ΘΑΛΗΣ 2009

Nick1990 · #21

Μιας και ο κυριος Αλεξανδρος εδωσε τις λυσεις για τα 3 πρωτα θεματα της Γ λυκειου, για λογους πληρωτητας παραθετω μια λυση για το 4ο γεωμετρικο θεμα:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Πρωτα απ ολα το τριγωνο Α1Β1Γ1 ειναι ομοιο με το ΑΒΓ με λογο 1/2, οποτε μεσο νομου ημιτονων ευκολα προκειπτει οτι η ακτινα του περιγεγραμμενου κυκλου του ισουτε με R/2, αρα το περικεντρο Ν του Α1Β1Γ1 απεχει απο τα σημεια Α1 Β1 και Γ1 αποσταση ιση με R/2 και αρα αυτο ανηκει στους 3 κυκλους, οποτε εχουμε το πρωτο ζητουμενο

Τα τμηματα Β2Α1 και Γ1Β2 διερχονται τα μεσα των πλευρων ΒΟ,ΒΓ και ΒΟ,ΒΑ των τριγωνων ΒΟΓ και ΒΟΑ αντιστοιχα, αρα ειναι εχουν μηκη ΟΓ/2 και ΟΑ/2 αντιστοιχα, με ΟΑ/2 = ΟΓ/2 = R/2, οποτε το σημειο Β2 ανηκει στους κυκλους C1, C3. Τα Ν και Β2 ταυτιζονται αν και μονο αν <Β1 = π/2, το οποιο συμβαινει οταν και μονο οταν οι δυο κυκλοι C1 και C3 εφαπτονται. Αρα οι κυκλοι C1 και C3 εχουν πρωτο κοινο σημειο το σημειο Ν και δευτερο κοινο σημειο το σημειο Β2. Για τα αλλα 2 ζευγη κυκλων (C1, C2) και (C2, C3) εργαζομαστε αναλογως, και το δευτερο ζητουμενο εχει αποδειχτει.

Επηδη τωρα: Γ1Α2 =// ΒΟ/2 =// Γ2Α1, Β1Α2 =// ΓΟ/2 =// Β2Α1, εχουμε: Γ1Α2Γ2Α1 και Β1Α2Β2Α1: παραλληλογραμμα οποτε οι ευθειες Γ1Γ2 και Β1Β2 διχοτομουν το τμημα Α1Α2, αρα Α1Α2, Β2Β1, Γ1Γ2: συντρεχουν στο μεσο του τμηματος Α1Α2. Για να συντρεχουν οι 3 αυτες ευθειες μαζι με την ΝΟ λοιπον, πρεπει το ευθ. τμημα ΝΟ να διερχεται απο το μεσο του τμηματος Α1Α2, η αρκει το Α1ΟΑ2Ν να ειναι παραλληλογραμμο. Πραγματι: Α1Ν = Α2Ο = R/2 και απο την ομοιοτητα των ισοσκελων τριγωνων Α1ΝΒ1 και ΑΟΒ (ΒΟ=ΑΟ, ΝΒ1 = ΝΑ1 και <Α1ΝΒ1 = 2<Γ1 = 2<Γ = <ΒΟΑ) ειναι <ΝΑ1Β1 = <ΟΑΒ με Α1Β1//ΑΒ, αρα ειναι και ΝΑ1//ΟΑ//ΟΑ2, οποτε το Α1ΟΑ2Ν ειναι παραλληλογραμμο και το 3ο ζητουμενο εχει αποδειχθει.

ΥΓ: Η ασκηση μπορει να λυθει πολυ πιο συντομα με ομοιοθεσιες.

Κατ εμε τα θεματα σε Β και Γ Λυκειου ηταν πολυ ομορφα και οχι ιδιαιτερα δυσκολα, ηταν δηλαδη οπως πρεπει να ειναι τα θεματα στο Θαλη.
Καλα αποτελεσματα σε ολους οσους εγραφαν σημερα.

lefteris mastoris · #22

Mια διαφορετικη λυση για το συστημα της Β λυκειου...Αφαιρωντας κατα μελη την δευτερη απο την πρωτη σχεση,και πολλαπλασιαζοντας με x-z

:

.Ομως $LHS\geq0$ αρα και το δεξι μελος ειναι μη αρνητικο.Αρα $3x^2-yx+yz-5zx+2z^2\leq0$ .Ετσι ,αν αφαιρεσουμε ανα δυο και τις αλλεσ αρχικες σχεσεις,και δουλευοντας με την ιδια λογικη,προκυπτουν αναλογες σχεσεις,τις οποιες,προσθετουμε κατα μελη και παιρνουμε $5(x^2+y^2+z^2-yx-yz-zx)\leq0$ . Αρα ειναι x=y=z

, και με αντικατασταση σε μια απο τις αρχικες βγαινουν και οι τρεις αριθμοι

.

#23

Για το 4ο θέμα της Β΄ Λυκείου μια τρίτη ματιά:
Το σύστημα γράφεται
(x+y)^3+2x+y=z

Έστω μια λύση του συστήματος στους πραγματικούς.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
$\bullet x\leq y\leq z.$ Τότε $z=(x+y)^3+2x+y\leq (y+z)^3+2y+z=x.$ Άρα $x\leq y\leq z\leq x.$
$\bullet x\leq z\leq y.$ Τότε $y=(z+x)^3+2z+x\leq (y+z)^3+2y+z=x.$ Άρα $x\leq z\leq y\leq x.$
Και στις δύο περιπτώσεις x=y=z.

Κάθε άλλη διάταξη αντιμετωπίζεται ομοίως.

lefteris mastoris · #24

Στην αρχη σκεφτηκα κ γω να την λυσω ετσι,αλλα αλλαξα τροπο γιατι φοβηθηκα μη χασω καποια διαταξη κλπ γιατι ηθελε προσοχη...!

Ομορφη λυση παντως!!!Η δικια μου(αυτη που εβαλα παραπανω) ειναι τελικα ΟΚ???Γιατι εχω καποιες αμφιβολιες..

#25

lefteris mastoris έγραψε:Στην αρχη σκεφτηκα κ γω να την λυσω ετσι,αλλα αλλαξα τροπο γιατι φοβηθηκα μη χασω καποια διαταξη κλπ γιατι ηθελε προσοχη...! Ομορφη λυση παντως!!!Η δικια μου(αυτη που εβαλα παραπανω) ειναι τελικα ΟΚ???Γιατι εχω καποιες αμφιβολιες..

Είναι νομίζω πολύ καλή λύση!

Nick1990 · #26

Αφου υπαρχουν πολλες λυσεις στο 4ο της Β, ας βαλω και εγω αυτη που σκεφτηκα ενω επιτηρουσα :p

Αν a=x+y, b=y+z, c=z+x
τοτε εχουμε
a^3 + 2a = b
b^3 + 2b = c
c^3 + 2c = a
Χβτγ υποθετουμε οτι ο a ειναι ο μεγιστος, τοτε:
$a^3 + 2a = b \leq a \Rightarrow a^3 + a \leq 0 \Rightarrow a \leq 0$
Αρα οι 3 αριθμοι ειναι αρνητικοι, και με προσθεση κατα μελη των παραπανω εχουμε:
$0 \geq a^3 + b^3 + c^3 = -(a + b + c) \geq 0$
Αρα a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c) = 0

το οποιο χρησημοποιοντας την ταυτοτητα του Euler δινει οτι ενας τουλαχιστον απο τους a,b,c ειναι 0,
οποτε χρησημοποιοντας τωρα τις πιο πανω κυκλικες σχεσεις λαμβανουμε:
a=b=c=0 και αρα x=y=z=0.

Ο Ηλιας βρηκε μια ακομα πιο γρηγορη λυση, η οποια παει ετσι:
Απο τις 3 κυκλικες ισοτητες πιο πανω, με πολλαπλασιασμο κατα μελη προκειπτει:
abc(a^2 + 2)(b^2 + 2)(c^2 + 2) = abc

Το οποιο για $abc \neq 0$ δινει 1 > 8, ατοπο, οποτε τελειωσαμε!

#27

Όμορφα θέματα , μέσα στα πλαίσια της πρώτης φάσης ενός τέτοιου διαγωνισμού.

Στη γεωμετρία της Γ' (δεν έχω δει ακόμα τις επίσημες λύσεις και μπορεί να επαναλαμβάνομαι)να σημειώσω ότι R/2 είναι η ακτίνα του κύκλου Euler , που ως γνωστόν περνάει από τα μέσα των πλευρών. Άρα οι τρεις κύκλοι συντρέχουν στο κέντρο του κύκλου του Euler.

Εύχομαι καλά αποτελέσματα στα παιδιά που διαγωνίστηκαν και καλή συνέχεια στον Ευκλείδη !

Μπάμπης

#28

Μια ερώτηση-απορία, για το 4ο θέμα στη Γ'Λυκείου (Γεωμετρία).
Πρέπει να αποδείξουμε πως όντως οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία ή το περνάμε χωρίς καν να ασχοληθούμε;

John13 · #29

chris_gatos έγραψε:Μια ερώτηση-απορία, για το 4ο θέμα στη Γ'Λυκείου (Γεωμετρία).
Πρέπει να αποδείξουμε πως όντως οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία ή το περνάμε χωρίς καν να ασχοληθούμε;

Ναι έπρεπε να το αποδείξουμε και αυτό. Απ' ότι είδα έπιανε μόνο μία μονάδα πάντως και τα άλλα δύο ερωτήματα από 2, οπότε και να το ξέχασε κάποιος αυτό, αν έγραφε τα άλλα δύο, έπαιρνε τις 4 από τις 5 μονάδες.
Μια ερώτηση προς αυτούς που ήταν επιτηρητές....
Οι μαθητές τις Γ Λυκείου πόσα θέματα έγραψαν κατά μέσο όρο? Σε εμάς όλοι σχεδόν έγραψαν τα 2 πρώτα θέματα, αλλά λίγοι τα κατάφεραν στο 3ο και στο 4ο θέμα.

#30

Αλλη μια λύση για το 4o της Β λυκείου
Από τις πράξεις που ήδη έχουν γίνει $\displaystyle{a(a^2+2)=b,...}$ τα a,b,c θα ε΄πρεπε να είναι ομόσημα
όμως προσθέτοντας κατά μέλη φτάνουμε στην $\displaystyle{a(a^2+1)+b(b^2+1)+c(c^2+1)=0}$ που καταλήγει σε άτοπο αν δεχτούμε ότι abc ομόσημα ...

Αλλη μια λύση για το 1o της Β λυκείου
θέτω $\displaystyle{s=a+b,p=ab \Rightarrow s^2\ge 4p}$ [*]
αρκεί $\displaystyle{8p\sqrt{p}\le s^3}$ η $\displaystyle{64p^3\le s^6}$ που προκύπτει υψώνοντας στην 3η την [*]

Και το 2ο της Β βγαίνει γρήγορα με ομοιοθεσίες $\displaystyle{(G,-2) , (O,1/2)}$

Λουκρητία · #31

Εγώ εφάρμοσα μια άλλη ανισότητα στο 1ο θέμα της Β'Λυκείου:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Νομίζω ότι είναι αρκετά καλή =)

Έλυσα 3 θέματα, πιθανόν 2,5, μάλλον έκανα κάτι χαζό στο 2ο θέμα, στο 2ο ερώτημα (απόδειξη ότι τέμνονται) ενώ δεν είδα το προφανές.

Το 4ο θέμα δεν το έλυσα καθόλου, δε μπορούσα να σκεφτώ καμιά πιθανή λύση εκείνη την ώρα

Αλλά νομίζω ότι πέρασα, αν κι η δική μου λύση στο 1ο θέμα είναι σωστή, έχω 2 ολόκληρα θέματα λυμένα + κάτι μονάδες από το 2ο θέμα

#32

Λουκρητία έγραψε: αν κι η δική μου λύση στο 1ο θέμα είναι σωστή

Ναι, η ανισότητα που γράφεις είναι σωστή.

Συγχαρητήρια για την επίδοσή σου.

Φιλικά,

Μ.Λ.

Πανος Κ. · #33

Γεια σας, διαβασα την βαθμολογια που δινει η ΕΜΕ για το 4ο θεμα της 1ης Λυκειου και διαπιστωσα πως επιανε 3 μοναδες το να γραψεις τους λαθος συνδιασμους,μονο που στην εκφωνιση δεν αναφερει τιποτα τετοιο.

Με 11 μοναδες υπαρχει περιπτοση να περασω?

S.E.Louridas · #34

Πραγματικά αισθάνομαι πολύ όμορφα τόσο γιά την ποιότητα (Μαθηματική και όχι μόνο) των θεμάτων του Θαλή,όσο και για την σωστή κλιμάκωσή τους.
Ειλικρινά εύχομαι ακόμη καλύτερη συνέχεια στην επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.

Σωτήρης Ε.Λουρίδας

Mulder · #35

Που υπολογίζεται να κυμαίνονται οι βάσεις φέτος για Γ Λυκείου;Έγω έλυσα τα πρώτα δύο θέματα και στο 3ο απέδειξα(με λίγο ανορθόδοξο τρόπο) ότι ο καθένας από τους αριθμούς α0000α διαιρείται με το 11.Στη συνέχεια βέβαια το διέλυσα το θέμα γιατί δεν είχα και πολύ χρόνο...Θα ήθελα πολύ να συμμετάσχω και στον Ευκλείδη,έχω καμιά πιθανότητα;

John13 · #36

Anastasis έγραψε:Που υπολογίζεται να κυμαίνονται οι βάσεις φέτος για Γ Λυκείου;Έγω έλυσα τα πρώτα δύο θέματα και στο 3ο απέδειξα(με λίγο ανορθόδοξο τρόπο) ότι ο καθένας από τους αριθμούς α0000α διαιρείται με το 11.Στη συνέχεια βέβαια το διέλυσα το θέμα γιατί δεν είχα και πολύ χρόνο...Θα ήθελα πολύ να συμμετάσχω και στον Ευκλείδη,έχω καμιά πιθανότητα;

Όπως έχω γράψει παραπάνω εδώ στην Πάτρα οι περισσότεροι έγραψαν περίπου 2 θέματα, οπότε είσαι πάνω από το μέσο όρο αν μετρήσουμε και 1-2 μονάδες από το 3ο θέμα και λογικά περνάς. Τα αποτελέσματα βγαίνουν κάθε χρόνο την πέμπτη της προηγούμενης βδομάδας από τον ευκλείδη , δλδ στις 14 Ιανουαρίου....

Aggelos_Nakos · #37

Paidia signomi gia ta greeklish alla mpika apo xalasmeno PC.Kala apotelesmata katarxhn se olous tous symmetexodes Tha ithela sas parakalo na mou peite sto thema 1 tis a lykeiou tin apadisi,giati iparxi dixasmos apopseon metaxi pollon diagonizomenon.endeiktika: i ekfonisi ine ligaki disnoiti kathos merika pedia valane : "x sto tetragono + 75 > 10x " kai alla(anamesa tous kai ego) "x sto tetragono > 10x + 75 " kai alla dio pedia pou rotisa valane : "x sto tetragono=10x + 75" .Telospadon osous rotisa mou eipane oti valane lisi to : "15" kai ego antapado oti to 15 ine lathos kathos ginete e3isosi i anisosi pou mas zitaei i ekfonisi. tha ektimousa apadhseis.

lefteris mastoris · #38

Mα δεν σου εδινε ανισωση......εξισωση ηταν.

Κοιτα καλυτερα την εκφωνηση και θα δεις τι εννοω...

Γιαννακάκης Αντώνης · #39

Η εκφώνηση είναι λίγο ανορθόδοξη, όντως.
Ευτυχώς εγώ έκατσα με τον ξάδερφο μου και με βοήθησε στο να τη λύση σαν εξίσωση ( x^2=10x + 75

που έχει σαν λύση τα -5,15

αλλά το

απορρίπτεται καθώς ο αριθμός που ψάχνουμε είναι θετικός).
Στην αρχή, και γω σκέφτηκα πως μιλάει για ανίσωση => "μεγαλύτερο".

Σήμερα το πρωί κατάλαβα τι εννοούσε η άσκηση.

Aggelos_Nakos · #40

???? giati oxi megalitero

krima den peirazi.makari na exo kanei sosto to Thema 4 kai na exo perasei(to thema 3 to perasa).Pados 8a h8ela na pw oti o diagonismos itane eukolos sxetika me persi opos paratirisa,perissoteroi xamogelastoi diagonizomenoi meta thn li3i se sxesi me persi

ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Re: ΘΑΛΗΣ 2009

Μέλη σε σύνδεση