Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

#41

vittasko έγραψε:Στάθη καλωσόρισες στο και καλή συνέχεια.

Γνωστό το όμορφο αυτό πρόβλημα, αλλά δεν γνωρίζω την προέλευσή του. Μου θύμισε την πρώτη μας συνάντηση με τους τρεις Νίκους ( Δεργιαδές, Ιωσηφίδης, Κυριαζής ) και Ανδρέα Πούλο στο Πανόραμα Θεσσαλονίκης πριν κάμποσα χρόνια ( 2005 ).

Ο Νίκος Δεργιαδές είχε φέρει τον φορητό υπολογιστή του ( ελληνιστί, Laptop ) και μας έδειξε ότι το πρόβλημα αυτό αληθεύει και όταν το σημείο αντικατασταθεί από ένα τυχόν επίσης ισόπλευρο τρίγωνο έστω $\triangle AA{'}A{'}{'}.$

Δεν βάζω προς το παρόν τη λύση που έχω υπόψη μου για το πρόβλημα που έχει τεθεί, για να το προσπαθήσουν όσοι δεν το έχουν ξαναδεί.

Για τη γενική περίπτωση, όπως στο παρακάτω σχήμα, δεν κατάφερα να βρω κάποια λύση.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ένα ενδιαφέρον επίσης αποτέλεσμα ( σχετικό με το πρόβλημα που έχει τεθεί, αλλά δεν αληθεύει στη γενίκευση ), είναι ότι οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του εξαγώνου που ορίζεται από τις κορυφές των ισόπλευρων τριγώνων εκτός της τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Το ίδιο αποτέλεσμα ( της σύγκλισης των ευθειών αυτών ) ισχύει και όταν τα τρίγωνα με κοινή κορυφή το είναι όμοια ισοσκελή αντί ισόπλευρα και οφείλεται στον δικό μας Νίκο Κυριαζή, ως προς την ελληνική ( τουλάχιστον ) βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου.

Την πιο κάτω λύση αφιερώνω με πολύ αγάπη σε όλη τη γεωμετρική ομάδα που μας χάρισε μια τόσο όμορφη και ενδιαφέρουσα συζήτηση

Κώστα Βήτα , Γιώργο Ευκλείδη, Στρατή Αντωνέα , Γιώργο Μπαλόγλου , Ανδρέα Βαρβεράκη , Μπάμπη Στεργίου (ευχαριστώ στο τετράγωνο), Γιώργο Ρίζο, Στραγάλη Χρήστο, και φυσικά τον ακούραστο ΝΙΚΟ ΚΥΡΙΑΖΗ για τις όμορφες προτάσεις του

Θεωρούμε το συμμετρικά Η’ και Η’’ του Η ως προς τα μέσα Κ, Μ των ΕΔ και ΘΓ αντίστοιχα

Προφανώς από κατασκευής τα τετράπλευρα ΕΗ’ΔΗ , ΗΓΗ’’Θ είναι παραλληλόγραμμα και ισχύει: $\displaystyle{ \Lambda {\rm M}\mathop = \limits^{//} \frac{{{\rm Z}{\rm H}''}} {2}:\ }$ (αφού το τμήμα ΛΜ συνδέει τα μέσα των πλευρών ΗΖ και ΗΗ’’ του τριγώνου $\displaystyle{ {\rm H}\mathop {\rm Z}\limits^\Delta {\rm H}'' }$ και ομοίως $\displaystyle{ {\rm K}\Lambda \mathop = \limits^{//} \frac{{{\rm Z}{\rm H}'}} {2}:\ }$ (αφού το τμήμα ΚΛ συνδέει τα μέσα των πλευρών ΗΖ και ΗΗ’ του τριγώνου $\displaystyle{ {\rm H}\mathop {\rm Z}\limits^\Delta {\rm H}' }$

Από τις σχέσεις (1) και (2) είναι φανερό ότι για να δείξω ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο αρκεί να δείξω ότι το τρίγωνο ΖΗ’Η’’ είναι ισόπλευρο.

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} {\rm O}\mathop {\rm B}\limits^\Delta \Gamma \hfill \\ \Delta \mathop {\rm A}\limits^\Delta {\rm B} \hfill \\ \end{gathered} \right\}\left\{ \begin{gathered} {\rm O}{\rm B}\mathop = \limits^{{\rm O}\mathop {\rm A}\limits^\Delta {\rm B}} {\rm A}{\rm B} \hfill \\ \widehat{{\rm O}{\rm B}\Gamma } = \widehat{{\rm A}{\rm B}\Delta } = 60^0 + \widehat{{\rm O}{\rm B}\Delta } \hfill \\ {\rm B}\Delta \mathop = \limits^{{\rm B}\mathop \Delta \limits^\Delta \Gamma } {\rm B}\Gamma \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } {\rm O}\mathop {\rm B}\limits^\Delta \Gamma = \Delta \mathop {\rm A}\limits^\Delta {\rm B} \Rightarrow {\rm O}\Gamma = {\rm A}\Delta :\left( 1 \right) }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} {\rm O}\mathop \Gamma \limits^\Delta {\rm H}'' \hfill \\ {\rm H}\mathop {\rm A}\limits^\Delta \Delta \hfill \\ \end{gathered} \right\}\left\{ \begin{gathered} {\rm O}\Gamma \mathop = \limits^{\left( 1 \right)} {\rm A}\Delta \hfill \\ \Gamma {\rm H}''\mathop { = //}\limits^{\left( {{\rm H}\Gamma {\rm H}''\Theta \left( \right)} \right)} {\rm H}\Theta \mathop = \limits^{{\rm H}\mathop \Theta \limits^\Delta {\rm A}\left( {\iota \sigma o\pi \lambda } \right)} {\rm H}{\rm A} \hfill \\ \end{gathered} \right. }$ και επειδή οι γωνίες που σχηματίζουν οι ίσες πλευρές μεταξύ τους αντίστοιχα είναι ίσες $\displaystyle{ 60^0 }$ αυτό σημαίνει ότι και οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές γωνίες θα είναι ίσες μεταξύ τους (περιστροφή και μεταφορά όπως αναφέρει και ο μεγάλος Βαρβεράκης) .

Έτσι θα είναι

$\displaystyle{ {\rm O}\mathop \Gamma \limits^\Delta {\rm H}'' = {\rm H}\mathop {\rm A}\limits^\Delta \Delta \Rightarrow {\rm O}{\rm H}'' = {\rm H}\Delta \mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{\rm H}\Delta {\rm H}'\Theta \left( \right)} \right)} {\rm O}{\rm H}'' = \Theta {\rm H}':\left( 2 \right) }$ και μάλιστα η γωνία τομής των τρίτων πλευρών τους θα είναι και αυτή $\displaystyle{ 60^0 }$ δηλαδή αν

$\displaystyle{ {\rm T} = {\rm O}{\rm H}'' \cap \Delta {\rm H} \Rightarrow \widehat{{\rm O}{\rm T}{\rm H}} = 60^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\Sigma = {\rm E}{\rm H}' \cap {\rm O}{\rm H}',\;{\rm E}{\rm H}'//\Delta {\rm H}} }$ $\displaystyle{ \widehat{{\rm O}\Sigma {\rm E}} = 60^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{{\rm O}{\rm Z}{\rm E}} = 60^0 } \widehat{{\rm O}\Sigma {\rm E}} = \widehat{{\rm O}{\rm Z}{\rm E}} \Rightarrow {\rm Z}\Sigma {\rm O}{\rm E}\;(\varepsilon \gamma \gamma \rho ) \Rightarrow \widehat{{\rm Z}{\rm O}\Sigma } = \widehat{{\rm Z}{\rm E}\Sigma } = \hat \phi }$
$\displaystyle{ \Rightarrow \widehat{{\rm Z}{\rm O}{\rm H}''} = \widehat{{\rm Z}{\rm E}{\rm H}'} = \hat \theta = 180^0 - \hat \phi :\left( 3 \right) }$

Τέλος συγκρίνουμε τα τρίγωνα

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} {\rm Z}\mathop {\rm E}\limits^\Delta {\rm H}' \hfill \\ {\rm Z}\mathop {\rm O}\limits^\Delta {\rm H}'' \hfill \\ \end{gathered} \right\}\left\{ \begin{gathered} {\rm E}{\rm Z}\mathop = \limits^{{\rm Z}\mathop {\rm O}\limits^\Delta {\rm E}(\iota \sigma \pi \lambda )} {\rm O}{\rm Z} \hfill \\ \widehat{{\rm Z}{\rm E}{\rm H}'}\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \widehat{{\rm Z}{\rm O}{\rm H}''} \hfill \\ {\rm E}{\rm H}'\mathop = \limits^{\Theta {\rm H}'\Delta {\rm H}()} {\rm H}\Delta \mathop = \limits^{\left( 2 \right)} {\rm O}{\rm H}'' \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } {\rm Z}\mathop {\rm E}\limits^\Delta {\rm H}' = {\rm Z}\mathop {\rm O}\limits^\Delta {\rm H}'' \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} {\rm Z}{\rm H}' = {\rm Z}{\rm H}'' \hfill \\ \widehat{{\rm E}{\rm Z}{\rm H}'} = \widehat{{\rm O}{\rm Z}{\rm H}'} = \hat \omega \Rightarrow \widehat{{\rm H}''{\rm Z}{\rm H}'} = \widehat{{\rm O}{\rm Z}{\rm E}} = 60^0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\rm H}'\mathop {\rm Z}\limits^\Delta {\rm H}''\;(\iota \sigma \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o) }$

$\displaystyle{ \Rightarrow {\rm K}\mathop \Lambda \limits^\Delta {\rm M}\;(\iota \sigma \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o) }$

Σας ευχαριστώ όλους ακόμα μία φορά

Φιλικά και Γεωμετρικά

Στάθης Κούτρας

#42

Παρέμβαση 13.
Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
οι Προτάσεις που έδωσα με την Παρέμβασή μου 1 (Πρόταση 1) και με το συνημμένο μου 86 (Παρέμβασή μου 4), ή τα παραπάνω συνημμένα του φίλου Γιώργου Ρίζου [Προτάσεις μου 5θ(115), 7ι(109), 7ι(110), 7ι(111)], έχουν πολλές και ωραίες εφαρμογές τις οποίες έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Μία κομψή όσο και σημαντική εφαρμογή, είναι και η Πρόταση 4 που δίνω παρακάτω, με την οποία επεκτείνω το γνωστό Θεώρημα Tucker (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή, § 403), με την οποία προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Έτσι, θα διαπιστώσουμε αν εμπεδώσαμε όσα είπαμε εδώ!!!

Πρόταση 4 (Επέκταση του Θεωρήματος Tucker).
8ι(154). Αν (T, R), είναι κύκλος Tucker τριγώνου Α'Β'Γ', ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.

Δηλαδή, αν Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' είναι τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, ζητείται να δειχθεί ότι είναι:
ΗΛ∩ΘΜ∩ΝΙ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Ο≡Τ.

Σχόλια.
(α). Μια ακόμη κομψή αλλά και σημαντική Πρόταση έχουμε στην ειδική περίπτωση που τα τμήματα ΑΖ, ΒΓ, ΔΕ, στην παραπάνω Πρότασή μου 4 [8ι(154)], είναι ίσα με την ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου Tucker.
Στην περίπτωση αυτή, τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα και οι διάμεσες καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.
Πως κατασκευάζεται όμως ένας τέτοιος ειδικός κύκλος Tucker; Την απάντηση μας δίνουν οι Προτάσεις 8ι(157), 8ι(158), 8ι(159) (τόμος 8), του παραπάνω βιβλίου μου.
(β), Επειδή, ως γνωστό, οι κύκλοι Lemoine τριγώνου είναι ειδικές περιπτώσεις κύκλου Tucker, θα αληθεύουν επεκτάσεις ανάλογες με εκείνες της παραπάνω Πρότασής μου 4.
(γ). Εργασία, με τις δύο παραπάνω Προτάσεις (εφαρμογές) και όχι μόνο, έχω στείλει στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση, με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#43

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Παρέμβαση 13.
Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
οι Προτάσεις που έδωσα με την Παρέμβασή μου 1 (Πρόταση 1) και με το συνημμένο μου 86 (Παρέμβασή μου 4), ή τα παραπάνω συνημμένα του φίλου Γιώργου Ρίζου [Προτάσεις μου 5θ(115), 7ι(109), 7ι(110), 7ι(111)], έχουν πολλές και ωραίες εφαρμογές τις οποίες έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Μία κομψή όσο και σημαντική εφαρμογή, είναι και η Πρόταση 4 που δίνω παρακάτω, με την οποία επεκτείνω το γνωστό Θεώρημα Tucker (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή, § 403), με την οποία προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Έτσι, θα διαπιστώσουμε αν εμπεδώσαμε όσα είπαμε εδώ!!!

Πρόταση 4 (Επέκταση του Θεωρήματος Tucker).
8ι(154). Αν (T, R), είναι κύκλος Tucker τριγώνου Α'Β'Γ', ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.

Δηλαδή, αν Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' είναι τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, ζητείται να δειχθεί ότι είναι:
ΗΛ∩ΘΜ∩ΝΙ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Ο≡Τ.

Σχόλια.
(α). Μια ακόμη κομψή αλλά και σημαντική Πρόταση έχουμε στην ειδική περίπτωση που τα τμήματα ΑΖ, ΒΓ, ΔΕ, στην παραπάνω Πρότασή μου 4 [8ι(154)], είναι ίσα με την ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου Tucker.
Στην περίπτωση αυτή, τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα και οι διάμεσες καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.
Πως κατασκευάζεται όμως ένας τέτοιος ειδικός κύκλος Tucker; Την απάντηση μας δίνουν οι Προτάσεις 8ι(157), 8ι(158), 8ι(159) (τόμος 8), του παραπάνω βιβλίου μου.
(β), Επειδή, ως γνωστό, οι κύκλοι Lemoine τριγώνου είναι ειδικές περιπτώσεις κύκλου Tucker, θα αληθεύουν επεκτάσεις ανάλογες με εκείνες της παραπάνω Πρότασής μου 4.
(γ). Εργασία, με τις δύο παραπάνω Προτάσεις (εφαρμογές) και όχι μόνο, έχω στείλει στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση, με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Ακούραστε φίλε μου Νίκο

Ασύλληπτες οι προτάσεις σου, μεγαλείο οι προεκτάσεις σου.
Θέλω να σου ομολογήσω δημόσια στα 52 μου χρόνια ότι η συγκίνηση που παίρνω για το μεγαλείο της γεωμετρίας από σένα μου είναι πρωτόγνωρη

Φανταστική η νέα σου πρόταση, φανταστικά και τα σχήματα που δημιουργούνται, η ομορφιά της «συμμετρίας» σε όλο της το μεγαλείο.

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στη νέα σου πρόκληση (και σου ομολογώ ότι έχω χάσει και τον ύπνο μου)

Έχω τη λύση της πανέμορφης πρότασή σου 4 (Επέκταση του θεωρήματος Tucker). Μάλιστα μου ενέπνευσε και μια πρόταση που προτείνω εδώ για λύση (δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί στο mathematica γιατί είμαι νεοσσός στο υπέροχο αυτό τόπο συνάντησης)
Θα ήθελα να χαρακτηρίσω την πρότασή μου αυτή ως «Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner» (κατά το ένα ερώτημά της).

Και να πω και την πίκρα μου.
Στην αρχή της συζήτησής μας υπέροχοι μαθηματικοί συνάδελφοι ενδιαφέρθηκαν και μου έδωσα πραγματικά τα φώτα τους και τώρα τελευταία αισθάνομαι ότι έμεινα εσύ και εγώ σε αυτή τη συζήτηση.

Θα επιθυμούσα (αν θέλουν φυσικά) να επανέλθουν στην συζήτηση μας γιατί νομίζω ότι είναι φοβεροί γεωμέτρες και θα με βοηθήσουν πολύ
Δεν θα βάλω τη λύση της νέας σου πρότασης τώρα για να ασχοληθούν με αυτό το μεγαλείο και άλλοι συνάδελφοι.

Θα μου επιτρέψεις να βάλω τη δική μου πρόταση η οποία και θα «φωτογραφίσει» τον τρόπο λύσης (τον δικό μου) της πρότασή σου

Πρόταση («Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner)

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο Σχήμα (1) ) και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα ΓΚΑ, ΑΛΒ, ΒΜΓ (ΚΓ=ΚΑ, ΛΑ=ΛΒ, ΛΒ=ΛΓ) προς

το «εξωτερικό μέρος του τριγώνου ΑΒΓ) . Να δειχθούν οι εξής προτάσεις:

i) Αν $\displaystyle{ Az \bot {\rm K}\Lambda ,\;{\rm B}\chi \bot \Lambda {\rm M},\;\Gamma \psi \bot {\rm M}{\rm K} }$ τότε διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ

ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο Σ

iii) Οι ευθείες ΑΜ, ΒΚ, ΓΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο Τ

iv) Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ τότε τα σημεία Ρ, Τ, Ο είναι συνευθειακά.

Παρατηρήσεις:
α) τα ίδια ισχύουν και στην περίπτωση που τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα κατασκευάζονται (και τα τρία) προς το «εσωτερικό» του τριγώνου ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (2) το οποίο δεν μπορούσα να αποφύγω τον πειρασμό να κατασκευάσω.

β) υπάρχουν και άλλα ερωτήματα (αλλά θα μείνω εδώ ) γιατί αν τα δώσω και αυτά μάλλον θα δώσω και τη λύση της πρότασή σου.

#44

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Παρέμβαση 13.
Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
οι Προτάσεις που έδωσα με την Παρέμβασή μου 1 (Πρόταση 1) και με το συνημμένο μου 86 (Παρέμβασή μου 4), ή τα παραπάνω συνημμένα του φίλου Γιώργου Ρίζου [Προτάσεις μου 5θ(115), 7ι(109), 7ι(110), 7ι(111)], έχουν πολλές και ωραίες εφαρμογές τις οποίες έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Μία κομψή όσο και σημαντική εφαρμογή, είναι και η Πρόταση 4 που δίνω παρακάτω, με την οποία επεκτείνω το γνωστό Θεώρημα Tucker (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή, § 403), με την οποία προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Έτσι, θα διαπιστώσουμε αν εμπεδώσαμε όσα είπαμε εδώ!!!

Πρόταση 4 (Επέκταση του Θεωρήματος Tucker).
8ι(154). Αν (T, R), είναι κύκλος Tucker τριγώνου Α'Β'Γ', ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.

Δηλαδή, αν Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' είναι τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, ζητείται να δειχθεί ότι είναι:
ΗΛ∩ΘΜ∩ΝΙ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Ο≡Τ.

Σχόλια.
(α). Μια ακόμη κομψή αλλά και σημαντική Πρόταση έχουμε στην ειδική περίπτωση που τα τμήματα ΑΖ, ΒΓ, ΔΕ, στην παραπάνω Πρότασή μου 4 [8ι(154)], είναι ίσα με την ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου Tucker.
Στην περίπτωση αυτή, τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα και οι διάμεσες καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.
Πως κατασκευάζεται όμως ένας τέτοιος ειδικός κύκλος Tucker; Την απάντηση μας δίνουν οι Προτάσεις 8ι(157), 8ι(158), 8ι(159) (τόμος 8), του παραπάνω βιβλίου μου.
(β), Επειδή, ως γνωστό, οι κύκλοι Lemoine τριγώνου είναι ειδικές περιπτώσεις κύκλου Tucker, θα αληθεύουν επεκτάσεις ανάλογες με εκείνες της παραπάνω Πρότασής μου 4.
(γ). Εργασία, με τις δύο παραπάνω Προτάσεις (εφαρμογές) και όχι μόνο, έχω στείλει στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση, με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Ακούραστε φίλε μου Νίκο

Ασύλληπτες οι προτάσεις σου, μεγαλείο οι προεκτάσεις σου.
Θέλω να σου ομολογήσω δημόσια στα 52 μου χρόνια ότι η συγκίνηση που παίρνω για το μεγαλείο της γεωμετρίας από σένα μου είναι πρωτόγνωρη

Φανταστική η νέα σου πρόταση, φανταστικά και τα σχήματα που δημιουργούνται, η ομορφιά της «συμμετρίας» σε όλο της το μεγαλείο.

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στη νέα σου πρόκληση (και σου ομολογώ ότι έχω χάσει και τον ύπνο μου)

Έχω τη λύση της πανέμορφης πρότασή σου 4 (Επέκταση του θεωρήματος Tucker). Μάλιστα μου ενέπνευσε και μια πρόταση που προτείνω εδώ για λύση (δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί στο mathematica γιατί είμαι νεοσσός στο υπέροχο αυτό τόπο συνάντησης)
Θα ήθελα να χαρακτηρίσω την πρότασή μου αυτή ως «Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner» (κατά το ένα ερώτημά της).

Και να πω και την πίκρα μου.
Στην αρχή της συζήτησής μας υπέροχοι μαθηματικοί συνάδελφοι ενδιαφέρθηκαν και μου έδωσα πραγματικά τα φώτα τους και τώρα τελευταία αισθάνομαι ότι έμεινα εσύ και εγώ σε αυτή τη συζήτηση.

Θα επιθυμούσα (αν θέλουν φυσικά) να επανέλθουν στην συζήτηση μας γιατί νομίζω ότι είναι φοβεροί γεωμέτρες και θα με βοηθήσουν πολύ
Δεν θα βάλω τη λύση της νέας σου πρότασης τώρα για να ασχοληθούν με αυτό το μεγαλείο και άλλοι συνάδελφοι.

Θα μου επιτρέψεις να βάλω τη δική μου πρόταση η οποία και θα «φωτογραφίσει» τον τρόπο λύσης (τον δικό μου) της πρότασή σου

Πρόταση («Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner)

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο Σχήμα (1) ) και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα ΓΚΑ, ΑΛΒ, ΒΜΓ (ΚΓ=ΚΑ, ΛΑ=ΛΒ, ΛΒ=ΛΓ) προς

το «εξωτερικό μέρος του τριγώνου ΑΒΓ) . Να δειχθούν οι εξής προτάσεις:

i) Αν $\displaystyle{ Az \bot {\rm K}\Lambda ,\;{\rm B}\chi \bot \Lambda {\rm M},\;\Gamma \psi \bot {\rm M}{\rm K} }$ τότε διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ

ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο Σ

iii) Οι ευθείες ΑΜ, ΒΚ, ΓΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο Τ

iv) Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ τότε τα σημεία Ρ, Τ, Ο είναι συνευθειακά.

Παρατηρήσεις:
α) τα ίδια ισχύουν και στην περίπτωση που τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα κατασκευάζονται (και τα τρία) προς το «εσωτερικό» του τριγώνου ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (2) το οποίο δεν μπορούσα να αποφύγω τον πειρασμό να κατασκευάσω.

β) υπάρχουν και άλλα ερωτήματα (αλλά θα μείνω εδώ ) γιατί αν τα δώσω και αυτά μάλλον θα δώσω και τη λύση της πρότασή σου.

Μπαίνω στον πειρασμό να δώσω το σχήμα (όπως ακριβώς (με τα ίδια γράμματα)) περιγράφει ο ακούραστος φίλος Νίκος Κυριαζής στην

πρότασή του 4 (Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.) και ας μου επιτρέψει να προσθέσω και μια ακόμη πρόταση προς

απόδειξη εκτός από αυτές που έχει θέσει ο ίδιος

Πρόταση: Στο σχήμα μου (όπως ακριβώς το περιγράφει ο φίλος Νίκος) να δειχθεί ότι αν $\displaystyle{ {\rm O}_1 }$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου Α'Β'Γ' τότε οι ευθείες ΚΚ' και $\displaystyle{ {\rm T}{\rm O}_1 }$ (με Τ το κέντρο του κύκλου του Tucker) διέρχονται από το σημείο S (σημείο Lemoine) του τριγώνου Α'Β'Γ'
(Ας σημειωθεί ότι το σημείο Lemoine είναι το σημείο από το οποίο διέρχονται οι συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου (δηλαδή οι συμμετρικές των διαμέσων του τριγώνου προς τις ομόλογες προς αυτές εσωτερικές διχοτόμους του)

Νίκο σ' ευχαριστώ για τη συγκίνηση

Φιλικά και Γεωμετρικά

Στάθης Κούτρας

#45

Στάθη, από όταν σε γνώρισα (πριν 20 και πάνω χρόνια), θυμάμαι την μεγάλη αγάπη που είχες για την Γεωμετρία. Τώρα διαπιστώνω ότι το μεράκι που είχες έχει πολλαπλασιαστεί. Εγώ ομολογώ ότι "χάνομαι" μέσα στα τόσο πολύπλοκα αλλά υπέροχα σχήματα. Σου εύχομαι καλή συνέχεια και με πολλές νέες γεωμετρικές ανακαλύψεις. Ευτυχώς που υπάρχουν άτομα σαν εσένα, τον Νίκο Κυριαζή και αρκετούς ακόμα, που δεν αφήνουν να θαφτεί η Γεωμετρία, πράγμα που επιχειρείται τα τελευταία χρόνια.

Φιλικά και γεωμετρικά(όπως λες και εσύ)

Ιωάννου Δημήτρης

#46

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Παρέμβαση 13.
Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
οι Προτάσεις που έδωσα με την Παρέμβασή μου 1 (Πρόταση 1) και με το συνημμένο μου 86 (Παρέμβασή μου 4), ή τα παραπάνω συνημμένα του φίλου Γιώργου Ρίζου [Προτάσεις μου 5θ(115), 7ι(109), 7ι(110), 7ι(111)], έχουν πολλές και ωραίες εφαρμογές τις οποίες έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Μία κομψή όσο και σημαντική εφαρμογή, είναι και η Πρόταση 4 που δίνω παρακάτω, με την οποία επεκτείνω το γνωστό Θεώρημα Tucker (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή, § 403), με την οποία προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Έτσι, θα διαπιστώσουμε αν εμπεδώσαμε όσα είπαμε εδώ!!!

Πρόταση 4 (Επέκταση του Θεωρήματος Tucker).
8ι(154). Αν (T, R), είναι κύκλος Tucker τριγώνου Α'Β'Γ', ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.

Δηλαδή, αν Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' είναι τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, ζητείται να δειχθεί ότι είναι:
ΗΛ∩ΘΜ∩ΝΙ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Ο≡Τ.

Σχόλια.
(α). Μια ακόμη κομψή αλλά και σημαντική Πρόταση έχουμε στην ειδική περίπτωση που τα τμήματα ΑΖ, ΒΓ, ΔΕ, στην παραπάνω Πρότασή μου 4 [8ι(154)], είναι ίσα με την ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου Tucker.
Στην περίπτωση αυτή, τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα και οι διάμεσες καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.
Πως κατασκευάζεται όμως ένας τέτοιος ειδικός κύκλος Tucker; Την απάντηση μας δίνουν οι Προτάσεις 8ι(157), 8ι(158), 8ι(159) (τόμος 8), του παραπάνω βιβλίου μου.
(β), Επειδή, ως γνωστό, οι κύκλοι Lemoine τριγώνου είναι ειδικές περιπτώσεις κύκλου Tucker, θα αληθεύουν επεκτάσεις ανάλογες με εκείνες της παραπάνω Πρότασής μου 4.
(γ). Εργασία, με τις δύο παραπάνω Προτάσεις (εφαρμογές) και όχι μόνο, έχω στείλει στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση, με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Ακούραστε φίλε μου Νίκο

Ασύλληπτες οι προτάσεις σου, μεγαλείο οι προεκτάσεις σου.
Θέλω να σου ομολογήσω δημόσια στα 52 μου χρόνια ότι η συγκίνηση που παίρνω για το μεγαλείο της γεωμετρίας από σένα μου είναι πρωτόγνωρη

Φανταστική η νέα σου πρόταση, φανταστικά και τα σχήματα που δημιουργούνται, η ομορφιά της «συμμετρίας» σε όλο της το μεγαλείο.

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στη νέα σου πρόκληση (και σου ομολογώ ότι έχω χάσει και τον ύπνο μου)

Έχω τη λύση της πανέμορφης πρότασή σου 4 (Επέκταση του θεωρήματος Tucker). Μάλιστα μου ενέπνευσε και μια πρόταση που προτείνω εδώ για λύση (δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί στο mathematica γιατί είμαι νεοσσός στο υπέροχο αυτό τόπο συνάντησης)
Θα ήθελα να χαρακτηρίσω την πρότασή μου αυτή ως «Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner» (κατά το ένα ερώτημά της).

Και να πω και την πίκρα μου.
Στην αρχή της συζήτησής μας υπέροχοι μαθηματικοί συνάδελφοι ενδιαφέρθηκαν και μου έδωσα πραγματικά τα φώτα τους και τώρα τελευταία αισθάνομαι ότι έμεινα εσύ και εγώ σε αυτή τη συζήτηση.

Θα επιθυμούσα (αν θέλουν φυσικά) να επανέλθουν στην συζήτηση μας γιατί νομίζω ότι είναι φοβεροί γεωμέτρες και θα με βοηθήσουν πολύ
Δεν θα βάλω τη λύση της νέας σου πρότασης τώρα για να ασχοληθούν με αυτό το μεγαλείο και άλλοι συνάδελφοι.

Θα μου επιτρέψεις να βάλω τη δική μου πρόταση η οποία και θα «φωτογραφίσει» τον τρόπο λύσης (τον δικό μου) της πρότασή σου

Πρόταση («Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner)

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο Σχήμα (1) ) και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα ΓΚΑ, ΑΛΒ, ΒΜΓ (ΚΓ=ΚΑ, ΛΑ=ΛΒ, ΛΒ=ΛΓ) προς

το «εξωτερικό μέρος του τριγώνου ΑΒΓ) . Να δειχθούν οι εξής προτάσεις:

i) Αν $\displaystyle{ Az \bot {\rm K}\Lambda ,\;{\rm B}\chi \bot \Lambda {\rm M},\;\Gamma \psi \bot {\rm M}{\rm K} }$ τότε διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ

ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο Σ

iii) Οι ευθείες ΑΜ, ΒΚ, ΓΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο Τ

iv) Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ τότε τα σημεία Ρ, Τ, Ο είναι συνευθειακά.

Παρατηρήσεις:
α) τα ίδια ισχύουν και στην περίπτωση που τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα κατασκευάζονται (και τα τρία) προς το «εσωτερικό» του τριγώνου ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (2) το οποίο δεν μπορούσα να αποφύγω τον πειρασμό να κατασκευάσω.

β) υπάρχουν και άλλα ερωτήματα (αλλά θα μείνω εδώ ) γιατί αν τα δώσω και αυτά μάλλον θα δώσω και τη λύση της πρότασή σου.

Μπαίνω στον πειρασμό να δώσω το σχήμα (όπως ακριβώς (με τα ίδια γράμματα)) περιγράφει ο ακούραστος φίλος Νίκος Κυριαζής στην

πρότασή του 4 (Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.) και ας μου επιτρέψει να προσθέσω και μια ακόμη πρόταση προς

απόδειξη εκτός από αυτές που έχει θέσει ο ίδιος

Πρόταση: Στο σχήμα μου (όπως ακριβώς το περιγράφει ο φίλος Νίκος) να δειχθεί ότι αν $\displaystyle{ {\rm O}_1 }$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου Α'Β'Γ' τότε οι ευθείες ΚΚ' και $\displaystyle{ {\rm T}{\rm O}_1 }$ (με Τ το κέντρο του κύκλου του Tucker) διέρχονται από το σημείο S (σημείο Lemoine) του τριγώνου Α'Β'Γ'
(Ας σημειωθεί ότι το σημείο Lemoine είναι το σημείο από το οποίο διέρχονται οι συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου (δηλαδή οι συμμετρικές των διαμέσων του τριγώνου προς τις ομόλογες προς αυτές εσωτερικές διχοτόμους του)

Νίκο σ' ευχαριστώ για τη συγκίνηση

Φιλικά και Γεωμετρικά

Στάθης Κούτρας

Παρέμβαση 14.

Φίλε και συμπάσχοντα Στάθη,
Σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια και την άριστη συνεργασία μας.
Κάθε ημέρα που περνάει διαπιστώνω τις μεγάλες δυνατότητες που έχεις, όχι μόνο στην απόδειξη Γεωμετρικών Προτάσεων, αλλά και στο ερευνητικό τομέα, ο οποίος ενδιαφέρει και εμένα και με τον οποίο ασχολούμαι κυρίως, ενώ παράλληλα προσπαθώ να ωθήσω και άλλους φίλους να ασχοληθούν με αυτόν, γιατί πιστεύω ότι με την έρευνα έχουμε πρόοδο στη Γεωμετρία.
Όσο για την πικρία της μοναξιάς, που μου λες, την έχω νοιώσει και εγώ έντονα, κυρίως σε άλλες εργασίες μου, όπου έχω μείνει τελείως μόνος. Εδώ έχω παρέα εσένα. Δεν πειράζει όμως με ικανοποιεί ότι όλοι παρακολουθούν τις προσπάθειές μου και τώρα τις προσπάθειές μας και μας αμείβουν με τον μεγάλο αριθμό των επισκέψεών τους, όπως και με προσωπικά μηνύματά τους. Έτσι, πχ τα Κριτήρια του «Χρυσού Ορθογώνιου Τριγώνου» τα έχουν επισκεφθεί κοντά στους πέντε χιλιάδες (5000) επισκέπτες, αν και το θέμα αυτό έχει μετακινηθεί.
Και τώρα για το παραπάνω πρώτο θέμα (Πρόταση) που έθεσες (Γενίκευση του Θεωρήματος Steiner έχω να ειπώ τα εξής (σχήμα το δικό σου):
(α). Ότι οι Αz, Bx, Γψ, συντρέχουν σε σημείο Ρ, τούτο έχω δημοσιεύσει με εργασία μου στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΏΝΙΟΣ (τεύχος 5, σελίδες 69 και 70), ενώ με την Πρότασή μου 9ι(159) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»,
αποδεικνύω ότι το παραπάνω σημείο Ρ συμπίπτει με το σημείο του Μ. Ναπολέοντα, την οποία με εργασία μου έχω στείλει στο παραπάνω περιοδικό για δημοσίευση με την από 15-4-2004 επιστολή μου και την οποία την ίδια ημέρα έχω κοινοποιήσει και στους φίλους Κ. Βήττα και Ανδ. Πούλο.
(β). Ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΚΛΜ έχουν τα ίδιο βαρύκεντρο Σ, είναι απλή εφαρμογή Θεωρήματος του Πάππου (Γεωμετρία Γιωργιακάκη Θεώρημα 117 και Ιησουίτες σελίδα 541) και γι’ αυτό δεν πρέπει να το έχω συμπεριλάβει στο παραπάνω βιβλίο μου.
(γ). Ότι οι ΑΜ, ΒΚ, ΓΛ, συντρέχουν σε σημείο Τ, είναι σωστό και αποτελεί την Πρότασή μου 2ζ(18) (τόμος 3)του παραπάνω βιβλίου μου.
(δ). Ότι τα σημεία Ρ, Τ, Ο, είναι συνευθειακά, είναι άμεση συνέπεια Θεωρήματος το οποίο έχω δημοσιεύσει στο παραπάνω περιοδικό (τεύχος 2, σελίδα 91) στο οποίο αποδεικνύω για πρώτη φορά πιστεύω, ότι «τα σημεία Steiner, του Μ. Ναπολέοντα και το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, είναι συνευθειακά», σε συνδυασμό με την παραπάνω [παράγραφος (α)] Πρότασή μου 9ι(159).
Μετά τα παραπάνω σχετικές αποδείξεις μου με τα παραπάνω δε θα αναρτήσω. Θα αφήσω ελεύθερο το πεδίο να ασχοληθούν και να δώσουν τις αποδείξεις τους οι ενδιαφερόμενοι φίλοι μας.
Για το δεύτερο Θέμα Πρόταση) που θέτεις, δεν μου δόθηκε ευκαιρία να το δω. Θα τοποθετηθώ και σ’ αυτό, όταν μου δοθεί ο χρόνος να το μελετήσω.

Με Γεωμετρικούς χαιρετισμούς,
Νίκος Κυριαζής.

KARKAR · #47

Αγαπητοί φίλοι Νίκο και Στάθη .

Ειναι άξια θαυμασμού και σεβασμού η αγάπη σας και οι προσπάθειές σας για τη "Σκληρή Γεωμετρία " ,

κυρίως δε για τα επιτεύγματά σας σ΄αυτόν τον πανέμορφο , αλλά μάλλον παραμελημένο κλάδο των Μαθηματικών .

Επιτρέψτε μου , όμως μια μικρή παρατήρηση : Για να φθάνει το "μήνυμα" σε όσο γίνεται περισσότερους ,

ας καταβληθεί μια προσπάθεια λειτουργικότερης παρουσίασης , με πρώτο βήμα την μη υπερφόρτωση μιας μόνο ανάρτησης ,

με τόσο πολύ (και νομίζω διασπάσιμο) υλικό ...

Με εκτίμηση .

#48

KARKAR έγραψε:Αγαπητοί φίλοι Νίκο και Στάθη .

Ειναι άξια θαυμασμού και σεβασμού η αγάπη σας και οι προσπάθειές σας για τη "Σκληρή Γεωμετρία " ,

κυρίως δε για τα επιτεύγματά σας σ΄αυτόν τον πανέμορφο , αλλά μάλλον παραμελημένο κλάδο των Μαθηματικών .

Επιτρέψτε μου , όμως μια μικρή παρατήρηση : Για να φθάνει το "μήνυμα" σε όσο γίνεται περισσότερους ,

ας καταβληθεί μια προσπάθεια λειτουργικότερης παρουσίασης , με πρώτο βήμα την μη υπερφόρτωση μιας μόνο ανάρτησης ,

με τόσο πολύ (και νομίζω διασπάσιμο) υλικό ...

Με εκτίμηση .

Παρέμβαση 15.

Φίλε KARKAR,
ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια και την συμπαράστασή σου.
Η πρότασή σου είναι πολύ σωστή, πιστεύω όμως στην πράξη δύσκολα να εφαρμοστεί εδώ, καθώς εδώ τα θέματα που τίθενται είναι συναφή. Δηλαδή, το κάθε επόμενο θέμα αποτελεί συνέχεια, ενός από τα προηγούμενα.
Έτσι, αν ένα από τα θέματά μας αναρτηθεί όχι εδώ, αλλά σε άλλη θέση, θα πρέπει να παραπέμπουμε πολύ συχνά από εκεί εδώ, οπότε η συζήτηση γίνεται δυσκολότερη.

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

#49

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Παρέμβαση 13.
Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.

Αγαπητοί φίλοι,
οι Προτάσεις που έδωσα με την Παρέμβασή μου 1 (Πρόταση 1) και με το συνημμένο μου 86 (Παρέμβασή μου 4), ή τα παραπάνω συνημμένα του φίλου Γιώργου Ρίζου [Προτάσεις μου 5θ(115), 7ι(109), 7ι(110), 7ι(111)], έχουν πολλές και ωραίες εφαρμογές τις οποίες έχω καταχωρήσει στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Μία κομψή όσο και σημαντική εφαρμογή, είναι και η Πρόταση 4 που δίνω παρακάτω, με την οποία επεκτείνω το γνωστό Θεώρημα Tucker (Επίπεδος Γεωμετρία Χ. Ταβανλή, § 403), με την οποία προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Έτσι, θα διαπιστώσουμε αν εμπεδώσαμε όσα είπαμε εδώ!!!

Πρόταση 4 (Επέκταση του Θεωρήματος Tucker).
8ι(154). Αν (T, R), είναι κύκλος Tucker τριγώνου Α'Β'Γ', ο οποίος τέμνει τις πλευρές Α'Β', Β'Γ', Γ'Α', στα ζεύγη των σημείων Α-Β, Γ-Δ, Ε-Ζ, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι οι διάμεσες του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.

Δηλαδή, αν Η, Θ, Ι, Λ, Μ, Ν, είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, αντίστοιχα και Η', Ι', Μ' είναι τα μέσα των διαγώνιων ΓΖ, ΒΕ, ΑΔ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΑΒΓΔΕΖ, ζητείται να δειχθεί ότι είναι:
ΗΛ∩ΘΜ∩ΝΙ≡Κ, ΛΗ'∩ΘΜ'∩ΝΙ'≡Κ', ΗΗ'∩ΙΙ'∩ΜΜ'≡Ο≡Τ.

Σχόλια.
(α). Μια ακόμη κομψή αλλά και σημαντική Πρόταση έχουμε στην ειδική περίπτωση που τα τμήματα ΑΖ, ΒΓ, ΔΕ, στην παραπάνω Πρότασή μου 4 [8ι(154)], είναι ίσα με την ακτίνα R του αντίστοιχου κύκλου Tucker.
Στην περίπτωση αυτή, τα τρίγωνα ΗΙΜ, Η'Ι'Μ', είναι ισόπλευρα και οι διάμεσες καθενός από τα τρία εξάγωνα ΑΒΓΔΕΖ, ΑΔΕΒΓΖ, ΑΔΓΖΕΒ, συντρέχουν.
Πως κατασκευάζεται όμως ένας τέτοιος ειδικός κύκλος Tucker; Την απάντηση μας δίνουν οι Προτάσεις 8ι(157), 8ι(158), 8ι(159) (τόμος 8), του παραπάνω βιβλίου μου.
(β), Επειδή, ως γνωστό, οι κύκλοι Lemoine τριγώνου είναι ειδικές περιπτώσεις κύκλου Tucker, θα αληθεύουν επεκτάσεις ανάλογες με εκείνες της παραπάνω Πρότασής μου 4.
(γ). Εργασία, με τις δύο παραπάνω Προτάσεις (εφαρμογές) και όχι μόνο, έχω στείλει στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ για δημοσίευση, με την από 8-12-2004 επιστολή μου, την οποία έχω κοινοποιήσει και στο φίλο Κώστα Βήττα, την ίδια ημέρα.

Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Ακούραστε φίλε μου Νίκο

Ασύλληπτες οι προτάσεις σου, μεγαλείο οι προεκτάσεις σου.
Θέλω να σου ομολογήσω δημόσια στα 52 μου χρόνια ότι η συγκίνηση που παίρνω για το μεγαλείο της γεωμετρίας από σένα μου είναι πρωτόγνωρη

Φανταστική η νέα σου πρόταση, φανταστικά και τα σχήματα που δημιουργούνται, η ομορφιά της «συμμετρίας» σε όλο της το μεγαλείο.

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στη νέα σου πρόκληση (και σου ομολογώ ότι έχω χάσει και τον ύπνο μου)

Έχω τη λύση της πανέμορφης πρότασή σου 4 (Επέκταση του θεωρήματος Tucker). Μάλιστα μου ενέπνευσε και μια πρόταση που προτείνω εδώ για λύση (δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί στο mathematica γιατί είμαι νεοσσός στο υπέροχο αυτό τόπο συνάντησης)
Θα ήθελα να χαρακτηρίσω την πρότασή μου αυτή ως «Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner» (κατά το ένα ερώτημά της).

Και να πω και την πίκρα μου.
Στην αρχή της συζήτησής μας υπέροχοι μαθηματικοί συνάδελφοι ενδιαφέρθηκαν και μου έδωσα πραγματικά τα φώτα τους και τώρα τελευταία αισθάνομαι ότι έμεινα εσύ και εγώ σε αυτή τη συζήτηση.

Θα επιθυμούσα (αν θέλουν φυσικά) να επανέλθουν στην συζήτηση μας γιατί νομίζω ότι είναι φοβεροί γεωμέτρες και θα με βοηθήσουν πολύ
Δεν θα βάλω τη λύση της νέας σου πρότασης τώρα για να ασχοληθούν με αυτό το μεγαλείο και άλλοι συνάδελφοι.

Θα μου επιτρέψεις να βάλω τη δική μου πρόταση η οποία και θα «φωτογραφίσει» τον τρόπο λύσης (τον δικό μου) της πρότασή σου

Πρόταση («Γενίκευση του θεωρήματος του Steiner)

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο Σχήμα (1) ) και τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα ΓΚΑ, ΑΛΒ, ΒΜΓ (ΚΓ=ΚΑ, ΛΑ=ΛΒ, ΛΒ=ΛΓ) προς

το «εξωτερικό μέρος του τριγώνου ΑΒΓ) . Να δειχθούν οι εξής προτάσεις:

i) Αν $\displaystyle{ Az \bot {\rm K}\Lambda ,\;{\rm B}\chi \bot \Lambda {\rm M},\;\Gamma \psi \bot {\rm M}{\rm K} }$ τότε διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ

ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο Σ

iii) Οι ευθείες ΑΜ, ΒΚ, ΓΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο Τ

iv) Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ τότε τα σημεία Ρ, Τ, Ο είναι συνευθειακά.

Παρατηρήσεις:
α) τα ίδια ισχύουν και στην περίπτωση που τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα κατασκευάζονται (και τα τρία) προς το «εσωτερικό» του τριγώνου ΑΒΓ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (2) το οποίο δεν μπορούσα να αποφύγω τον πειρασμό να κατασκευάσω.

β) υπάρχουν και άλλα ερωτήματα (αλλά θα μείνω εδώ ) γιατί αν τα δώσω και αυτά μάλλον θα δώσω και τη λύση της πρότασή σου.

Μπαίνω στον πειρασμό να δώσω το σχήμα (όπως ακριβώς (με τα ίδια γράμματα)) περιγράφει ο ακούραστος φίλος Νίκος Κυριαζής στην

πρότασή του 4 (Πρωτοεμφανιζόμενες ιδιότητες του Θεωρήματος Tucker.) και ας μου επιτρέψει να προσθέσω και μια ακόμη πρόταση προς

απόδειξη εκτός από αυτές που έχει θέσει ο ίδιος

Πρόταση: Στο σχήμα μου (όπως ακριβώς το περιγράφει ο φίλος Νίκος) να δειχθεί ότι αν $\displaystyle{ {\rm O}_1 }$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου Α'Β'Γ' τότε οι ευθείες ΚΚ' και $\displaystyle{ {\rm T}{\rm O}_1 }$ (με Τ το κέντρο του κύκλου του Tucker) διέρχονται από το σημείο S (σημείο Lemoine) του τριγώνου Α'Β'Γ'
(Ας σημειωθεί ότι το σημείο Lemoine είναι το σημείο από το οποίο διέρχονται οι συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου (δηλαδή οι συμμετρικές των διαμέσων του τριγώνου προς τις ομόλογες προς αυτές εσωτερικές διχοτόμους του)

Νίκο σ' ευχαριστώ για τη συγκίνηση

Φιλικά και Γεωμετρικά

Στάθης Κούτρας

Κάτι έχουμε ξεχάσει εδώ!!!

Μάλλον έχει ενδειαφέρον να το ολοκληρώσουμε και να δώσουμε αναλυτικές λύσεις.

Ευχαριστώ

Στάθης

Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση