Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

venpan · #1

βάζω σε συζήτηση την λύση του study4exams η οποία έχει θέματα. Αποδεικνύει ότι η τιμή του k είναι ανάμεσα στις τιμές των $\alpha$ και $\beta$ . Από που λοιπόν προκύπτει ότι η είναι γνήσια αύξουσα;

Αν μία συνάρτηση

είναι συνεχής και 1-1

σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

Έστω $\alpha, \beta \in \Delta$ με $\alpha \neq \beta$ . Αφού η

είναι

ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(\beta)$ . Ας υποθέσουμε ότι $\alpha \prec \beta$ και $f(\alpha) \prec f(\beta)$ . Θα δείξουμε ότι για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ ισχύει $f(\alpha) < f(k) < f(\beta)$ .

Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή. Έστω δηλαδή $f(\alpha) > f(k)$ . Επειδή η

στο διάστημα $[k,\beta]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του f(k)

και του $f(\beta$ . Άρα αφού $f(k) < f(\alpha) < f(\beta)$ , υπάρχει $x_1 \in (\alpha,\beta)$ έτσι ώστε $f(x_1)=f(\alpha)$ που είναι άτοπο διότι η

είναι

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $f(k)>f(\beta)$ . Επειδή η

στο διάστημα $[\alpha,k]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του $f(\alpha)$ και του f(k)

. Άρα αφού $f(\alpha)<f(\beta)<f(k)($ , υπάρχει $x_2 \in (\alpha,k)$ έτσι ώστε $f(x_2)=f(\beta)$ που είναι άτοπο διότι η

είναι

. Επίσης ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(k) \neq f(\beta)$ διότι η

είναι

Άρα ισχύει ότι $f(\alpha)<f(k)<f(\beta)$ για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο τυχαίο $[\alpha,\beta]$ υποσύνολο του $\Delta$ . Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Καλημέρα. Mια πιο απλή απόδειξη υπάρχει εδώ αλλά την έχουμε δει και αλλού στο

.

EDIT : Διέγραψα την απάντηση στο ερώτημά σου, καθώς είχα λάθος στο συλλογισμό...

#3

smarpant έγραψε:.................

Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

Απόδειξη

Έστω $\alpha, \beta \in \Delta$ με $\alpha \neq \beta$ . Αφού η είναι ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(\beta)$ . Ας υποθέσουμε ότι $\alpha \prec \beta$ και $f(\alpha) \prec f(\beta)$ . Θα δείξουμε ότι για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ ισχύει $f(\alpha) < f(k) < f(\beta)$ .

.....................

Δίκαιη είναι η απορία σου. Κανένας ορισμός της μονοτονίας δεν έχει αυτή τη μορφή, ούτε βέβαια και μπορεί να την έχει, γιατί είναι λανθασμένος.Το αν η συνέχεια και το ''1-1''

τον καθιστά τελικά σωστό, είναι άλλο πράγμα και πρέπει να αποδειχθεί .Δεν μπορεί όμως να αποτελεί πρόταση για τη λύση άσκησης ειδικά σε σχολικό επίπεδο.Μονοτονία χωρίς σύγκριση τυχαίων τιμών του διαστήματος [a,b]

σε αυτό το επίπεδο της ύλης (ή με άτοπο κλπ) δεν μπορεί να προκύψει.

Δείτε για παράδειγμα τη συνάρτηση :

$\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2,x = -1\,\,\,\,\,\,\,}\\ {\,\,\,{x^2}, - 1 < x < 1}\\ {2\,\,\,,\,x = 1\,\,\,} \end{array}} \right.}$

που έχει την ιδιότητα $f(-1)<f(x)<f(1),\forall x\in (-1,1)$ αλλά δεν είναι μονότονη. Αρκεί ένα πρόχειρο διάγραμμα, αλλά και το γεγονός ότι στο αντίστοιχο ανοικτό διάστημα η συνάρτηση είναι άρτια είναι αρκετό για να χαλάσει τη μονοτονία.
Πάντως από μόνο του το ''1-1''

ή η συνέχεια δεν αρκούν να κάνουν την πρόταση-λήμμα έγκυρη. Χρειάζονται και τα δύο, αλλά η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού διαισθάνομαι ότι έχει την ίδια ισχύ (δυσκολία) με την πρόταση που θέλουμε να αποδείξουμε.

Δεν μπορώ αυτή τη στιγμή από το Σχολείο να δω που βρίσκεται η άσκηση, αλλά σαφώς υπάχει πρόβλημα για την απόδειξη που επιλέχθηκε(δεν την αποκαλώ λάθος από μαθηματική σκοπιά, αλλά άστοχη).Θα το κουβεντιάσω και με τους συναδέλφους μήπως δεν βλέπω κάτι.

Μπάμπης

venpan · #4

Η απόδειξη αυτή με εντυπωσίασε γιατί δημιουργεί το αίσθημα ότι πρέπει να εξετάσουμε τι συμβαίνει στο εσωτερικό του $\left( \alpha ,\beta \right)$ , γι αυτό και την ανέβασα για συζήτηση. Αλλά η τυχαία επιλογή των $\alpha ,\kappa ,\beta$ αποδεικνύει ότι είναι γνήσια μονότονη στο $[\alpha,\beta]$ .

Βενάρδος Παντελής

#5

Να όμως που και γω το πρωί στο σχολείο νόμισα ότι πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το [a,b]

γιατί διάβασα μόνο τον προβληματισμό σου και το:

'' αρκεί να αποδείξουμε ότι ....''

παραβλέποντας τα εισαγωγικά σχόλια και ότι άλλο είναι το πεδίο ορισμού.Τώρα αλλάζει κάπως το ζήτημα.

Ωστόσο , η διατύπωση της λύσης έχει κάποια κενά.Όσο την κοιτάζω, τόσο μου δημιουργούνται ερωτηματικά. Δεν καταλαβαίνω τι στην ουσία αποδείχτηκε !

Το μόνο που βλέπω είναι ότι η λύση που παρατίθεται στο πρώτο μήνυμα βασίζεται εν μέρει στο επόμενο ''λήμμα'' που δεν το έχω ξαναδεί :

ΛΗΜΜΑ

'' Έστω μια συνάρτηση

ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ .Αν για κάθε $\alpha ,\beta \in \Delta$ με $\alpha <\beta$ και $f(\alpha )<f(\beta )$ είναι $f(\alpha )<f(\kappa )<f(\beta )$

για κάθε $\kappa \in (\alpha ,\beta )$ , τότε η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta$ '' .

Λέω '' εν μέρει '' διότι πάλι έχουμε πρόβλημα.Τι θα συμβεί πχ αν για κάποιο άλλο ζεύγος $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ με $\alpha < \beta$ είναι $\displaystyle{f(\alpha ) > f(\beta )}$ ; Θα πούμε τότε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό και άρα γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{\Delta }$ ;

Πρέπει το θέμα να το μελετήσουμε από την αρχή και με προσοχή, ώστε να δώσουμε οριστική απάντηση, τουλάχιστον στην κοινότητα του mathematica.
Αν η απόδειξη που δόθηκε έχει κενά, πρέπει να τα συμπληρώσουμε. Αν πάλι μπλέκει πολύ και θέλει πολλές προσθήκες για να σταθεί αυτοδύναμα, τότε να βάλουμε μια άλλη.

Θα το προσπαθήσω άλλη στιγμή. Ίσως να περίμενα απόδειξη με άτοπο (τη γνωστή) και αυτό με κάνει ίσως πιο επιφυλλακτικό από όσο πρέπει.

Μπ.

#6

smarpant έγραψε:βάζω σε συζήτηση την λύση του study4exams η οποία έχει θέματα. Αποδεικνύει ότι η τιμή του k είναι ανάμεσα στις τιμές των $\alpha$ και $\beta$ . Από που λοιπόν προκύπτει ότι η είναι γνήσια αύξουσα;

Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

Έστω $\alpha, \beta \in \Delta$ με $\alpha \neq \beta$ . Αφού η είναι ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(\beta)$ . Ας υποθέσουμε ότι $\alpha \prec \beta$ και $f(\alpha) \prec f(\beta)$ . Θα δείξουμε ότι για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ ισχύει $f(\alpha) < f(k) < f(\beta)$ .

Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή. Έστω δηλαδή $f(\alpha) > f(k)$ . Επειδή η στο διάστημα $[k,\beta]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του και του $f(\beta$ . Άρα αφού $f(k) < f(\alpha) < f(\beta)$ , υπάρχει $x_1 \in (\alpha,\beta)$ έτσι ώστε $f(x_1)=f(\alpha)$ που είναι άτοπο διότι η είναι

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $f(k)>f(\beta)$ . Επειδή η στο διάστημα $[\alpha,k]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του $f(\alpha)$ και του . Άρα αφού $f(\alpha)<f(\beta)<f(k)($ , υπάρχει $x_2 \in (\alpha,k)$ έτσι ώστε $f(x_2)=f(\beta)$ που είναι άτοπο διότι η είναι . Επίσης ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(k) \neq f(\beta)$ διότι η είναι

Άρα ισχύει ότι $f(\alpha)<f(k)<f(\beta)$ για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο τυχαίο $[\alpha,\beta]$ υποσύνολο του $\Delta$ . Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta$ .

Γεια σας
Απ΄ότι έχω δει ο παραπάνω συλλογισμός είναι αρκετά διαδεδομένος και έχει γραφεί και σε βοηθήματα. Κατά την γνώμη μου δεν είναι πλήρης και χρειάζεται κάποιες συμπληρώσεις που δε μπορούν να γίνουν εύκολα από τον αναγνώστη μαθητή στον οποίο μπορεί να δημιουργηθούν εύλογα ερωτήματα. Λ.χ. γιατί να μην υπάρχουν εκτός του $\left[ \alpha ,\beta \right]$ κάποια $\gamma <\delta$ ώστε $f\left( \gamma \right) >f\left( \delta \right)$ ;
Μαυρογιάννης

abgd · #7

smarpant έγραψε:Η απόδειξη αυτή με εντυπωσίασε γιατί δημιουργεί το αίσθημα ότι πρέπει να εξετάσουμε τι συμβαίνει στο εσωτερικό του $\left( \alpha ,\beta \right)$ , γι αυτό και την ανέβασα για συζήτηση. Αλλά η τυχαία επιλογή των $\alpha ,\kappa ,\beta$ αποδεικνύει ότι είναι γνήσια μονότονη στο $\Delta$ .

Αν υποθέσουμε ότι για δύο τυχαία $a, \beta, \ \ a<\beta$ γνωρίζουμε την διάταξη των $f(a), f(\beta)$ τότε έχουμε υποθέσει την μονοτονία της συνάρτησης οπότε τι θέλουμε να αποδείξουμε;

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι για κάποιο ζευγάρι αριθμών $a, \beta, \ \ a<\beta$ τη διάταξη των $f(a), f(\beta)$ αλλά, κατόπιν, θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε άλλο ζευγάρι αριθμών $x_1, x_2, \ \ x_1<x_2$ η διάταξη των τιμών f(x_1), f(x_2)

είναι η ίδια με την διάταξη των $f(a), f(\beta)$ . Η παραπάνω απόδειξη δεν κάνει κάτι τέτοιο. Είναι μια τουλάχιστον ελλιπής απόδειξη.

#8

Στο περιβόητο και ανύπαρκτο αυτό ''λήμμα'' μου ξέφυγε μια προφανής αντίφαση στη διατύπωση και ευχαριστώ το συνάδελφο abgd που μου το επεσήμανε στο μήνυμά του . Αυτά παθαίνει κανείς όταν τον διακόπτουν συνέχεια, αλλά θέλει να είναι και ....πανταχού παρόν !Τέλος πάντως , ζητώ συγνώμη και το ξαναγράφω όπως το είχα στο νου μου :

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:.......................

ΛΗΜΜΑ

'' Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ .Αν για κάθε $\alpha ,\beta \in \Delta$ με $\alpha <\beta$ και $f(\alpha )<f(\beta )$ ισχύει ότι

$f(\alpha )<f(\kappa )<f(\beta )$ για κάθε $\kappa \in (\alpha ,\beta )$ , τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $[\alpha ,\beta ]$ και τελικά γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta$ '' .

Όπως δείχνει το αντιπαράδειγμα στο πρώτο μου μήνυμα, αυτό γενικά δεν ισχύει.Διαπίστωσα ότι δεν ισχύει ούτε για συνεχή συνάρτηση ούτε για ''1-1''

συνάρτηση. Τι συμβαίνει αν ισχύουν και τα δύο, δεν φαίνεται να είναι προφανές.

Αν δεν ασχοληθεί άλλος συνάδελφος με την ''απόδειξη'' της αρχικής πρότασης , θα βρω λίγο χρόνο και θα ασχοληθώ άλλη στιγμή σχολαστικά . Έχω την αίσθηση ότι έχει σοβαρά κενά, ίσως να έχει και λάθος συλλογισμό ή λάθος διατυπώσεις . Αλλά στα μαθηματικά για κάθε μας ισχυρισμό υπάρχει αυτό που λέμε '' Απόδειξη ''.

Μπάμπης

venpan · #9

Γιώργο Απόκη στην απόδειξη που παρά θέτεις πως προκύπτει το γνήσια αύξουσα; Νομίζω ότι στο κλειστό,η απόδειξη έιναι οκ. Στο $\Delta$ γενικά έχει θέματα

Αρχιμήδης 6 · #10

smarpant έγραψε:βάζω σε συζήτηση την λύση του study4exams η οποία έχει θέματα. Αποδεικνύει ότι η τιμή του k είναι ανάμεσα στις τιμές των $\alpha$ και $\beta$ . Από που λοιπόν προκύπτει ότι η είναι γνήσια αύξουσα;

Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

Έστω $\alpha, \beta \in \Delta$ με $\alpha \neq \beta$ . Αφού η είναι ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(\beta)$ . Ας υποθέσουμε ότι $\alpha \prec \beta$ και $f(\alpha) \prec f(\beta)$ . Θα δείξουμε ότι για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ ισχύει $f(\alpha) < f(k) < f(\beta)$ .

Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή. Έστω δηλαδή $f(\alpha) > f(k)$ . Επειδή η στο διάστημα $[k,\beta]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του και του $f(\beta$ . Άρα αφού $f(k) < f(\alpha) < f(\beta)$ , υπάρχει $x_1 \in (\alpha,\beta)$ έτσι ώστε $f(x_1)=f(\alpha)$ που είναι άτοπο διότι η είναι

Στην τελευταία σειρά θέλω να σου κάνω μια ερώτηση.

Καταλήγεις στο συμπέρασμα ότι υπάρχει x_1

στο διάστημα (a,b)

άρα λες

και προκύπτει αντίφαση γιατί είναι 1-1 . Είναι 1-1 στο (a,b)

η στο

?

#11

Καλησπέρα στην παρέα του

Η απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος για να γίνει πλήρως με την παραπάνω συλλογιστική, θέλει να εξετάσει κανείς πολλές περιπτώσεις.
Μια απόδειξη για την αποφυγή των περιπτώσεων είναι η παρακάτω:
Έστω $a,b\in\Delta$ με a<b

και ας υποθέσουμε λόγω του 1-1 ότι f(a)<f(b).

Έστω $c,d\in\Delta$ τυχόντα με c<d.

Θα δείξουμε ότι f(c)<f(d).

Ορίζουμε τις συναρτήσεις h(t)=(1-t)a+tc

και

με $t\in [0,1].$
Παρατηρούμε ότι για κάθε $t\in [0,1]$ έχουμε ότι $h(t),g(t)\in\Delta$ και επιπλέον h(t)<g(t).

Τότε η συνάρτηση F(t)=f(h(t))-f(g(t))

είναι συνεχής (σύνθεση και διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται λόγω τους 1-1 της

και της σχέσης h(t)<g(t)

για κάθε $t\in [0,1].$ Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα [0,1].

Όμως

Οπότε πρέπει και F(1)=f(c)-f(d)<0

και έχουμε το ζητούμενο.

venpan · #12

Η απόδειξη του Μπάμπη που περιμένω να αναρτήσει, είναι η πλέον ξεκάθαρη. Νομίζω ότι αν εξαιρέσεις την κακή διατύπωση του study4exams είναι ίδια με του Μπάμπη. Καλό είναι Μπάμπη να την αναρτήσεις για να συγκρΊνουν όλοι. Δηλαδή στην ουσία της η απόδειξη είναι σωστή αλλά κακό γραμμένη.

Βενάρδος Παντελής

#13

smarpant έγραψε:Η απόδειξη του Μπάμπη που περιμένω να αναρτήσει, είναι η πλέον ξεκάθαρη. Νομίζω ότι αν εξαιρέσεις την κακή διατύπωση του study4exams είναι ίδια με του Μπάμπη. Καλό είναι Μπάμπη να την αναρτήσεις για να συγκρΊνουν όλοι. Δηλαδή στην ουσία της η απόδειξη είναι σωστή αλλά κακό γραμμένη.

Βενάρδος Παντελής

Παντελή και λοιποί εξαίρετοι φίλοι, καλημέρα !

Φεύγουμε σε λίγα λεπτά με τη Β' Λυκείου για εκδρομή στο Ευγενίδειο Ιδρυμα και θα δεν θα μπορέσω να είμαι στην παρέα σας μέχρι το βράδυ. Θα σκεφτώ τη λύση στο δρόμο και ελπίζω να κάνω επαναδιατύπωση της δοσμένης απόδειξης για να τη φέρουμε στα ίσια της.Μακάρι δηλαδή να σώζεται για να μην πάει ο κόπος του συνάδελφου που την έκανε χαμένος.

Το ξαναλέω : σκοπός και χαρά μας είναι να βελτιώνουμε κάθε προσπάθεια και όχι να την βγάλουμε λάθος.

Να έχετε όλοι μια ευχάριστη μέρα !

Μπάμπης

abgd · #14

smar έγραψε: Μια απόδειξη για την αποφυγή των περιπτώσεων είναι η παρακάτω:
Έστω $a,b\in\Delta$ με και ας υποθέσουμε λόγω του 1-1 ότι
Έστω $c,d\in\Delta$ τυχόντα με Θα δείξουμε ότι
Ορίζουμε τις συναρτήσεις και με $t\in [0,1].$
Παρατηρούμε ότι για κάθε $t\in [0,1]$ έχουμε ότι $h(t),g(t)\in\Delta$ και επιπλέον
Τότε η συνάρτηση είναι συνεχής (σύνθεση και διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται λόγω τους 1-1 της και της σχέσης για κάθε $t\in [0,1].$ Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα
Όμως Οπότε πρέπει και και έχουμε το ζητούμενο.

Εξαιρετική απόδειξη!

S.E.Louridas · #15

Επειδή οι συζητήσεις αυτές μόνο θετικά αποτελέσματα φέρνουν θεωρώ ότι μία διαπραγμάτευση θα ήταν και η εξής:

Αρκεί να αποδείξουμε την αλήθεια της συνεπαγωγής $\left( {a,b,c \in \Delta } \right)\left( {a < c < b} \right) \Rightarrow \left( {f\left( b \right) < f\left( c \right) < f\left( a \right)} \right) \vee \left( {f\left( a \right) < f\left( c \right) < f\left( b \right)} \right).$

Ισχύει ότι, $\left( {f,\;1 - 1} \right)\left( {a < c < b} \right) \Rightarrow$ $\left( {f\left( a \right) \ne f\left( b \right)} \right) \wedge \left( {f\left( a \right) \ne f\left( c \right)} \right) \wedge \left( {f\left( b \right) \ne f\left( c \right)} \right).$

Αυτό καταρχάς μας οδηγεί στις εξής περιπτώσεις:

$f\left( c \right) < f\left( b \right) < f\left( a \right)\,\;\left( i \right),\,f\left( c \right)$ $< f\left( a \right) < f\left( b \right)\,\;\left( {ii} \right),\;f\left( a \right)$ $< f\left( b \right) < f\left( c \right)\,\;\left( {iii} \right),$ $f\left( b \right) < f\left( a \right) < f\left( c \right)\,\;\left( {iv} \right),$

$\;f\left( a \right) < f\left( c \right)< f\left( b \right)\,\;\left( v \right),\,\,f\left( b \right) < f\left( c \right) < f\left( a \right)\,\;\left( {vi} \right).$

Αν ισχύει η περίπτωση $\left( i \right)$ τότε από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών έχουμε την ύπαρξη εσωτερικού σημείου ${x_0}$ του διαστήματος $\left( {a,c} \right)$ με την ιδιότητα $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( b \right) \Rightarrow {x_0} = b,$ καθότι η

είναι

Αυτό όμως είναι άτοπο καθότι ${x_0} \in \left( {a,c} \right)$ και $b \notin \left( {a,c} \right).$ Κατά τον ίδιο τρόπο αποκλείονται οι περιπτώσεις $(ii),\,\;(iii),\,\;(iv).$ Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι περιπτώσεις $(v),\;(vi)$ δεν ισχύουν ταυτόχρονα. Έτσι ισχύει η ιδιότητα (v)

οπότε η συνάρτηση μας θα είναι γνήσια αύξουσα ή η ιδιότητα (vi)

οπότε η συνάρτηση μας θα είναι γνήσια φθίνουσα. Αυτά όταν $\Delta =[a,b].$

venpan · #16

Μπάμπη δυστυχώς και αυτή που συζητήσαμε είναι λάθος. Αν για $\alpha < \beta < \gamma$ το να αποκλειστούν όλες οι άλλες περιπτώσεις εκτός από την $f(\alpha) < f(\beta) < f(\gamma)$ και την $f(\alpha) > f(\beta) > f(\gamma)$ και υπόθεση ότι έστω δεν είναι γνήσια μονότονη δεν έχουμε φτάσει σε άτοπο. Σε κλειστο διάστημα είναι οκ η απόδειξη. κ. Lourida ακριβώς αυτή την απόδειξη εννοούσα προβληματική και με βασανίζει ο ερώτημα. Αποδείχθηκε για όλες τις τριάδες ότι θα ισχύει ή το ένα ή το άλλο; Μάλλον όχι. Μένει να ελέγξουμε την απόδειξη του ημι-συνώνυμου smar. Με προβληματίζει που στην βιβλιογραφία, με την ως τώρα έρευνα μου, η πρόταση υπάρχει μόνο για κλειστό διάστημα.

Στέλιος Μαρίνης · #17

smarpant έγραψε:βάζω σε συζήτηση την λύση του study4exams η οποία έχει θέματα. Αποδεικνύει ότι η τιμή του k είναι ανάμεσα στις τιμές των $\alpha$ και $\beta$ . Από που λοιπόν προκύπτει ότι η είναι γνήσια αύξουσα;

Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα $\Delta$ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

Έστω $\alpha, \beta \in \Delta$ με $\alpha \neq \beta$ . Αφού η είναι ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(\beta)$ . Ας υποθέσουμε ότι $\alpha \prec \beta$ και $f(\alpha) \prec f(\beta)$ . Θα δείξουμε ότι για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ ισχύει $f(\alpha) < f(k) < f(\beta)$ .

Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή. Έστω δηλαδή $f(\alpha) > f(k)$ . Επειδή η στο διάστημα $[k,\beta]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του και του $f(\beta$ . Άρα αφού $f(k) < f(\alpha) < f(\beta)$ , υπάρχει $x_1 \in (\alpha,\beta)$ έτσι ώστε $f(x_1)=f(\alpha)$ που είναι άτοπο διότι η είναι

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $f(k)>f(\beta)$ . Επειδή η στο διάστημα $[\alpha,k]$ είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του $f(\alpha)$ και του . Άρα αφού $f(\alpha)<f(\beta)<f(k)($ , υπάρχει $x_2 \in (\alpha,k)$ έτσι ώστε $f(x_2)=f(\beta)$ που είναι άτοπο διότι η είναι . Επίσης ισχύει ότι $f(\alpha) \neq f(k) \neq f(\beta)$ διότι η είναι

Άρα ισχύει ότι $f(\alpha)<f(k)<f(\beta)$ για κάθε $k \in (\alpha,\beta)$ δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο τυχαίο $[\alpha,\beta]$ υποσύνολο του $\Delta$ . Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta$ .

Σας χαιρετώ. Νομίζω ότι το λάθος γίνεται στην υπόθεση ότι αρκεί να ισχύει $\displaystyle{\forall a,b,c \in \Delta ,a < c < b \Rightarrow (f(a) <f(c)< f(b)) \vee (f(a) >f(c)> f(b))}$ για να είναι η συνάρτηση γνήσια μονότονη.
Αυτό δεν ισχύει επειδή δεν ισοδυναμεί με το $\displaystyle{\forall a,b,c \in \Delta ,(a < c < b \Rightarrow (f(a)<f(c) < f(b)) \vee (a < c < b \Rightarrow (f(a)>f(c) > f(b))}$

Γιώργος Απόκης · #18

smarpant έγραψε:Γιώργο Απόκη στην απόδειξη που παρά θέτεις πως προκύπτει το γνήσια αύξουσα; Νομίζω ότι στο κλειστό,η απόδειξη έιναι οκ. Στο $\Delta$ γενικά έχει θέματα

Έχεις δίκιο.

venpan · #19

Την απόδειξη του abgd την βρίσκω σωστή ( και αν πράγματι ισχύει πολλή όμορφη) και ελπίζω να ελεγχθεί από πολλούς συναδέρφους. Ενα χρήσιμο ερώτημα είναι αν και οι δυό είναι από την βιβλιογραφία και να παρατεθούν υποσημειώσεις.

#20

Την απόδειξη που παρέθεσα παραπάνω την είχαμε κάνει στο πρώτο έτος στο πανεπιστήμιο. Αν θυμάμαι καλά την είχα διαβάσει και στο βιβλίο του Carothers. Και το $\Delta$ είναι τυχόν διάστημα. Οι συναρτήσεις h,g

είναι οι παραμετρικοποιήσεις των ευθυγράμμων τμημάτων από το

στο

και από το

στο

Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Re: Συνεχής και 1-1 άρα γνήσια μονότονη

Μέλη σε σύνδεση