Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Soteris · #1

Τα θέματα της Α΄ Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα της Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς που ικανοποιούν τις πιο κάτω συνθήκες:

(α) Όλα τα ψηφία τους είναι πρώτοι αριθμοί.

(β) Είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{36}$ .

Πρόβλημα 2

Αν $\displaystyle{a, \beta, \gamma, \delta}$ είναι τέσσερεις διαφορετικοί αριθμοί από το σύνολο $\displaystyle{A=\left\{-10, -7, -\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{3}{4}, 1, 2, 8\right\}}$ , να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη θετική τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση: $\displaystyle{B=\dfrac{a+\beta}{\gamma-\delta}}$

Πρόβλημα 3

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσικλέτα $\displaystyle{\rm{A, B, \Gamma}}$ . Για την εξόφληση των μοτοσικλετών, ο πωλητής ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και θα πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από $\displaystyle{100}$ ευρώ. Αν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι $\displaystyle{3000}$ ευρώ για την $\displaystyle{\rm{A}}$ , $\displaystyle{3315}$ ευρώ για την $\displaystyle{\rm{B}}$ και $\displaystyle{3840}$ ευρώ για την $\displaystyle{\rm{\Gamma}}$ , να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης.

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα το $\displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}}$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν $\displaystyle{114~cm^2}$ , το οποίο χωρίστηκε σε $\displaystyle{9}$ μικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{8, 9, x, 12}$ και $\displaystyle{24}$ αντιπροσωπεύουν τα εμβαδά των αντίστοιχων ορθογωνίων παραλληλογράμμων σε $\displaystyle{cm^2}$ , να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

: Pagk_A4.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 2486 φορές

JimNt. · #2

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα της Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς που ικανοποιούν τις πιο κάτω συνθήκες:

(α) Όλα τα ψηφία τους είναι πρώτοι αριθμοί.

(β) Είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{36}$ .

Πρόβλημα 2

Έστω της μορφής $\overlined{abcd}$ οι ζητούμενοι αριθμοί. Είναι 36=4*9

και επειδή (4,9)=1

πρέπει $4 | \overlined{abcd}$ και $9 | \overlined{abcd}$ . Είναι προφανές ότι τα ψηφία του $\overlined{abcd}$ είναι οι πρώτοι μικρότεροι του

δηλαδή αυτοί από το σύνολο [2,3,5,7]

. Αφού ο $\overlined{abcd}$ διαιρείται από το

πρέπει τα δύο τελευταία ψηφία του να διαιρούνται με το

. Δηλαδή πρέπει $\overlined{cd}=32,52,72$ . Τώρα αφού ο $9| \overlined{abcd}$ πρέπει $a+b+c+d=9n\ge 9$ .Διακρίνουμε περιπτώσεις:

(

) $a+b+c+d=9 \Leftrightarrow a+b=4$ $\Leftrightarrow$ $\overlined{abcd}=2232$

(

) $a+b+c+d=9 \Leftrightarrow a+b=2$ και αφού $a+b\ge 4$ δεν έχουμε λύσεις.

(

) Που δίνει a+b=0

, άτοπο.

(

) $a+b+c+d=18 \Leftrightarrow a+b=13$ , που δεν δίνει λύσεις ( 13=1+12,2+11,3+10,4+9,5+8,6+7

).

(

) $a+b+c+d=18 \Leftrightarrow a+b=11$ , που δεν δίνει λύσεις ( 11=1+10,2+9,3+8,4+7,5+6

).

(

) $a+b+c+d=18 \Leftrightarrow a+b=9$ $\Leftrightarrow$ $\overlined{abcd}=7272,2772$

$a+b+c+d=9m\ge 27$ , που δεν δίνει λύσεις αφού max[a+b+c+d]={7+7+7+2}=23<27

Άρα έχουμε του αριθμούς $\overlined{abcd}=2232, 7272, 2772$

JimNt. · #3

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα της Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 3

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσικλέτα $\displaystyle{\rm{A, B, \Gamma}}$ . Για την εξόφληση των μοτοσικλετών, ο πωλητής ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και θα πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από $\displaystyle{100}$ ευρώ. Αν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι $\displaystyle{3000}$ ευρώ για την $\displaystyle{\rm{A}}$ , $\displaystyle{3315}$ ευρώ για την $\displaystyle{\rm{B}}$ και $\displaystyle{3840}$ ευρώ για την $\displaystyle{\rm{\Gamma}}$ , να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης.

Έστω

το ποσό της προκαταβολής και

της κοινής μηνιαίας δόσης. Τότε πρέπει:
b|3000-a

,

. Από τις δυο πρώτες σχέσεις προκύπτει b|3315-3000-a+a=315

Από την δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει b|3840-3315-a+a=525

. Από τις

παίρνουμε

. Από τις

προκύπτει

, και αφού b>100

και ο μόνος θετικός διαιρέτης του 105

μεγαλύτερος του 100

είναι το

παίρνουμε $\boxed{b=105}$

Soteris · #4

Β΄Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 2 της Α΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το πρόβλημα 3 της Α΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}}$ με $\displaystyle{\angle{\rm{BA\Delta}}=\angle{\rm{B\Gamma\Delta}}=90^\circ, \angle{\rm{AB\Gamma}}=45^\circ, ({\rm AB})=21\;cm}$ και $\displaystyle{({\rm \Gamma\Delta})=9\;cm}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}}$ .

: Pagk_B3.png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 2356 φορές

Πρόβλημα 4

(α) Να βρείτε σταθερούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\rm{A, B}}$ , ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\dfrac{1}{\nu(\nu+1)}=\dfrac{{\rm A}}{\nu}+\dfrac{{\rm B}}{\nu+1}}$ , για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu}$ .

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_1=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\dfrac{1}{2016\cdot 2017}}$

(γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_2=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\ldots+\dfrac{1}{2015\cdot 2017}}$

Al.Koutsouridis · #5

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α΄ Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα της Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα το $\displaystyle{\rm{AB\Gamma\Delta}}$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν $\displaystyle{114~cm^2}$ , το οποίο χωρίστηκε σε $\displaystyle{9}$ μικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{8, 9, x, 12}$ και $\displaystyle{24}$ αντιπροσωπεύουν τα εμβαδά των αντίστοιχων ορθογωνίων παραλληλογράμμων σε $\displaystyle{cm^2}$ , να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Pagk_A4.png

: pankuprios_2016_gum_a_4.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 2268 φορές

Παρατηρούμε ότι για τα εμβαδά των ορθογωνίων που προκύπτουν αν διαμερίσουμε ένα ορθογώνιο με δυο ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα προς τiς πλευρές του, ισχύουν οι αναλογίες:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{ac}{bc}=\dfrac{ad}{bd} \Rightarrow \dfrac{E_1}{E_2}= \dfrac{E_3}{E_4}$

Αν ονομάσουμε με y,z,w,v

τα εμβαδά των "κενών" ορθογωνίων, στο πρόβλημά μας, τότε εφαρμόζοντας την παραπάνω ιδιότητα διαδοχικά έχουμε (*)

$\dfrac{12}{9}=\dfrac{y}{x} \Rightarrow y =\dfrac{4}{3}x$

$\dfrac{y}{x}= \dfrac{8}{z} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{4}{3}x}{x} = \dfrac{8}{z} \Rightarrow z = 6$

$\dfrac{x}{6}=\dfrac{w}{24} \Rightarrow w = 4x$

$\dfrac{9}{v} = \dfrac{x}{w} =\dfrac{x}{4x} \Rightarrow v = 36$

το άθροισμα τον εμβαδών ισούται με 114 άρα θα έχουμε

$12+9+8+y+x+z+24+w+v = 12+9+8+24+36+6+\dfrac{4}{3}x +x+4x =114 \Rightarrow$

$95+\dfrac{4}{3}x +5x=114 \Rightarrow x= 3 (cm^2)$

(*) Δείτε π.χ. το πρώτο πρόβλημα εδώ.

Datis-Kalali · #6

Για το προβλημα 3,
Φερουμε την $\Delta Z$ παρραληλη προς την ευθεια

.
Το $Z\Delta$ και $A \Delta$ θα ειναι καθετες.
Φερουμε την

καθετη στην πλευρα

.
Τοτε το τετραπλευρο $\Delta AKZ$ ειναι ορθογωνιο παραλληλογραμο.
$\Gamma \Delta Ζ=135^{\circ}$ και αρα $\Delta \Gamma Z=45^{\circ}$ και το $\Delta \Gamma Z$ θα ειναι ισοσκελες.
$\Delta Z = 9\sqrt{2}$
Aρα $KB = 21-9\sqrt{2}$ και $AK = 9\sqrt{2}$
$\displaystyle{(AB\Gamma \Delta)=(A\Delta KZ)+(KZB)+(\Delta \Gamma Z)= \frac{81}{2}+9\sqrt{2}(21-9\sqrt{2})+\frac{(21-9\sqrt{2})^2}{2}=180 \mathrm{ cm}^2}$
Δατης Καλαλη, Κυπρος, Γ'γυμνασιου

JimNt. · #7

Soteris έγραψε:Β΄Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

(α) Να βρείτε σταθερούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\rm{A, B}}$ , ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\dfrac{1}{\nu(\nu+1)}=\dfrac{{\rm A}}{\nu}+\dfrac{{\rm B}}{\nu+1}}$ , για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{\nu}$ .

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_1=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\dfrac{1}{2016\cdot 2017}}$

(γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_2=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\ldots+\dfrac{1}{2015\cdot 2017}}$

α) Η σχέση γίνεται 1=(n+1)A+nB

Και επειδή ισχύει για κάθε

φυσικό αρκεί να λύσουμε το σύστημα που θα προκύψει ως προς

και

για δύο φυσικές τιμές του

. Έτσι, παίρνουμε: A=1

,

. Δηλαδή : $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ (1)

β) Χρησιμοποιώντας την (1)

παίρνουμε $S_1=1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$
γ) Χρησιμοποιώντας την νοοτροποία του πρώτου βήματος πρέπει να βρούμε κατάλληλα

,

ώστε:
$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{C}{n}+ \frac{D}{n+2}$ για κάθε

φυσικό. Με τον ίδιο τρόπο όπως στο πρώτο παίρνουμε: C=1/2, D=-1/2

και κατά συνέπειαν $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+2)}$ (2)

. Χρησιμοποιώντας την (2)

παίρνουμε: $S_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4034}=\frac{1008}{2017}$

Soteris · #8

Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 3 της Β΄ Γυμνασίου.

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το πρόβλημα 4 της Β΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

Να γράψετε την παράσταση $\displaystyle{\sqrt{\sqrt{6^6}}-5\cdot\sqrt{9+\sqrt{72}}}$ στη μορφή $\displaystyle{\sqrt{a}-\sqrt{\beta}}$ , όπου $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{\beta}$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Πρόβλημα 4

Αν $\displaystyle{x=\left(1+7\right)\cdot\left(1+7^2\right)\cdot\left(1+7^4\right)\cdot\left(1+7^8\right)\cdot\left(1+7^{16}\right)\cdot\left(1+7^{32}\right)}$ και $\displaystyle{7^{32}=\sqrt{ax+a-5}}$ , να υπολογίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου αριθμού $\displaystyle{a}$ .

JimNt. · #9

Soteris έγραψε:Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Αν $\displaystyle{x=\left(1+7\right)\cdot\left(1+7^2\right)\cdot\left(1+7^4\right)\cdot\left(1+7^8\right)\cdot\left(1+7^{16}\right)\cdot\left(1+7^{32}\right)}$ και $\displaystyle{7^{32}=\sqrt{ax+a-5}}$ , να υπολογίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου αριθμού $\displaystyle{a}$ .

Ωραία άσκηση! Είναι προφανές πως $x>7^{32+16+8+4+2+1}=7^{63}$ Η εξίσωση γράφεται $7^{64}=ax+a-5$ . Αν $a \ge 7$ . Τότε $ax+a-5 > 7^{64} +2$ $\Leftrightarrow$ $7^{64} > 7^{64}+2$ , άτοπο. Επομένως, a<7

. Επειδή

το τελευταίο ψηφίο του αριστερού μέλους είναι

και άρα πρέπει t(ax+a-5)=1

(

, επειδή $t(1+7^{2})=0$ ) $\Leftrightarrow$ t(a)=6

$\Leftrightarrow$ a=6

.

nikkru · #10

Soteris έγραψε:Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Αν $\displaystyle{x=\left(1+7\right)\cdot\left(1+7^2\right)\cdot\left(1+7^4\right)\cdot\left(1+7^8\right)\cdot\left(1+7^{16}\right)\cdot\left(1+7^{32}\right)}$ και $\displaystyle{7^{32}=\sqrt{ax+a-5}}$ , να υπολογίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου αριθμού $\displaystyle{a}$ .

Ας δούμε και μια δεύτερη λύση με χρήση ταυτοτήτων.

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με (1-7)

ώστε να προκύψουν διαδοχικές διαφορές τετραγώνων στο δεύτερο μέλος, έχουμε:
$\displaystyle{(1-7)x=(1-7)\left(1+7\right)\cdot\left(1+7^2\right)\cdot\left(1+7^4\right)\cdot\left(1+7^8\right)\cdot\left(1+7^{16}\right)\cdot\left(1+7^{32}\right)}$ $\Leftrightarrow -6x=1-7^{64}\Leftrightarrow 7^{64}=1+6x$ (1)

.
Τώρα, υψώνοντας και τα δύο μέλη της σχέσης $\displaystyle{7^{32}=\sqrt{ax+a-5}}$ στο τετράγωνο έχουμε: $7^{64}=ax+a-5$ και αντικαθιστώντας από την (1)

προκύπτει $1+6x=ax+a-5\Leftrightarrow (a-6)(x+1)=0$ . Όμως x>1

, συνεπώς

, τιμή δεκτή αφού επαληθεύει την δοσμένη σχέση.

Datis-Kalali · #11

JimNt. έγραψε:
Β΄Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

(γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_2=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\ldots+\dfrac{1}{2015\cdot 2017}}$
γ) Χρησιμοποιώντας την νοοτροποία του πρώτου βήματος πρέπει να βρούμε κατάλληλα , ώστε:
$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{C}{n}+ \frac{D}{n+2}$ για κάθε φυσικό. Με τον ίδιο τρόπο όπως στο πρώτο παίρνουμε: και κατά συνέπειαν $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+2)}$ . Χρησιμοποιώντας την παίρνουμε: $S_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4034}=\frac{4033}{8070}$

ٍΕιναι $=\frac{1}{2}-\frac{1}{4034}=\frac{1008}{2017}$

JimNt. · #12

Datis-Kalali έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Β΄Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

(γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_2=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\ldots+\dfrac{1}{2015\cdot 2017}}$
γ) Χρησιμοποιώντας την νοοτροποία του πρώτου βήματος πρέπει να βρούμε κατάλληλα , ώστε:
$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{C}{n}+ \frac{D}{n+2}$ για κάθε φυσικό. Με τον ίδιο τρόπο όπως στο πρώτο παίρνουμε: και κατά συνέπειαν $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+2)}$ . Χρησιμοποιώντας την παίρνουμε: $S_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4034}=\frac{4033}{8070}$
ٍΕιναι $=\frac{1}{2}-\frac{1}{4034}=\frac{1008}{2017}$

Ναι σωστά. Έκανα την πράξη με χρήση υπολογιστικού προγράμματος και έβαλα λάνθασμενους αριθμούς. Ευχαριστώ για την υπόδειξη.

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Μέλη σε σύνδεση