Ανισότητα με εμβαδά τριγώνων

#1

Στις πλευρές BC, CA

και

τριγώνου

θεωρούμε τα σημεία D, E

και

αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με S, S_A, S_B, S_C

και

τα εμβαδά των τριγώνων ABC, AEF, BDF, CDE

και

αντίστοιχα.

(i) Να αποδείξετε ότι $SS_0^2 \geq 4S_AS_BS_C$ .
(ii) Πότε ισχύει το ίσον στην παραπάνω ανισότητα;

Ιστοσελίδα · #2

(i) Είναι $SS_0^2\geq 4S_AS_BS_C \Leftrightarrow \dfrac{S_A\cdot S_B\cdot S_C}{S\cdot S_0^2}\leq \dfrac{1}{4}.$

Έστω $\dfrac{BD}{DC}=x \; , \; \dfrac{CE}{EA}=y \; , \; \dfrac{AF}{FB}=z.$

Τότε $BD=\dfrac{ax}{x+1} \; ,\; DC=\dfrac{a}{x+1} \; ,\; CE=\dfrac{by}{y+1} \; ,$ $AE=\dfrac{b}{y+1} \; ,\; AF=\dfrac{cz}{z+1} \; ,\; BF=\dfrac{c}{z+1}.$

Τα τρίγωνα AFE

και

έχουν κοινή γωνία την $\hat{A},$ άρα
$\dfrac{S_A}{S}=\dfrac{AF\cdot AE}{AB\cdot AC}=\dfrac{z}{(z+1)(y+1)}.$

Όμοια $\dfrac{S_B}{S}=\dfrac{x}{(x+1)(z+1)}$ και $\dfrac{S_C}{S}=\dfrac{y}{(y+1)(x+1)}$

$\dfrac{S_0}{S}=\dfrac{S-S_A-S_B-S_C}{S}=1-\dfrac{S_A}{S}-\dfrac{S_B}{S}-\dfrac{S_C}{S}=\dfrac{xyz+1}{(x+1)(y+1)(z+1)}.$

Είναι $\dfrac{S_A\cdot S_B\cdot S_C}{S\cdot S_0^2}=\dfrac{S_A}{S}\cdot\dfrac{S_B}{S}\cdot\dfrac{S_C}{S}\cdot\left (\dfrac{S}{S_0}\right )^2=\dfrac{xyz}{(xyz+1)^2}$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{xyz}{(xyz+1)^2}\leq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow (xyz+1)^2\geq 4xyz \Leftrightarrow (xyz-1)^2\geq 0$ που ισχύει.

(ii) Η ισότητα ισχύει όταν xyz=1

, δηλαδή όταν $\dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB}= 1.$

Από θεώρημα Ceva αυτό συμβαίνει όταν οι AD , BE , CF

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

#3

Θέτουμε $\displaystyle{BD=x,DC=k,CE=y,EA=l,AF=z,FB=m,}$ οπότε προφανώς ισχύει

$\displaystyle{x+k=a,y+l=b,z+m=c}$ . (1)

Επειδή ισχύει $\displaystyle{S_{0}=S-S_{a}-S_{b}-S_{c},}$

η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται

$\displaystyle{S(S-S_{a}-S_{b}-S_{c})^2\geq 4S_{a}S_{b}S_{c}}$

ή διαφορετικά

$\displaystyle{\left(1-\frac{S_{a}}{S}-\frac{S_{b}}{S}-\frac{S_{c}}{S} \right)^2\geq 4\frac{S_{a}}{S}\frac{S_{b}}{S}\frac{S_{c}}{S}}$ .

Ισχύει όμως $\displaystyle{\frac{S_{a}}{S}=\frac{zl}{bc},\frac{S_{b}}{S}=\frac{mx}{ca},\frac{S_{c}}{S}=\frac{yk}{ab},}$

οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\left(1-\frac{zl}{bc}-\frac{mx}{ca}-\frac{yk}{ab} \right)^2\geq 4 \frac{klmxyz}{(abc)^2},}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{(abc-azl-bmx-cky)^2\geq 4klmxyz}$ . (2)

Η (2) γράφεται μετά την αντικατάσταση των $\displaystyle{a,b,c}$ από τις σχέσεις (1) (και μετά τις πράξεις)

$\displaystyle{(xyz-klm)^2\geq 0}$ , η οποία προφανώς ισχύει.

Μάλιστα, η ισότητα ισχύει αν-ν $\displaystyle{xyz=klm}$ , οπότε, λόγω του αντίστροφου του θεωρήματος του Ceva αν-ν οι σεβιανές $\displaystyle{AD,BE,CF}$ συντρέχουν.

#4

Πολύ ωραία! Ας συνεχίσουμε τώρα:

Να αποδείξετε, με τους αρχικούς συμβολισμούς, ότι αν $S_A \leq S_B \leq S_C$ , τότε:

$\displaystyle S_0 \geq \frac{\sqrt{S_A^2 + 8S_AS_B} - S_A}{2}$ .

Συμπεράνετε ότι $S_0 \geq S_A = \min\{S_A, S_B, S_C\}$ (I.M.O. 1966, Θέμα 6).

Ανισότητα με εμβαδά τριγώνων

Ανισότητα με εμβαδά τριγώνων

Re: Ανισότητα με εμβαδά τριγώνων

Re: Ανισότητα με εμβαδά τριγώνων

Re: Ανισότητα με εμβαδά τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση