Εφαπτόμενοι κύκλοι.

#1

Αφορμής δοθείσας της πολύ όμορφης άσκησης του Μιχάλη viewtopic.php?f=22&t=11408#wrapheader .. μια (handmade) επέκταση αυτής.

: Εφαπτόμενοι.jpg (52.9 KiB) Προβλήθηκε 1553 φορές

1. Να αποδειχθεί ότι τα κέντρα $\displaystyle{{\rm M}{\text{ \& }}{\rm N}}$ βρίσκονται σε σταθερή παραβολή, της οποίας να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα.

2. Να αποδειχθεί ότι το σημείο επαφής

βρίσκεται σε σταθερό κύκλο, του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

3. Να αποδειχθεί ότι η κοινή εφαπτομένη $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ των κύκλων $\displaystyle{\left( {M,{\rho _1}} \right){\text{ \& }}\left( {{\rm N},{\rho _2}} \right)}$ και οι ευθείες $\displaystyle{\Delta {\rm K}{\text{ \& }}\Gamma \Lambda }$ , συντρέχουν σε σταθερό σημείο.

4. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{{\rm Z},{\rm O}{\text{ \& }}{\rm H}}$ , βρίσκονται επί ευθείας παράλληλης της $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}}$ .

5. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{4 \cdot \rho _1^2 \cdot \rho _2^2 + {R^2} \cdot \left( {\rho _1^2 + \rho _2^2} \right) + 4 \cdot R \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} \cdot \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right) = 6 \cdot {R^2} \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2}}$

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

#3

$\bullet$ Τα σημεία $D,\ M,\ O,$ είναι συνευθειακά γιατί οι ακτίνες $OD,\ MD,$ των κύκλων $(O),\ (M)$ αντιστοίχως, είναι κάθετες στην κοινή εφαπτομένη τους.

Η δια του

κάθετη ευθεία επί την χορδή

του

είναι μεσοκάθετη σ' αυτήν και τέμνει τον (O)

στο σημείο έστω

προς το μέρος της

που δεν είναι ο κύκλος (M).

Από $MK\parallel OQ$ και $\displaystyle\frac{MK}{OQ} = \frac{DM}{DO},$ σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι τα σημεία $D,\ K,\ Q,$ είναι συνευθειακά.

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι τα σημεία $O,\ N,\ C$ είναι συνευθειακά καθώς επίσης και τα σημεία $C,\ L,\ Q.$

Είναι εύκολο τώρα να δούμε, ότι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων $(M),\ (N),$ περνάει από το σημείο $Q\equiv DK\cap CL,$ ως το ριζικό κέντρο των κύκλων $(O),\ (M),\ (N)$ και το (3) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Τα τρίγωνα $\triangle AKQ,\ \triangle DAQ$ είναι όμοια,

γιατί έχουν $\angle AKQ = \angle ADQ + \angle DAB = \angle ABQ + \angle DAB = \angle BAQ + \angle DAB = \angle DAQ$

και άρα έχουμε, $\displaystyle\frac{QK}{QA} = \frac{QA}{QD}$ $\Longrightarrow$ $(QA)^{2} = (QK)\cdot (QD) = (QE)^{2}$ ,(1)

Από

$\Longrightarrow$ QE = QA = QB

και έτσι συμπεραίνουμε, ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου επαφής

των κύκλων $(M),\ (N),$ είναι το τόξο AEB

του κύκλου (Q),

με κέντρο το

και ακτίνα QA = QB

και το (2) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημειώνεται ως γνωστό, ότι το σημείο

είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\triangle PAB,$ όπου $P\equiv (O)\cap QE.$

$\bullet$ Όπως αποδείχτηκε ότι η ευθεία

περνάει από το μέσον του τόξου

του κύκλου (O),

που δεν εφάπτεται στον κύκλο (M),

ομοίως αποδεικνύεται ότι η ευθεία

περνάει από το μέσον

του τόξου

του

που δεν εφάπτεται στον (M).

Ομοίως η ευθεία CE,

περνάει από το μέσον

του τόξου

που δεν εφάπτεται στον κύκλο (N).

Άρα, συμπεραίνουμε ότι τα σημεία $Z,\ O,\ H$ είναι συνευθειακά και ότι $ZOH\parallel MN$ και το (4) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για το (1) ζητούμενο θα επανέλθω, αφού ψάξω να βρώ την απόδειξη του Κώστα στην οποία αναφέρθηκα πιο πάνω.

#4

Για το 1ο αν και ο Κώστας υποστηρίζει πως κάπου το ανάφερα και δεν μπορώ να το βρώ κι εγώ σημειώνω μια ιδέα:
Ο γ.τ. του σημείου Μ, του κέντρου του κύκλου που εφάπτεται στη διάμετρο και στο ημικύκλιο είναι τμήμα της παραβολής
με εστία το κέντρο του κύκλου και διευθετούσα την εφαπτομένη στο σημείο Γ.
Και τούτο γιατί:
$MO=ON-MN=O\Gamma -M\Delta =\Delta E-\Delta M=ME$

#5

Ψάχνοντας λύση στην άσκηση του Μιχάλη (που παραθέτω αρχικά), ανακάλυψα μια προσέγγιση των παραπάνω ερωτημάτων με την μέθοδο της αντιστροφής. Θα την αναρτήσω αργότερα, περιμένοντας .. περισσότερο κλασσικές ιδέες.

Edit: Ενώ έγραφα προέκυψε και λύση στο πρώτο ερώτημα .. ευχαριστώ πολύ τους εκλεκτούς φίλους.

#6

Με το ίδιο σκεπτικό όπως και στην περίπτωση που η

είναι διάμετρος του δοσμένου κύκλου (O),

αποδεικνύεται ότι ο Γεωμετρικός τόπος του σημείου

όταν η

είναι τυχούσα χορδή

, είναι το τμήμα παραβολής με χορδή

, εστία το κέντρο

του

και διευθετούσα την ευθεία $(\delta)$ σε παράλληλη απόσταση

από την

όπου

είναι η ακτίνα του (O).

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Κώστα, θα στοιχημάτιζα ότι κάπου έχω ξαναδεί εδώ στο

, την απόδειξή σου που γράφεις πιο πάνω.

#7

Τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται σε παραβολή με εστία το σημείο

και διευθετούσα την ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ (σχήμα 1). Θεωρώντας σύστημα αξόνων κέντρου

, η εξίσωσή της είναι $\displaystyle{{x^2} = - 2R\left( {y - \frac{R}{2}} \right) = 2R\left( {\frac{R}{2} - y} \right)}$ . Η απόδειξη του Κώστα είναι πλήρης. Μια αντίστοιχη απόδειξη είχε δοθεί και εδώ .. viewtopic.php?f=22&t=8137

: Εφαπτόμενοι - 2.jpg (43.51 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

Μια απόδειξη των ερωτημάτων με αντιστροφή.
Αντιστρέφουμε το σχήμα με πόλο το σημείο

και λόγο αντιστροφής $\displaystyle{\lambda = Z{A^2} = 2{R^2}}$ (σχήμα 1). Τότε ο κύκλος $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ αντιστρέφεται στην ευθεία

και η ευθεία

στον $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ . Οι κύκλοι $\displaystyle{\left( {M,{\rho _1}} \right){\text{ \& }}\left( {{\rm N},{\rho _2}} \right)}$ ως εφαπτόμενοι των παραπάνω γραμμών, αλλά και μεταξύ τους, παραμένουν αμετάβλητοι, επομένως η κοινή τους εφαπτομένη διέρχεται από το σταθερό σημείο

και έχει σταθερό μήκος $\displaystyle{EZ = \sqrt 2 R}$ , δηλαδή βρίσκεται σε σταθερό κύκλο κέντρου

και ακτίνας $\displaystyle{\sqrt 2 R}$ .
Επειδή με την αντιστροφή έχουμε $\displaystyle{\Delta \leftrightarrow {\rm K}{\text{ \& }}\Gamma \leftrightarrow \Lambda }$ , τα σημεία $\displaystyle{{\rm Z},{\rm K},\Delta }$ είναι συνευθειακά, ομοίως και $\displaystyle{{\rm Z},\Lambda ,\Gamma }$ .

Επίσης
Αντιστρέφουμε το σχήμα με πόλο το σημείο

και λόγο την δύναμη του σημείου

, ως προς τον κύκλο $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ . Τότε ο κύκλος $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ παραμένει αμετάβλητος, οι δε $\displaystyle{\left( {M,{\rho _1}} \right){\text{ \& }}\left( {{\rm N},{\rho _2}} \right)}$ αντιστρέφονται σε παράλληλες μεταξύ τους ευθείες, εφαπτόμενες του κύκλου $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ . Αυτές είναι οι $\displaystyle{\left( {{\eta _1}} \right){\text{ \& }}\left( {{\eta _2}} \right)}$ στο σχήμα 2. Επομένως τα σημεία $\displaystyle{\Sigma ,{\rm O},\Phi }$ είναι συνευθειακά.

Αναφορικά με την σχέση των ακτίνων.
$\displaystyle{{\rm K}{\Lambda ^2} = {\left( {{\rho _1} + {\rho _1}} \right)^2} - {\left( {{\rho _1} - {\rho _1}} \right)^2} \Rightarrow {\rm O}{\rm K} + {\rm O}\Lambda = 2 \sqrt {{\rho _1} {\rho _2}} }$ . Λόγω παραβολής $\displaystyle{{\rm O}{{\rm K}^2} = 2 R \left( {\frac{R}{2} - {\rho _1}} \right) = {R^2} - 2 R {\rho _1}}$ . Όμοια $\displaystyle{{\rm O}{\Lambda ^{{\text{ }}2}} = {R^2} - 2 R {\rho _2}}$ .

Τότε $\displaystyle{{\rm O}{{\rm K}^2} + {\rm O}{\Lambda ^{{\text{ }}2}} = 2 {R^2} - 2 R \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)}$ , καθώς και $\displaystyle{{\left( {{\rm O}{\rm K} {\rm O}\Lambda } \right)^{{\text{ }}2}} = \left( {{R^2} - 2 R {\rho _1}} \right) \left( {{R^2} - 2 R {\rho _2}} \right)}$ .

$\displaystyle{{\rm O}{\rm K} + {\rm O}\Lambda = 2 \sqrt {{\rho _1} {\rho _2}} \Rightarrow {\rm O}{{\rm K}^2} + {\rm O}{\Lambda ^{{\text{ }}2}} + 2 {\rm O}{\rm K} {\rm O}\Lambda = 4 {\rho _1} {\rho _2} \Rightarrow 2 {\rm O}{\rm K} {\rm O}\Lambda = 4 {\rho _1} {\rho _2} - \left( {2 {R^2} - 2 R \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)} \right)}$ , δηλαδή

$\displaystyle{{\rm O}{\rm K} {\rm O}\Lambda = 2 {\rho _1} {\rho _2} - \left( {{R^2} - R \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)} \right) \Rightarrow \left( {{R^2} - 2 R {\rho _1}} \right) \left( {{R^2} - 2 R {\rho _2}} \right) = {\left( {2 {\rho _1} {\rho _2} - \left( {{R^2} - R \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)} \right)} \right)^2}}$ και τελικά

$\displaystyle{4 \rho _1^2 \rho _2^2 + {R^2} \left( {\rho _1^2 + \rho _2^2} \right) + 4 R {\rho _1} {\rho _2} \left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right) = 6 {R^2} {\rho _1} {\rho _2}}$ .

spege · #8

Σεραφείμ
Παρατήρησα οτι τα κέντρα Μ,Ν βρίσκονται και σε άλλη μια παραβολή
με εστία το Ε και διευθετούσα την ΑΒ.
Μπορούν να προσδιοριστούν σαν τομή των δυο παραβολών
Σπύρος

spege · #9

Σεραφείμ
Από μια παρουσίαση που κάναμε με τον Μιχάλη Τζούμα στο συνέδριο της Χαλκίδας οι διχοτόμοι των γωνιών ΓΜΝ και ΜΝΔ τέμνονται πάνω στην ΑΒ στο σημείο Q.Έτσι τα M,N βρίσκονται πάνω στην παραβολή L2
Μελέτησε λίγο το συνημμένο
Σπύρος

#10

Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα ( δάνειο από mathlincs.ro φόρουμ ) σχετικό με το πρόβλημα αυτό ( τους τρεις εφαπτόμενους κύκλους ), είναι και το έξής :

αναφερόμαστε στην

ως τυχούσα χορδή του δοσμένου κύκλου (O)

(6) - Οι ευθείες $ZM,\ HN,\ PQ$ τέμνονται τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω το οποίο ανήκει στην ευθεία

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για όποιον ενδιαφέρεται περισσότερο, υπάρχουν δύο ακόμα αποτελέσματα :

(7) - Το σημείο τομής των ευθειών $DZ,\ CH,$ ανήκει στην ευθεία .

(8) - Το σημείο τομής των ευθείων $CD,\ MN,$ ανήκει στην ευθεία

Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Μέλη σε σύνδεση