Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Κυρ Ιούλ 24, 2011 8:19 pm

Έστω δυο παράλληλες ευθείες \varepsilon _{1} και \varepsilon _{2} και σημείο P του επιπέδου. Θεωρούμε μεταβλητή κατά θέση ορθή γωνία \measuredangle xPy και A, B τα σημεία στα οποία οι πλευρές της γωνίας τέμνουν τις \varepsilon _{1} , \varepsilon _{2} αντίστοιχα. Αν το σημείο M είναι η προβολή της κορυφής P της ορθής γωνίας στην AB, ζητείται ο Γ.Τ. του σημείου M .
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).PNG
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).PNG (13.87 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές
Συνημμένα
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).ggb
(77.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 85 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Κυρ Ιούλ 24, 2011 8:30 pm

Ο Γ.Ντάνης "ήθελε" το σημείο P εξωτερικό της ζώνης παραλλήλων ... αλλά από ότι είδα "δουλεύει" σε όλο το επίπεδο.


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
dimitris pap
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris pap » Τρί Ιούλ 26, 2011 9:31 am

Επειδή έχει μείνει άλυτη κάποιες μέρες θα βάλω ένα μικρό hint πριν βάλω τη λύση το βράδυ:

"Αν δεν μπορείς να λύσεις ένα πρόβλημα λύσε το αντίστροφο του" :P
Αν δεν έχω κάνει κανένα λάθος, ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος!


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17088
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιούλ 26, 2011 10:28 am

Φέρω την απόσταση CD των δύο παραλλήλων , που διέρχεται από το P . Τα ACPM , BDPM είναι εγγράψιμα .

Είναι : \phi=\widehat{A} , \theta=\widehat{B} . Αλλά \widehat{A}+\widehat{B}=90^{o} , δηλαδή \phi+\theta = 90^{o} , συνεπώς \widehat{CMD}}=90^{o}

Έτσι ο γ. τόπος του M είναι κύκλος διαμέτρου CD , από τον οποίο εξαιρείται το οριακό σημείο C
Συνημμένα
Ντάνης.png
Ντάνης.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 1176 φορές


Κορυφή
dimitris pap
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris pap » Τρί Ιούλ 26, 2011 11:42 am

Πολύ καλή λύση. Πράγματι, το σχήμα του maths-!! βοηθάει στο να αντιληφθεί κανείς ότι το M βλέπει το P_1P_2 υπό ορθή γωνία (δυστυχώς εγώ δεν είχα δει αυτό το σχήμα :? ).

Η δική μου λύση (σαφώς πιο περίπλοκη) βασίζεται σε μια μεθοδολογία σε τέτοιου είδους προβλήματα, που είναι το να κάνεις κάποιο γεωμετρικό σχηματισμό (εν προκειμένω αντιστροφή με κέντρο το P) και να δεις το γεωμετρικό τόπο του M'.
Eτσι μετά από τέτοιο μετασχηματισμό, οι παράλληλες πάνε σε εφαπτόμενους στο P κύκλους (με κέντρα O_1,O_2) ενώ το M στο αντιδιαμετρικό του P ως προς τον περιγεγραμμένο του A'B'P (με κέντρο O). Τώρα, εύκολα βλέπουμε ότι O_1A//O_2B κι άρα αν Ν το μέσο O_1O_2 το Ο κινείται σε κύκλο με κέντρο το N και ακτίνα \displaystyle\frac{r_1+r_2}{2}. ΄Συνεπώς (από ομοιοθεσία) το M' κινείται σε κύκλο και άρα (από αντιστροφή) το M κινείται σε κύκλο.


Κορυφή
dimitris pap
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ (2).

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris pap » Τετ Ιούλ 27, 2011 3:08 pm

Extra ρώτημα γεωμτρικού τόπου: Αν K το σημείο τομής της PM με τον περιγεγραμμένο του ABP, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του K.

Hint:
To ερώτημα, όπως και άλλα πολλά παρόμοια απαντώνται μέσω της παραπάνω λύσης μου

Extra ερώτημα 2 (εξίσου εύκολο). Γεωμετρικός τόπος του N όπου N σημείο της AB τέτοιο ώστε \angle{ANP}=c (σταθερή γωνία)


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης