ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

#1

Για να προθερμάνουμε την εθνική μας ομάδα στην επερχόμενη Βαλκανιάδα, ας προτείνουμε σε αυτό το χώρο μερικές ασκήσεις γεωμετρίας που αποτελούν έτσι κι αλλιώς το αγαπημένο πεδίο των Ελλήνων διαγωνιζόμενων. Τονίζω με την ευκαιρία ότι με δύο σωστά θέματα στην ΒΜΟ το μετάλλιο είναι σχεδόν σίγουρο !!!
Μετά από 10 περίπου μέρες, αν δεν υπάρξουν απαντήσεις, θα βάζουμε και τη λύση .

ΑΣΚΗΣΗ - 1

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και μια ευθεία από το Α που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ζ και την προέκταση της ΔΓ στο σημείο Η. Ας είναι Κ,Λ τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ΑΒΖ και ΑΔΗ που εφάπτονται αντίστοιχα στις πλευρές ΒΖ,ΔΗ. Αν η διχοτόμος της γωνίας ΒΑΔ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΚΛ στο σημείο Μ, να αποδειχθεί ότι :

α) ΑΜ = ΚΒ + ΛΔ
β) Η γωνία ΚΓΛ είναι ίση με $180 - \frac {\angle A }{2}$

Μπάμπης

Ιστοσελίδα · #2

Δίνω το σχήμα.

Κώστας Παππέλης · #3

Με τις νέες χώρες εδώ και λίγα χρόνια που προστέθηκαν, μπορώ να πω με πιθανό σφάλμα 10% ότι και με ένα θέμα το μετάλλιο είναι σχεδόν σίγουρο. Σ εμάς και τους προπέρσινους ήταν και με λιγότερο.

Τη γεωμετρία την έχω ανάγει σχετικά εύκολα στο να δείξω ότι <ΚΓΛ=180-(<Α/2) το οποίω απλουστεύει το σχήμα αλλά είναι μάλλον αργά και δεν μπορώ να δουλέψω με καθαρό μυαλό. Αν βρω κάτι ολοκληρωμένο θα το γράψω.

Υποψιάζομαι πάντως ότι κάποιος τριγωνομετρικός Ceva θα δίνει τη λύση...

#4

Κώστας Παππέλης έγραψε:.....................
Τη γεωμετρία την έχω ανάγει σχετικά εύκολα στο να δείξω ότι <ΚΓΛ=180-(<Α/2) το .............................

Κώστα, αυτό το σκεφτόμουνα τη ...νύχτα να το προσθέσω ως β΄ερώτημα και να που με πρόλαβες !

Καλή Ανάσταση !!!

Μπάμπης

#5

Πολύ όμορφη άσκηση. Να η λύση μου.
Τα τρίγωνα ADL,MLK

είναι όμοια, άρα $MK\cdot AL=DL\cdot LK$ . Με ανάλογο τρόπο βγάζουμε ότι
$ML\cdot AK=DL\cdot LK$ . Από το θεώρημα Πτολεμαίου για το εγγράψιμο τετράπλευρο ALMK

έχουμε ότι $MK\cdot AL+ML\cdot AK=AM\cdot AK$ . Αντικαθιστώντας τις παραπάνω έχουμε ότι AM=KB+LD

Για το δεύτερο ερώτημα παρατηρείστε ότι τα τρίγωνα DCL,BCK είναι όμοια

#6

Πολύ ωραία !
Με την προηγούμενη άσκηση ήθελα να επισημάνω στα μέλη της ομάδας μας να φρεσκάρουν όλα τα επώνυμα θεωρήματα :
Θεώρημα Πτολεμαίου , Θεώρημα Casey, Θεώρημα Ceva , Θεώρημα Μενελάου κλπ.
Επίσης, να τονίσουμε ότι η ομοιότητα αλλά και η ομοιοθεσία είναι ισχυρότατα εργαλεία στη λύση δύσκολων ασκήσεων.

Με την απόμενη άσκηση , η οποία δεν είναι βέβαια επιπέδου Βαλκανιάδας , θέλω να δώσω την ευκαιρία στους μαθητές μας να φρεσκάρουν λίγα στοιχεία από την αναλυτική , αλλά και μερικά κριτήρια καθετότητας. για κάθε ενδεχόμενο .

ΑΣΚΗΣΗ - 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα τη ΒΓ. Στην προέκταση της ΓΑ, προς το Α, παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο, ώστε ΓΔ = ΒΓ ενώ στην προέκταση της ΑΓ, προς το Γ, παίρνουμε τμήμα ΓΕ = ΑΔ/2 . Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ , να αποδειχθεί ότι η ΕΜ είναι κάθετη στην ΒΔ.

Μπάμπης

#7

Μία απάντηση με Αναλυτική στην Άσκηση 2 του Μπάμπη. Βέβαια στη Βαλκανιάδα να περιμένουμε σαφώς πιο πολύπλοκα θέματα. Πάντως τη βρίσκω καλή και για την τάξη (αν κάποτε αναβαθμιστεί ο ρόλος της Γεωμετρίας (Ευκλείδειας και Αναλυτικής....).

: 07-04-2010 Geometry.png (5.38 KiB) Προβλήθηκε 1447 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κορυφή Α(0, 0), παίρνουμε τα σημεία Β(γ, 0), γ > 0 και Γ(0, 1).

Στον ημιάξονα Οy΄ παίρνουμε σημείο Δ(0, δ), ώστε ΓΔ = ΒΓ $\displaystyle \Leftrightarrow \;\;\gamma ^2 + 1 = \left( {\delta - 1} \right)^2 \;\; \Leftrightarrow \;\delta ^2 - 2\delta - \gamma ^2 = 0$ (1)

Στον ημιάξονα Oy παίρνουμε σημείο $\displaystyle {\rm E}\left( {0,\;1 - \frac{\delta }{2}} \right)$ , δ < 0.

Είναι $\displaystyle \lambda _{{\rm B}\Delta } = - \frac{\delta }{\gamma },\;\;\lambda _{{\rm E}{\rm M}} = - \frac{{1 - \frac{\delta }{2}}}{{\frac{\gamma }{2}}} = - \frac{{2 - \delta }}{\gamma }$ , οπότε $\displaystyle \lambda _{{\rm B}\Delta } \cdot \lambda _{{\rm E}{\rm M}} = \frac{\delta }{\gamma } \cdot \frac{{2 - \delta }}{\gamma } = - \frac{{\delta ^2 - 2\delta }}{{\gamma ^2 }} = - 1$ , λόγω της (1), άρα ΒΔ κάθετη στην ΕΜ.

Γιώργος Ρίζος

p_gianno · #8

Αν Ν μέσο της ΔΒ τοτε (ΜΝ=ΑΔ/2=ΕΓ=χ και ΜΝ//ΑΔ )--- > ΜΝ //=ΕΓ -- > ΕM//=ΓΝ . Όμως ΓΝ διάμεσος άρα και ύψος του ισοσκελούς τργ ΔΓΒ και επομένως και ΕΜ ως παράλληλη προς το ύψος ΓΝ θα είναι επίσης κάθετη στη ΔΒ οεδ.

#9

Στη συνέχεια προτείνω μια άσκηση γνωστή στους ολυμπιακούς κύκλους αλλά που είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, μια και αναφέρεται στον εγγεγραμμένο κύκλο που είναι ο αγαπημένος κύκλος των διαγωνισμών !

ΑΣΚΗΣΗ - 3

Ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ έχει κέντρο Ι , εφάπτεται με την πλευρά ΑΒ στο Κ και με την πλευρά ΑΓ στο Λ. Έστω ΒΔ και ΓΕ

ύψη του τριγώνου ΑΒΓ . Να αποδειχθεί ότι :

α)Το συμμετρικό Ζ του σημείου Δ ως προς την ΚΛ βρίσκεται στην ευθεία ΒΙ

β) Η συμμετρική ευθεία (ε) της ΔΕ ως προς την ευθεία ΚΛ είναι παράλληλη με τη ΒΓ.

γ) Αν Ν είναι το συμμετρικό του Λ ως προς τη ΒΖ , τότε η ευθεία (ε) διέρχεται από το Ν.

Συμπληρωματικά ερωτήματα

δ) Αν οι ευθείες (η) και (ζ) ορίζονται ανάλογα με την (ε) θεωρώντας τις δύο άλλες πλευρές του ορθικού τριγώνου και τις συμμετρικές τους ως προς τις αντίστοιχες ευθείες των σημείων επαφής , τότε οι ευθείες (ε), (ζ), (η) ορίζουν ένα τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ.

ε) Αν η ευθεία ΖΝ τέμνει ξανά τον κύκλο (Ι) στο σημείο Μ , τότε τα τμήματα ΜΝ και ΒΓ έχουν λόγο ρ προς R.

ΣΧΟΛΙΟ

Το ερώτημα ε) είναι... δική μου εικασία και δεν το έχω αποδείξει ακόμα

.Πιθανόν ο λόγος να είναι λίγο διαφορετικός. Νομίζω όμως από διαίσθηση ότι θα προκύψει από το θεώρημα Feurbach και το γεγονός ότι το τρίγωνο του ερωτήματος δ) είναι ομοιόθετο με το τρίγωνο που ορίζουν τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ, και ο κύκλος του Euler είναι ομοιόθετος με τον εγγεγραμμένο κύκλο με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο επαφής τους).

Μπάμπης

ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

Re: ΒΑΛΚΑΝΙΑΔΑ 2010 , ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1- 10

Μέλη σε σύνδεση