\sqrt{2pq}=\frac{(a^{2}-b^{2})pq}{a^{2}q-b^{2}p}$ . Θέτοντας q=m^2p

(με

) ανάγουμε την τελευταία εξίσωση στην διπλή εξίσωση $\pm\sqrt{2}m=\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ .

Είναι φανερό από την $\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}<\frac{b^{2}-a^{2}m^{2}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}=-1$ ότι η πρώτη περίπτωση της παραπάνω εξίσωσης, $\sqrt{2}m=\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ , δεν έχει λύση για $0<m<\frac{b}{a}$ . Είναι επίσης εύκολο να δούμε ότι έχει μία ακριβώς λύση για $m>\frac{b}{a}$ : το δεξιό σκέλος είναι γραμμική αύξουσα συνάρτηση, ενώ το αριστερό σκέλος φθίνει από το $+\infty$ στο $-\infty$ καθώς $(\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}})'=-\frac{2a^{2}m(a^{2}m^{4}-2b^{2}m^{2}+b^{2})}{(a^{2}m^{2}-b^{2})^{2}}<0$ (λόγω (2b^2)^2-4a^2b^2<0

).

Προκύπτει από το Λήμμα 1 ότι η δεύτερη περίπτωση της εξίσωσης, $-\sqrt{2}m=\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ , δεν έχει λύση για $0<m<\frac{b}{a}$ : πράγματι ισχύει, λόγω και της αρνητικότητας του παρονομαστή, η $-\sqrt{2}m>-2m>\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ .

Έχει όμως μία ακριβώς λύση η $-\sqrt{2}m=\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ για $m>\frac{b}{a}$ . Πράγματι, επειδή για $\frac{b}{a}<m<1$ ισχύει η $\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}>-m$ , ως ισοδύναμη προς την (a^2m^3+b^2)(m-1)<0

, είναι φανερό ότι $\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}>-\sqrt{2}m$ για $\frac{b}{a}<m<1$ . Είναι επίσης προφανής η $\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}<-\sqrt{2}m$ για αρκετά μεγάλο

, άρα υπάρχει σημείο τομής των
$\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ και $-\sqrt{2}m$ για κάποιο m>1

. Και δεν μπορεί να υπάρχει δεύτερο σημείο τομής για m>1

καθώς για

η κλίση της $\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ είναι μικρότερη της κλίσης της $-\sqrt{2}m$ λόγω της ανισότητας, για m>1

πάντοτε, $(\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}})'<-2$ (που είναι ισοδύναμη προς το Λήμμα 2).

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το αρχικό σύστημα έχει όντως δύο ακριβώς λύσεις. Σε συγκεκριμένα παραδείγματα μπορούμε απλώς να υψώσουμε την $\pm\sqrt{2}m=\frac{b^{2}-a^{2}m^{4}}{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ στο τετράγωνο για να καταλήξουμε στην τεταρτοβάθμιο a^4s^4-2a^4s^3+2a^2b^2s^2-2b^4s+b^4=0

(όπου

), γνωρίζοντας πλέον ότι οφείλει να έχει ακριβώς δύο αποδεκτές θετικές ρίζες. (Δεν γνωρίζω πως να το αποδείξω αυτό χωρίς την διαδικασία που προηγήθηκε.) Στην περίπτωση της $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ για παράδειγμα ( a=2

,

) προκύπτουν οι λύσεις $m\simeq0,613$ και $m\simeq1,32$ , οπότε είναι εύκολος ο προσδιορισμός των

,

από τις $\frac{p^{2}}{4}+m^{4}p^{2}=1$ , q=m^2p

και του

από την $\frac{p-R}{R-q}=-\frac{b^{2}p}{a^{2}q}$ : προκύπτουν, για $m\simeq0,613$ και $m\simeq1,32$ , τα αντίστοιχα σημεία επαφής (1,5988, 0,6007)

και

, και οι αντίστοιχοι κύκλοι (x-3,5835)^2+(y-3,5835)^2=3,5835^2

και

. (Τα αποτελέσματα αυτά επαληθεύονται με γράφημα.)

Ανδρέα μας έστειλες ένα υπέροχο πρόβλημα (για το οποίο ξόδεψα τόσο πολύ χαρτί που μου χρωστάς έναν καφέ)! Το πρόβλημα έχει δύο πλευρές: μία θεωρητική για μας (όπου η προσέγγιση μου δεν είναι υποχρεωτικά η καλύτερη) και μία πρακτική για τους μαθητές (όπως καταδεικνύει η προηγούμενη παράγραφος).

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανδρέας Πούλος · #4

Γιώργο,
είσαι .... αχαρακτήριστος. Πώς λένε οι καθώς πρέπει; ... δεν βρίσκω λόγια να εκφράσω το θαυμασμό μου κλπ. κλπ.
Τώρα, ακολουθεί το δεύτερο μέρος του σήριαλ, όπως έχω υποσχεθεί.

Όταν το κέντρο της έλλειψης κινείται στον άξονα xx'

και ο ένας άξονας συμμετρίας της είναι παράλληλος με αυτόν,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του "μικρού" κύκλου που "εφάπτεται" στους άξονες και στην έλλειψη.

Κάπου εδώ θα εμφανιστεί και ο Κώστας Δόρτσιος με τα δυναμικά σχήματα από το Geogebra, βεβαίως, βεβαίως...

Υποψιάζεται κάποιος ποιο θα είναι το επόμενο ερώτημα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

parmenides51 · #5

δοκίμασα με αρχείο Geogebra να δω τι συμβαίνει αλλά δεν κατάφερα να βρω μια συνθήκη στο Geogebra ώστε η έλλειψη και ο κύκλος να εφάπτονται

θα με ενδιέφεραν περισσότερο τα βήματα κατασκευής του σχήματος στην παρούσα φάση με την παραπάνω συνθήκη

edit

απαντήθηκε εδώ

"Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

"Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

Re: "Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

Re: "Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

Re: "Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

Re: "Εφαπτόμενοι" κύκλοι σε έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση