πολυώνυμο

Ιστοσελίδα · #1

Καλημέρα

Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{ P(x) = x^5 + \alpha x^3 + \beta x^2 - 6x - 12 }$
το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο $\displaystyle{ (x^2 - 1) }$

i) Να υπολογίσετε το άθροισμα α+β

ii) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο $\displaystyle{ (x^2 - 1) }$

Από εισαγωγικές εξετάσεις στην Τουρκία

Stavroulitsa · #2

Παράκληση: Μην την απαντήσει κανείς! Απλά τώρα δεν προλαβαίνω...

(αναφέρομαι κυρίως στους συνήθεις ύποπτους: Χρήστος, Κώστας, Νίκος και........matha

)

Stavroulitsa · #3

Καλησπέρα! Μετά από το τρέξιμο της μέρας θα βάλω τη λύση μου και θα ήθελα αν μπορούσατε να με διορθώσετε κύριε Σπύρο

και φυσικά είναι περιττό να πω πως κάθε παρατήρηση είναι ευπρόσδεκτη!

αφού το πολυώνυμο διαιρείται ακριβώς με το $x^2-1=\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)$ αυτό σημαίνει πως το 1 και -1 θα είναι ρίζες του πολυωνύμου άρα
για x=1 έχουμε: $x^5+ax^3+\beta x^2-6x-12=0\Leftrightarrow 1+a+\beta -6-12=0\Leftrightarrow a+\beta =17$ (1)
άρα το πρώτο ερώτημα απαντήθηκε και α+β=17
για x=-1 έχουμε: $x^5+ax^3+\beta x^2-6x-12=0\Leftrightarrow -1-a+\beta +6-12=0\Leftrightarrow \beta -a=7$ (2)
από (1) και (2) έχουμε α+β=17 και β-α=7 άρα β=12 και α=5
Επομένως με διαιρεση πολυωνύμων έχουμε
x^5+5x^3+12x^2-6x-12=(x^2-1)(x^3+6x+12)

και το ποιλίκο είναι x^3+6x+12

ΥΓ. είναι προτιμότερο να δουλέψει κανείς με διαιρεση πολυωνύμων ή με σχήμα Horner λέγοντας πως το χ-1 θα διαιρεί το πολυώνυμο και το χ+1 θα διαιρεί το πηλίκο του πρώτου σχήματος;;;

Ιστοσελίδα · #4

Mπράβο Σταυρούλα

, βέβαια να προσέξεις τις ισοδυναμίες σου γιατί δεν μπορούμε να γράψουμε

$\displaystyle{ x^5 + \alpha x^3 + \beta x^2 - 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow 1 + \alpha + \beta - 6 - 12 = 0 }$

καλύτερη διατύπωση είναι η

$\displaystyle{ P(1) = 0 \Leftrightarrow 1 + \alpha + \beta - 6 - 12 = 0 }$

(Μας βλέπει και ο κυρ Αντώνης και θα βγάζει

)

όσο για το θέμα βγαίνει και με διαίρεση πολυωνύμων αλλά η μέθοδος horner απλουστεύει την διαδικασία.

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

Μία μάλλον πιο εύκολη αντιμετώπιση μετα την υποδειγματική λύση της Stavroulitsa

Αν εκτελέσουμε την διαίρεση, κανονικά βρίσκουμε
υπόλοιπο υ(x)= $\displaystyle{(\alpha - 5)x + \beta - 12}$ και πηλίκο $\displaystyle{\pi (x) = x^3 + (\alpha + 1)x + \beta }$
Το υπόλοιπο είναι το μηδενικό πολυώνυμο, άρα α = 5 και β = 12
i) α+β = 5+12 = 17
ii) $\displaystyle{\pi (x) = x^3 + (\alpha + 1)x + \beta = x^3 + 6x + 12}$

Φιλικά Χρήστος

πολυώνυμο

πολυώνυμο

Re: πολυώνυμο

Re: πολυώνυμο

Re: πολυώνυμο

Re: πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση