mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 28, 2014 2:36 pm**

smarpant έγραψε: Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

S.E.Louridas έγραψε: Αρκεί να αποδείξουμε την αλήθεια της συνεπαγωγής $\left( {a,b,c \in \Delta } \right)\left( {a < c < b} \right) \Rightarrow \left( {f\left( b \right) < f\left( c \right) < f\left( a \right)} \right) \vee \left( {f\left( a \right) < f\left( c \right) < f\left( b \right)} \right).$

Ισχύει ότι, $\left( {f,\;1 - 1} \right)\left( {a < c < b} \right) \Rightarrow$ $\left( {f\left( a \right) \ne f\left( b \right)} \right) \wedge \left( {f\left( a \right) \ne f\left( c \right)} \right) \wedge \left( {f\left( b \right) \ne f\left( c \right)} \right).$

Αυτό καταρχάς μας οδηγεί στις εξής περιπτώσεις:

$f\left( c \right) < f\left( b \right) < f\left( a \right)\,\;\left( i \right),\,f\left( c \right)$ $< f\left( a \right) < f\left( b \right)\,\;\left( {ii} \right),\;f\left( a \right)$ $< f\left( b \right) < f\left( c \right)\,\;\left( {iii} \right),$ $f\left( b \right) < f\left( a \right) < f\left( c \right)\,\;\left( {iv} \right),$

$\;f\left( a \right) < f\left( c \right)< f\left( b \right)\,\;\left( v \right),\,\,f\left( b \right) < f\left( c \right) < f\left( a \right)\,\;\left( {vi} \right).$

Αν ισχύει η περίπτωση $\left( i \right)$ τότε από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών έχουμε την ύπαρξη εσωτερικού σημείου ${x_0}$ του διαστήματος $\left( {a,c} \right)$ με την ιδιότητα $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( b \right) \Rightarrow {x_0} = b,$ καθότι η είναι Αυτό όμως είναι άτοπο καθότι ${x_0} \in \left( {a,c} \right)$ και $b \notin \left( {a,c} \right).$ Κατά τον ίδιο τρόπο αποκλείονται οι περιπτώσεις $(ii),\,\;(iii),\,\;(iv).$ Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι περιπτώσεις $(v),\;(vi)$ δεν ισχύουν ταυτόχρονα. Έτσι ισχύει η ιδιότητα οπότε η συνάρτηση μας θα είναι γνήσια αύξουσα ή η ιδιότητα οπότε η συνάρτηση μας θα είναι γνήσια φθίνουσα.

Απλά και επειδή η διαπραγμάτευση μου πάνω αναφερόταν σε κλειστό διάστημα $\Delta =[a,b]$ (όπου είναι και στο πνεύμα της Γ' Λυκείου), επανέρχομαι για να αναφέρω ότι, αν το διάστημα Δ είναι ανοικτό δηλαδή αντί για Δ έχουμε το διάστημα $Q = \left( {a,b} \right)$ τότε για δύο τυχόντα στοιχεία του διαστήματος αυτού έστω τα ${x_1},{x_2}\;\;\left( {{x_1} < {x_2}} \right),$ ορίζεται ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα $\left[ {c,d} \right] \subset \left( {a,b} \right)$ τέτοιο πού ${x_1},{x_2} \in \left[ {c,d} \right].$ Τότε λαμβάνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη αύξουσα ή φθίνουσα στο $\left[ {c,d} \right]$ επομένως παίρνουμε $\left( {{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ ή $\left( {{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right)} \right)$ αντίστοιχα. Κατά τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για διαστήματα του τύπου $\left[ {a,b} \right)$ ή $\left( {a,b} \right].$

edit: Διορθώθηκαν κάπες λάθος τοποθετήσεις γραμμάτων. Η μέθοδος επίλυσης παραμένει. Συγγνώμην για την πιθανή ταλαιπωρία.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 28, 2014 3:04 pm**

Smar κάποια σημεία πρέπει να τα γράψουμε πιο αναλυτικά για να λάμπει

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 28, 2014 6:20 pm**

smarpant έγραψε:Smar κάποια σημεία πρέπει να τα γράψουμε πιο αναλυτικά για να λάμπει

Μα αν τη γράψουμε πιο αναλυτικά θα χάσουμε τη λάμψη της!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 28, 2014 6:23 pm**

παρατήρηση
H μονοτονία διατηρεί την έννοια του μεταξύ.Αν $\displaystyle{b}$ μεταξύ των $\displaystyle{a,c}$ και $\displaystyle{f }$ μονότονη τότε $\displaystyle{f(b)}$ μεταξύ των $\displaystyle{f(a),f(c)}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 28, 2014 7:32 pm**

smarpant έγραψε:Smar κάποια σημεία πρέπει να τα γράψουμε πιο αναλυτικά για να λάμπει

Είναι σημεία που μπορεί ο καθένας να τα κάνει μόνος του.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 28, 2014 8:33 pm**

Κοιτάζοντας ξανά την απόδειξη που είχα κατά νου όλα αυτά τα χρόνια και χωρίς ποτέ να την έχω κάνει σε μαθητές ,διαπίστωσα ότι η απόδειξη ξεκινάει ως εξής :

'' Έστω ότι η

δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα ούτε γνησίως φθίνουσα. Υπάρχουν τότε $a,b,c\in \Delta$ με a<b<c

και πχ

.

Με τον ήδη γνωστό τρόπο (ΘΕΤ)καταλήγουμε σε άτοπο.''

Η απόδειξη αυτή βρίσκεται στο κλασικό βιβλίο των Nowak-Kaczor που το έχουμε αναφέρει ξανά με άλλη αφορμή. Αλλά και σε ένα κλασικό Ρουμάνικο βιβλίο ανάλυσης , πάλι η απόδειξη γίνεται με αυτόν ακριβώς τον τρόπο(κάθε ''1-1''

και Darboux συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη).

Αυτό είχα στο νου μου και στο μήνυμα που έστειλα στον Παντελή σε μια φιλική επαφή που είχαμε για να ανταλλάξουμε απόψεις για το θέμα(δεν το παραθέτω για εύλογους λόγους).Απλά εκεί όλα ήταν περιγραφικά διατυπωμένα,χωρίς να αποκλείω να είχα γράψει και κάτι περιττό. Στο ίδιο μήκος κύματος πρέπει να είναι και η απόδειξη στο βιβλίο των Νεγρεπόντη κλπ , αλλά δεν θυμάμαι λεπτομέρειες γιατί πέρασαν χρόνια από τότε που για κάποιο λόγο την είχα αναζητήσει(εκεί νομίζω ότι είχα δει διάκριση πολλών περιπτώσεων).

Τώρα , όσον αφορά την υπό συζήτηση απόδειξη του study for exams , νομίζω ότι τα κάποια κενά έχουν εστιαστεί. Ούτε η μονοτονία σε κάποιο υποδιάστημα έχει αποδειχθεί, ούτε το πώς γίνεται η επέκταση της μονοτονίας σε όλο το διάστημα είναι φανερό , αλλά και ούτε εξασφαλίζεται πουθενά ότι σε όλα τα υποδιαστήματα θα ισχύει το ίδιο είδος μονοτονίας.

Δεν βλέπω να χρειάζεται να επιμείνουμε περισσότερο στην απόδειξη αυτή παρά μόνο αν είναι τελικά σωστή και δεν βλέπουμε για την ώρα κάποιο πολύ έξυπνο σημείο που την καθιστά σωστή. Προφανώς το κεντρικό σημείο που είναι η απαγωγή σε άτοπο μέσω του ''1-1''

παραμένει σωστό και αυτό είναι που έχει σημασία. Το υπόλοιπο μέρος δεν κατάφερα ακόμα να το τιθασεύσω για να προκύψει ολοκληρωμένη λύση, αν και το θέλω πολύ.Θα το προσπαθήσω και σε άλλη ευκαιρία.

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 29, 2014 12:44 am**

Μαθηματικά με βεβαιότητες και χωρίς περιπέτεια τι χάρη έχουν Μπάμπη; Τα είχε πει ο θαλής. Δεν υπάρχει Βασιλική οδός προς τα μαθηματικά.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 29, 2014 8:41 am**

S.E.Louridas έγραψε:
smarpant έγραψε: Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

S.E.Louridas έγραψε: Αρκεί να αποδείξουμε την αλήθεια της συνεπαγωγής $\left( {a,b,c \in \Delta } \right)\left( {a < c < b} \right) \Rightarrow \left( {f\left( b \right) < f\left( c \right) < f\left( a \right)} \right) \vee \left( {f\left( a \right) < f\left( c \right) < f\left( b \right)} \right).$

Ισχύει ότι, $\left( {f,\;1 - 1} \right)\left( {a < c < b} \right) \Rightarrow$ $\left( {f\left( a \right) \ne f\left( b \right)} \right) \wedge \left( {f\left( a \right) \ne f\left( c \right)} \right) \wedge \left( {f\left( b \right) \ne f\left( c \right)} \right).$

Αυτό καταρχάς μας οδηγεί στις εξής περιπτώσεις:

$f\left( c \right) < f\left( b \right) < f\left( a \right)\,\;\left( i \right),\,f\left( c \right)$ $< f\left( a \right) < f\left( b \right)\,\;\left( {ii} \right),\;f\left( a \right)$ $< f\left( b \right) < f\left( c \right)\,\;\left( {iii} \right),$ $f\left( b \right) < f\left( a \right) < f\left( c \right)\,\;\left( {iv} \right),$

$\;f\left( a \right) < f\left( c \right)< f\left( b \right)\,\;\left( v \right),\,\,f\left( b \right) < f\left( c \right) < f\left( a \right)\,\;\left( {vi} \right).$

Αν ισχύει η περίπτωση $\left( i \right)$ τότε από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών έχουμε την ύπαρξη εσωτερικού σημείου ${x_0}$ του διαστήματος $\left( {a,c} \right)$ με την ιδιότητα $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( b \right) \Rightarrow {x_0} = b,$ καθότι η είναι Αυτό όμως είναι άτοπο καθότι ${x_0} \in \left( {a,c} \right)$ και $b \notin \left( {a,c} \right).$ Κατά τον ίδιο τρόπο αποκλείονται οι περιπτώσεις $(ii),\,\;(iii),\,\;(iv).$ Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι περιπτώσεις $(v),\;(vi)$ δεν ισχύουν ταυτόχρονα. Έτσι ισχύει η ιδιότητα οπότε η συνάρτηση μας θα είναι γνήσια αύξουσα ή η ιδιότητα οπότε η συνάρτηση μας θα είναι γνήσια φθίνουσα.

Επειδή η διαπραγμάτευση μου πάνω αναφέρεται σε κλειστό διάστημα $\Delta =[a,b]$ (όπου είναι και στο πνεύμα της Γ' Λυκείου), επανέρχομαι για να αναφέρω ότι, αν το διάστημα Δ είναι ανοικτό δηλαδή αντί για Δ έχουμε το διάστημα $Q = \left( {a,b} \right)$ τότε για δύο τυχόντα στοιχεία του διαστήματος αυτού έστω τα ${x_1},{x_2}\;\;\left( {{x_1} < {x_2}} \right),$ ορίζεται ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα $\left[ {c,d} \right] \subset \left( {a,b} \right)$ τέτοιο πού ${x_1},{x_2} \in \left[ {c,d} \right].$ Τότε λαμβάνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη αύξουσα ή φθίνουσα στο $\left[ {c,d} \right]$ επομένως παίρνουμε $\left( {{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ ή $\left( {{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right)} \right)$ αντίστοιχα. Κατά τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για διαστήματα του τύπου $\left[ {a,b} \right)$ ή $\left( {a,b} \right].$

Παρατήρηση: Επειδή μας παρακολουθούν και μαθητές ας εξηγήσουμε την λύση: ΑΡΚΕΙ να αποδείξουμε την αλήθεια της συνεπαγωγής (για τη περίπτωση π.χ. της γνήσια αύξουσας) $a < c < b \Rightarrow f\left( a \right) < f\left( c \right) < f\left( b \right)\;\;\left( 1 \right),$ ...
Όταν λοιπόν η 1-1 και συνεχής συνάρτηση μας είναι η $f:\left[ {a,b} \right] \to {\Cal R},$ με f(a)<f(b)

για την οποία εδώ «θέλουμε» να αποδείξουμε ότι είναι και γνησίως αύξουσα, ΑΡΚΕΙ να αποδείξουμε την αλήθεια της συνεπαγωγής $a < c < b \Rightarrow f\left( a \right) < f\left( c \right) < f\left( b \right)\;\;\left( 1 \right).$ Διότι δίνοντας σημασία στην μέθοδο απόδειξης της (1)

έχουμε ότι για $a < c < d < b \Rightarrow f\left( c \right) < f\left( b \right),$ οπότε ομοίως προς τον τρόπο απόδειξης της (1)

παίρνουμε επίσης $f\left( c \right) < f\left( d \right) < f\left( b \right)\;\;\left( 2 \right).$ Συνεπώς το ΑΡΚΕΙ σαφώς σημαίνει πως ο τρόπος απόδειξης της (1)

είναι εκείνος που εφαρμόζεται επακριβώς (άρα «πάει» απολύτως το «ομοίως») για να πάρουμε και την για τους τυχόντες πλέον c,d

του διαστήματος [a,b].

Αλλά η σχέση (2)

προφανώς μας οδηγεί αυτόματα στην ολοκληρωμένη λύση.

(*) Προφανώς και η "άγρια" ομορφιά των Μαθηματικών βρίσκεται κύρια στην ΟΡΘΗ διαχείριση της πιθανής ΛΑΘΟΣ εικασίας που κάνουμε κατά τη προσπάθεια επί της διαδικασίας επίλυσης ενός Μαθηματικού ζητήματος.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 29, 2014 8:19 pm**

smar έγραψε:Καλησπέρα στην παρέα του
Η απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος για να γίνει πλήρως με την παραπάνω συλλογιστική, θέλει να εξετάσει κανείς πολλές περιπτώσεις.
Μια απόδειξη για την αποφυγή των περιπτώσεων είναι η παρακάτω:
Έστω $a,b\in\Delta$ με και ας υποθέσουμε λόγω του 1-1 ότι
Έστω $c,d\in\Delta$ τυχόντα με Θα δείξουμε ότι
Ορίζουμε τις συναρτήσεις και με $t\in [0,1].$
Παρατηρούμε ότι για κάθε $t\in [0,1]$ έχουμε ότι $h(t),g(t)\in\Delta$ και επιπλέον
Τότε η συνάρτηση είναι συνεχής (σύνθεση και διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται λόγω τους 1-1 της και της σχέσης για κάθε $t\in [0,1].$ Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα
Όμως Οπότε πρέπει και και έχουμε το ζητούμενο.

Πολύ ωραία απόδειξη!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 29, 2014 11:38 pm**

Έστω ότι η

δεν είναι γνήσια μονότονη. Αρα θα υπάρχουν $x, y, z \in \Delta$ με x<y<z

τέτοια ώστε
Ή
f(x)<f(y)

και

Ή

και

αφού είναι 1-1 και δεν ισχύουν οι ισότητες.
Έστω f(x)<f(z)

Τότε

Από ΘΕΤ υπάρχει $c \in (x,y)$ :
f(c)=f(z)

άρα

Άτοπον

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 30, 2014 8:05 pm**

smarpant έγραψε:Έστω ότι η δεν είναι γνήσια μονότονη. Αρα θα υπάρχουν $x, y, z \in \Delta$ με τέτοια ώστε
Ή
και
Ή
και
αφού είναι 1-1 και δεν ισχύουν οι ισότητες.
Έστω
Τότε
Από ΘΕΤ υπάρχει $c \in (x,y)$ :
άρα

Άτοπον

Η απόδειξή δεν είναι καλή.

Κάνοντας την υπόθεση $x, y, z \in \Delta$ με x<y<z

Έχουμε να διατάξουμε τρεις αριθμούς τους f(x), f(y),f(z)

.
Υπάρχουν $3\cdot2\cdot1=6$ δυνατές διατάξεις.
Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη τότε οι διατάξεις f(x)>f(y)>f(z)

και

δεν μπορούν να ισχύουν οπότε μας μένουν τέσσερις.
Η απόδειξη απαντά τι συμβαίνει στη μία από τις τέσσερις περιπτώσεις, δηλαδή στην περίπτωση $\bf{f(x)<f(z)<f(y)}$ .
Οπότε,
για να "σωθεί" η απόδειξη θα πρέπει να αναφέρει τις άλλες τρεις περιπτώσεις και να μας "πει" ότι
με όμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 30, 2014 9:13 pm**

abgd έγραψε:
smarpant έγραψε:Έστω ότι η δεν είναι γνήσια μονότονη. Αρα θα υπάρχουν $x, y, z \in \Delta$ με τέτοια ώστε πχ:

και
Ή
και κλπ.
αφού είναι 1-1 και δεν ισχύουν οι ισότητες.
Έστω
Τότε
Από ΘΕΤ υπάρχει $c \in (x,y)$ :
άρα

Άτοπον

Όμοια αντιμετωπίζονται και οι άλλες περιπτώσεις
Η απόδειξή δεν είναι καλή.

Κάνοντας την υπόθεση $x, y, z \in \Delta$ με
Έχουμε να διατάξουμε τρεις αριθμούς τους .
Υπάρχουν $3\cdot2\cdot1=6$ δυνατές διατάξεις.
Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη τότε οι διατάξεις και δεν μπορούν να ισχύουν οπότε μας μένουν τέσσερις.
Η απόδειξη απαντά τι συμβαίνει στη μία από τις τέσσερις περιπτώσεις, δηλαδή στην περίπτωση $\bf{f(x)<f(z)<f(y)}$ .
Οπότε,
για να "σωθεί" η απόδειξη θα πρέπει να αναφέρει τις άλλες τρεις περιπτώσεις και να μας "πει" ότι
με όμοιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Φαντάζομαι ότι ο Παντελής δίνει ικανοποιητικό περίγραμμα της λύσης και όχι σχολαστική λύση με όλες τις λεπτομέρειες . Επειδή στο σχολείο ποτέ δεν θα καθήσουμε να κάνουμε αναλυτικά όλες τις περιπτώσεις, συμφωνώ να συμπληρωθεί χάριν πληρότηας αυτό που προτείνεις και που το έχω με κόκκινα γράμματα στην παράθεση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 01, 2014 12:02 am**

Θα ήθελα να μου επιτραπεί να συμμαζέψω τις "σκόρπιες" προηγούμενες παρεμβάσεις μου σε μία.

Έστω $f:D \to {\Cal R},$ συνάρτηση συνεχής και (1 - 1)

, όταν

είναι τυχόν διάστημα ενός εκ των τύπων $\left[ {p,q} \right],\;\;\left( {p,q} \right),\,\;\left[ {p,q} \right),\,\;\left( {p,q} \right]$ με p<q

. Θεωρούμε $A = \left[ {a,b} \right],\quad a,b \in D$ και a < b,

τυχόν κλειστό και φραγμένο διάστημα που είναι υποσύνολο του

με την ιδιότητα $f\left( a \right) < f\left( b \right).$ Τότε η $f:\left[ {a,b} \right] \to {\Cal R}$ είναι συνεχής και (1 - 1).

Αν $c \in \left( {a,b} \right)$ ισχύει $f\left( a \right) < f\left( c \right) < f\left( b \right),$ καθότι από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών αν $f\left( c \right) < f\left( a \right) < f\left( b \right)$ ή $f\left( a \right) < f\left( b \right) < f\left( c \right)$ θα είχαμε αντίστοιχα $a \in \left( {c,b} \right)$ ή $b \in \left( {a,c} \right)$ που είναι άτοπα. Έστω τώρα ότι υπάρχει $k \in D,\,\;a < b < k.$ Τότε θα ισχύει $f\left( a \right) < f\left( b \right) < f\left( k \right)$ καθότι αν $f\left( a \right) < f\left( k \right) < f\left( b \right)$ από το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών θα είχαμε το άτοπο $k \in \left( {a,b} \right)$ και αν $f\left( k \right) < f\left( a \right) < f\left( b \right)$ θα είχαμε το άτοπο $a \in \left( {b,k} \right).$ Επίσης με ακριβώς ίδιο τρόπο, αποδεικνύουμε πως αν $k \in D,\,\;k < a < b,$ παίρνουμε $f\left( k \right) < f\left( a \right) < f\left( b \right).$ Όμοια εργαζόμαστε και για την περίπτωση που υπάρχει τυχόν ζεύγος σημείων του $a,b \in D,\;\,a < b$ με την ιδιότητα $f\left( b \right) < f\left( a \right).$ Θεωρώ λοιπόν με βάση τα παραπάνω ότι με την υπόθεση: αν $f:D \to {\Cal R},$ συνάρτηση συνεχής και (1 - 1)

, όταν

είναι τυχόν διάστημα και υπάρχει τυχόν ζεύγος σημείων του $a,b \in D,\;\,a < b$ με την ιδιότητα $f\left( a \right) < f\left( b \right),$ έχουμε άμεσα ότι αν ${x_1},{x_2} \in D,\,\;{x_1} < {x_2}$ παίρνουμε $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ , δηλαδή ότι η

είναι γνησίως αύξουσα και αν έχουμε σαν υπόθεση: αν $f:D \to {\Cal R},$ συνάρτηση συνεχής και (1 - 1)

, όταν

είναι τυχόν διάστημα και υπάρχει τυχόν ζεύγος σημείων του $a,b \in D,\;\,a < b$ με την ιδιότητα $f\left( b \right) < f\left( a \right),$ έχουμε άμεσα ότι αν ${x_1},{x_2} \in D,\,\;{x_1} < {x_2}$ παίρνουμε $f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right)$ δηλαδή ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 01, 2014 9:31 am**

Πράγματι, όπως γράφει και ο Μπάμπης, σκιαγράφησα την απόδειξη. Ας την γράψουμε και αναλυτικά αργότερα.

mathematica.gr

Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη