mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am**

8) Έστω $S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ όπου $f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , f_n(x) = x^n

.
Δείξτε ότι το

είναι κλειστό και φραγμένο στον $C([0,1],\mathbb{R})$ όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον $C([0,1],\mathbb{R})$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am**

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am 8) Έστω $S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ όπου $f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , .
Δείξτε ότι το είναι κλειστό και φραγμένο στον $C([0,1],\mathbb{R})$ όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον $C([0,1],\mathbb{R})$ .

α) Το φραγμένο τετριμμένο αφού $\displaystyle{||f_n||_{\infty}=1}$ . Αν $f_{n_k} \rightarrow f \in C([0,1]$ ομοιόμορφα, τότε πρώτα απ' όλα $f(1)=\lim f_{n_k}(1)=1$ . Τώρα, το σύνολο των δεικτών n_k

δεν μπορεί να είναι μη φραγμένο γιατί θα είχε υπακολουθία $n_{k_m} \to \infty$ . Αλλά τότε για κάθε $x\in [0,1)$ θα είχαμε $f(x)=\lim x^{n_{k_m}}=0$ . Αλλά αυτό αντιβαίνει στην συνέχεια της

στο

. Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η $f_{n_k}$ συγκλίνει), η (n_k)

είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία $f_{n_k}$ είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του

.

β) Μη συμπάγεια: Ουσιαστικά το είπαμε καθώς κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της f_n

έχει κατά σημείο όριο την μη συνεχή

που είδαμε, αρά δεν υπάρχει ομοιόμορφα συγκλίνουσα υπακολουθία της.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 20, 2020 2:37 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am
stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am 8) Έστω $S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ όπου $f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , .
Δείξτε ότι το είναι κλειστό και φραγμένο στον $C([0,1],\mathbb{R})$ όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον $C([0,1],\mathbb{R})$ .
α) Το φραγμένο τετριμμένο αφού $\displaystyle{||f_n||_{\infty}=1}$ . Αν $f_{n_k} \rightarrow f \in C([0,1]$ ομοιόμορφα, τότε πρώτα απ' όλα $f(1)=\lim f_{n_k}(1)=1$ . Τώρα, το σύνολο των δεικτών δεν μπορεί να είναι μη φραγμένο γιατί θα είχε υπακολουθία $n_{k_m} \to \infty$ . Αλλά τότε για κάθε $x\in [0,1)$ θα είχαμε $f(x)=\lim x^{n_{k_m}}=0$ . Αλλά αυτό αντιβαίνει στην συνέχεια της στο . Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η $f_{n_k}$ συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία $f_{n_k}$ είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .

β) Μη συμπάγεια: Ουσιαστικά το είπαμε καθώς κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία της έχει κατά σημείο όριο την μη συνεχή που είδαμε, αρά δεν υπάρχει ομοιόμορφα συγκλίνουσα υπακολουθία της.

Πολύ ωραία λύση. Ευχαριστούμε κύριε Λάμπρου.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 20, 2020 11:40 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η $f_{n_k}$ συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία $f_{n_k}$ είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .

Ας δούμε μία παραλλαγή του συλλογισμού σε αυτό το σημείο, που κάνει λίγο πιο καθαρό το συμπέρασμα:

Αφού η ακολουθία έχουν έχει πεπερασμένες το πλήθος τιμές, κάποια από αυτές επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Ας ονομάσουμε $n_{k_m}$ τους όρους της n_k

που παίρνουν αυτή την κοινή τιμή, δηλαδή $\displaystyle{ n_{k_1}= n_{k_2}= n_{k_3}=...}$ .

Είναι τότε $f= \lim f_{n_{k_m}} = f_{n_{k_1}}\in S$ , όπως θέλαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:25 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 11:40 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 9:58 am Τελικά οι δείκτες έχουν πεπερασμένες το πλήθος τιμές και άρα (άμεσο από την υπόθεση ότι η $f_{n_k}$ συγκλίνει), η είναι τελικά σταθερή ακολουθία. Οπότε η ακολουθία $f_{n_k}$ είναι επίσης τελικά σταθερή, και άρα συγκλίνει σε στοιχείο του .
Ας δούμε μία παραλλαγή του συλλογισμού σε αυτό το σημείο, που κάνει λίγο πιο καθαρό το συμπέρασμα:

Αφού η ακολουθία έχουν έχει πεπερασμένες το πλήθος τιμές, κάποια από αυτές επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Ας ονομάσουμε $n_{k_m}$ τους όρους της που παίρνουν αυτή την κοινή τιμή, δηλαδή $\displaystyle{ n_{k_1}= n_{k_2}= n_{k_3}=...}$ .

Είναι τότε $f= \lim f_{n_{k_m}} = f_{n_{k_1}}\in S$ , όπως θέλαμε.

Ναι και εγώ αυτό σκέφτηκα όταν διάβαζα την πρώτη σας απόδειξη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 21, 2020 12:55 am**

Καλησπέρα.Μια άλλη ιδέα είναι η ακόλουθη

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 20, 2020 1:22 am 8) Έστω $S = \{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ όπου $f_n: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , .
Δείξτε ότι το είναι κλειστό και φραγμένο στον $C([0,1],\mathbb{R})$ όμως δεν είναι συμπαγές.
Εδω παίρνουμε τη μετρική sup στον $C([0,1],\mathbb{R})$ .

Θεωρούμε τον τελεστή $\displaystyle{T:(C(\left[0,1\right]),||\cdot||_{\infty})\to (\mathbb{R},|\cdot|)\,,T(f)=\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x}$ ο οποίος είναι γραμμικός και ισχύει $\displaystyle{|T(f)|=\left|\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq \int_{0}^{1}|f(x)|\,\mathrm{d}x\leq \int_{0}^{1}||f||_{\infty}\,\mathrm{d}x=||f||_{\infty}}$ (άρα

φραγμένος)

Συνεπώς, ο

είναι μια συνεχής απεικόνιση μεταξύ μετρικών χώρων. Για κάθε $n\in\mathbb{N}$ υπολογίζουμε $\displaystyle{T(f_n)=\int_{0}^{1}f_n(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x^n\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{n+1}}$ .

Επομένως, αν το

ήταν συμπαγές στον $(C(\left[0,1\right],||\cdot||_{\infty})$ , θα ήταν και το T(S)

συμπαγές στον $(\mathbb{R},|\cdot|)$ . Όμως,

$T(S)=\left\{T(f_n)\in\mathbb{R}: n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{\dfrac{1}{n+1}\in\mathbb{R}: n\in\mathbb{N}\right\}$ , το οποίο δεν είναι συμπαγές

αφού δεν είναι κλειστό.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 21, 2020 10:42 am**

Ας δούμε και αλλιώς την μη-συμπάγεια στην άσκηση 8). Πάμε από τον ορισμό.

Προφανώς $\displaystyle{S\subset \cup _n B\left (f_n, \frac {1}{2}\right )}$ . Δεν μπορεί πεπερασμένα το πλήθος από τα $\displaystyle{B\left (f_n, \frac {1}{2}\right )}$ να καλύπτουν τον

γιατί τότε κάποια από τις μπάλες αυτές θα περιείχε άπειρες από τις f_n

. Έστω $\displaystyle{B\left (f_{n_0}, \frac {1}{2}\right )}$ η συγκεκριμένη μπάλα.
Τότε για άπειρα

θα ίσχυε για κάθε $x\in [0,1]$

$\displaystyle{|x^{n_0} - x^n| \le \sup_{0\le x \le 1} |x^{n_0} - x^n| = d(f_{n_0} , f_n} )< \frac {1}{2}}$ οπότε

$\displaystyle{ -\frac {1}{2} + x^n < x^{n_0}< \frac {1}{2}+ x^n}$

Παίρνοντας όριο $n\to \infty$ (μέσω των άπειρων

που προαναφέραμε), θα είχαμε

$\displaystyle{ -\frac {1}{2} \le x^{n_0} \le \frac {1}{2}}$ .

Αυτό είναι άτοπο γιατί παίρνοντας όριο $x\to 1$ θα είχαμε $\displaystyle{ -\frac {1}{2} \le 1 \le \frac {1}{2}}$ . Και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 22, 2020 3:13 pm**

9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι T_4

τοπολογικός χώρος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:02 pm**

stranger έγραψε: Κυρ Νοέμ 22, 2020 3:13 pm 9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι τοπολογικός χώρος.

Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ κοινότατα θεωρήματα που υπάρχουν ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας. Ο στόχος του φόρουμ δεν είναι να ξαναγράψουμε τα χιλιογραμμένα αλλά να μένουμε σε νέα πράγματα ή ενδιαφέροντα αλλά όχι τόσο γνωστά θέματα.

Όπως και να είναι, περιληπτικά (κύρια βήματα), έστω K,L

τα δύο ξένα κλειστά. Για κάθε $x\in K$ θεωρούμε τον αριθμό $d_x = \inf \{d(x,y) : \,y\in L\}$ . Από κλειστότητα είναι d_x>0

. Κάνουμε το ανάλογο για τα $y\in L$ , για να βρούμε αντίστοιχα $d_y{'}$ . Τότε τα $U= \cup_{x\in K} B(x, \frac {1}{3}d_x)$ και $V= \cup_{y\in L} B(y, \frac {1}{3}d_y{'})$ κάνουν την δουλειά, δηλαδή είναι ξένα, ανοικτά και διαχωρίζουν τα K,L

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:08 pm**

Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου. Είναι αρκετά γνωστό.
Θα προσπαθήσω από εδώ και πέρα οι ασκήσεις που βάζω να έχουν περισσότερο μαθηματικό ενδιαφέρον.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 20, 2021 2:35 pm**

stranger έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:25 pm
stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 4:51 pm 5) Έστω $D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}$ , $S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$ και $x \in D^2$ .
Δείξτε ότι ο $D^2/\{x\}$ είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν $x \in S^1$ .
Κανείς;

stranger έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 10:52 pm 7) Δείξτε ότι αν έχουμε μια συνάρτηση $f:X \rightarrow Y$ που είναι ομοτοπική ισοδυναμία τότε ο επαγώμενος ομομορφισμός $f_{*}: H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$ είναι ισομορφισμός για κάθε
Εδώ $H_{n}(X)$ είναι η ομάδα ομολογίας του τάξης .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 26, 2021 12:29 am**

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 4:51 pm 5) Έστω $D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}$ , $S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$ και $x \in D^2$ .
Δείξτε ότι ο $D^2/\{x\}$ είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν $x \in S^1$ .

Γεωμετρικά.
Αν το

ανήκει στο εσωτερικό του D^2

, τότε
Αν πάρουμε μια κλειστή καμπύλη στον D^2

που στο εσωτερικό της είναι το

, τότε δεν μπορούμε να πάρουμε μια συνεχή οικογένεια συνεχών καμπυλών που να μετασχηματίζει τη αρχική καμπύλη σε σημείο χωρίς να περάσει από το

(λόγω συνέχειας), άρα ο χώρος δεν είναι απλά συνεκτικός.
Αντίστροφα, αν το

είναι στο

, τότε ο χώρος $D^2-\{x\}$ είναι κυρτό υποσύνολο του επιπέδου και άρα είναι απλά συνεκτικός.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 26, 2021 9:48 am**

stranger έγραψε: Κυρ Νοέμ 22, 2020 3:13 pm 9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι τοπολογικός χώρος.

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_space

Επειδή σε κάθε μετρικό χώρο τα κλειστά είναι $G_{\delta }$
αυτός είναι completely normal

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2021 3:40 pm**

stranger έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 10:52 pm 7) Δείξτε ότι αν έχουμε μια συνάρτηση $f:X \rightarrow Y$ που είναι ομοτοπική ισοδυναμία τότε ο επαγώμενος ομομορφισμός $f_{*}: H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$ είναι ισομορφισμός για κάθε
Εδώ $H_{n}(X)$ είναι η ομάδα ομολογίας του τάξης .

Είναι το Πόρισμα 2.11

σελ.

στο βιβλίο του Hatcher

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 14, 2022 12:19 am**

10) Έστω ο τοπολογικός χώρος που προκύπτει από τον $\mathbb{R}^3$ αφαιρόντας

παράλληλες ευθείες.
1. Να βρέθει η θεμελιώδης ομάδα του χώρου.
2. Να βρεθούν όλες οι ομάδες ομολογίας του χώρου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2023 5:13 pm**

αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα \mathbb{R}^{m} και \mathbb{R}^{n} για m>n και n\geq 1 , n,m\epsilon \mathbb{N} δεν είνα ομοιομορφικά

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2023 5:21 pm**

bratan33 έγραψε: Τρί Μαρ 07, 2023 5:13 pm αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα \mathbb{R}^{m} και \mathbb{R}^{n} για m>n και n\geq 1 , n,m\epsilon \mathbb{N} δεν είνα ομοιομορφικά

Ναι αφού δύο ομοιομορφικοί χώροι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2023 10:50 pm**

stranger έγραψε: Δευ Νοέμ 14, 2022 12:19 am 10) Έστω ο τοπολογικός χώρος που προκύπτει από τον $\mathbb{R}^3$ αφαιρόντας παράλληλες ευθείες.
1. Να βρέθει η θεμελιώδης ομάδα του χώρου.
2. Να βρεθούν όλες οι ομάδες ομολογίας του χώρου.

Νομίζω πως αρχικά μπορούμε να δείξουμε ότι οι παρακάτω τοπολογικοί χώροι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι:
$\mathbb{R}^3\setminus \{\varepsilon_1\parallel \varepsilon_2 \parallel \ldots \parallel\varepsilon_n \} \cong \mathbb{R}\setminus \{x_1,\ldots, x_n\} \cong \vee_1^n S^1$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 08, 2023 9:33 pm**

giannispapav έγραψε: Τρί Μαρ 07, 2023 5:21 pm
bratan33 έγραψε: Τρί Μαρ 07, 2023 5:13 pm αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα \mathbb{R}^{m} και \mathbb{R}^{n} για m>n και n\geq 1 , n,m\epsilon \mathbb{N} δεν είνα ομοιομορφικά
Ναι αφού δύο ομοιομορφικοί χώροι είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι

Νομίζω ότι κάτι δεν λες καλά.
Για $m \neq n$ οι $\mathbb{R}^n$ και $\mathbb{R}^m$ είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι.
Είναι και οι δυο contractible.Δηλαδή ομοτοπικά ισοδύναμοι με ένα σημείο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 08, 2023 11:00 pm**

Νομίζω ότι κάτι δεν λες καλά.
Για $m \neq n$ οι $\mathbb{R}^n$ και $\mathbb{R}^m$ είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι.
Είναι και οι δυο contractible.Δηλαδή ομοτοπικά ισοδύναμοι με ένα σημείο.

Σίγουρα δεν τα λέω καλά. Ας κάνω άλλη μια προσπάθεια να γράψω αυτό που ήθελα να γράψω:

Αν $\phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ είναι ομοιομορφισμός, τότε έχουμε ομοιομορφισμό $\mathbb{R}^n-\{ x_0\}\cong \mathbb{R}^m-\{\phi(x_0)\}$ .

Επίσης οι χώροι $\mathbb{R}^n-\{ x_0\},S^{n-1}$ και $\mathbb{R}^m-\{\phi(x_0)\},S^{m-1}$ είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι. Άρα έχουμε ομοτοπική ισοδυναμία $S^{n-1}\cong S^{m-1}$ και άρα n=m

.

Ελπίζω να μη μου διαφεύγει κάτι.

mathematica.gr

Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας