Ασκήσεις Τοπολογίας

stranger · #21

4) Έστω

ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες T_1,T_2

στον

με $T_1 \subset T_2$ , έτσι ώστε ο

με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι T_1=T_2

.

stranger · #22

stranger έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm 2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;

Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον

ώστε $x \sim y$ ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το

και το

.
Έστω

η κλάση ισοδυναμίας του

.
Θα δείξω ότι A_x = X

για κάθε $x \in X$ . Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το A_x

είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον

, αφού ο

είναι συνεκτικός.
Έστω $x \in X$ . Αφού ο

είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή U_x

του

που είναι ομοιομορφική με τον $\mathbb{R}^n$ . Έστω

ένας ομοιομορφισμός από τo U_x

στον $\mathbb{R}^n$ .
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας B(f(x),1)

είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με $x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x$ .
Άρα τελικά έχουμε $A_x = \cup_{y \in A_x} W_y$ , άρα το A_x

είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το A_x

είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία $u_n \rightarrow z$ με $u_n \in A_x$ ισχύει $z \in A_x$ .
Άρα αφού $u_n \rightarrow z$ έχουμε ότι $u_n \in W_z$ για κάθε $n \geq n_0$ . Άρα $u_n \sim z$ και $u_n \sim x$ , άρα $x \sim z$ και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.

stranger · #23

5) Έστω $D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}$ , $S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$ και $x \in D^2$ .
Δείξτε ότι ο $D^2/\{x\}$ είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν $x \in S^1$ .

BAGGP93 · #24

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm 4) Έστω ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες στον με $T_1 \subset T_2$ , έτσι ώστε ο με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι .

Έστω $K\in T_2$ . Τότε το σύνολο $X\setminus K$ ως T_2

- κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο (X,T_2)

είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το $X\setminus K$ είναι και T_1

συμπαγές. Έστω λοιπόν $(U_i)_{i\in I}$ T_1

- ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Επειδή $T_1\subseteq T_2$ , η $(U_i)_{i\in I}$ είναι και T_2

- ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν $U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I$ ώστε $\displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}$
όπως θέλαμε. Αφού ο (X,T_1)

είναι συμπαγής και Haussdorf, και $X\setminus K$ συμπαγές, έπεται ότι $X\setminus K$ κλειστό, άρα $K\in T_1$ .

Τελικά, T_1=T_2

.

stranger · #25

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm 4) Έστω ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες στον με $T_1 \subset T_2$ , έτσι ώστε ο με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι .
Έστω $K\in T_2$ . Τότε το σύνολο $X\setminus K$ ως - κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το $X\setminus K$ είναι και συμπαγές. Έστω λοιπόν $(U_i)_{i\in I}$ - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Επειδή $T_1\subseteq T_2$ , η $(U_i)_{i\in I}$ είναι και - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν $U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I$ ώστε $\displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}$
όπως θέλαμε. Αφού ο είναι συμπαγής και Haussdorf, και $X\setminus K$ συμπαγές, έπεται ότι $X\setminus K$ κλειστό, άρα $K\in T_1$ .

Τελικά, .

sot arm · #26

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm 4) Έστω ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες στον με $T_1 \subset T_2$ , έτσι ώστε ο με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι .

Διαφορετικά, έστω $id : (X, T_{2}) \rightarrow (X, T_{1}$ η ταυτοτική . Αφού $T_{1} \subset T_{2}$ η

είναι συνεχής, άρα η εικόνα συμπαγούς συμπαγές και άρα κάθε συμπαγές στην $T_{2}$ είναι και στην $T_{1}$ και λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #27

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm 4) Έστω ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες στον με $T_1 \subset T_2$ , έτσι ώστε ο με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι .
Έστω $K\in T_2$ . Τότε το σύνολο $X\setminus K$ ως - κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το $X\setminus K$ είναι και συμπαγές. Έστω λοιπόν $(U_i)_{i\in I}$ - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Επειδή $T_1\subseteq T_2$ , η $(U_i)_{i\in I}$ είναι και - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν $U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I$ ώστε $\displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}$
όπως θέλαμε. Αφού ο είναι συμπαγής και Haussdorf, και $X\setminus K$ συμπαγές, έπεται ότι $X\setminus K$ κλειστό, άρα $K\in T_1$ .

Τελικά, .

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am Έστω λοιπόν $(U_i)_{i\in I}$ - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Επειδή $T_1\subseteq T_2$ , η $(U_i)_{i\in I}$ είναι και - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν $U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I$ ώστε $\displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}$

????????????????
Τετριμμένη διόρθωση αλλά για κάτι τέτοια μας πάνε μέσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #28

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm
stranger έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm 2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον ώστε $x \sim y$ ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το και το .
Έστω η κλάση ισοδυναμίας του .
Θα δείξω ότι για κάθε $x \in X$ . Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον , αφού ο είναι συνεκτικός.
Έστω $x \in X$ . Αφού ο είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή του που είναι ομοιομορφική με τον $\mathbb{R}^n$ . Έστω ένας ομοιομορφισμός από τo στον $\mathbb{R}^n$ .
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με $x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x$ .
Άρα τελικά έχουμε $A_x = \cup_{y \in A_x} W_y$ , άρα το είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία $u_n \rightarrow z$ με $u_n \in A_x$ ισχύει $z \in A_x$ .
Άρα αφού $u_n \rightarrow z$ έχουμε ότι $u_n \in W_z$ για κάθε $n \geq n_0$ . Άρα $u_n \sim z$ και $u_n \sim x$ , άρα $x \sim z$ και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.

Ετσι όπως είναι η απόδειξη υπάρχει πρόβλημα.
(όχι στην ουσία αλλά στην διατύπωση)
Για το κλειστό δεν χρειάζονται δίκτυα και τέτοια.
Ειναι εύκολο ότι το συμπλήρωμα είναι ανοικτό.

stranger · #29

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:44 pm
stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm
stranger έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm 2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον ώστε $x \sim y$ ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το και το .
Έστω η κλάση ισοδυναμίας του .
Θα δείξω ότι για κάθε $x \in X$ . Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον , αφού ο είναι συνεκτικός.
Έστω $x \in X$ . Αφού ο είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή του που είναι ομοιομορφική με τον $\mathbb{R}^n$ . Έστω ένας ομοιομορφισμός από τo στον $\mathbb{R}^n$ .
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με $x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x$ .
Άρα τελικά έχουμε $A_x = \cup_{y \in A_x} W_y$ , άρα το είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία $u_n \rightarrow z$ με $u_n \in A_x$ ισχύει $z \in A_x$ .
Άρα αφού $u_n \rightarrow z$ έχουμε ότι $u_n \in W_z$ για κάθε $n \geq n_0$ . Άρα $u_n \sim z$ και $u_n \sim x$ , άρα $x \sim z$ και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.
Ετσι όπως είναι η απόδειξη υπάρχει πρόβλημα.
(όχι στην ουσία αλλά στην διατύπωση)
Για το κλειστό δεν χρειάζονται δίκτυα και τέτοια.
Ειναι εύκολο ότι το συμπλήρωμα είναι ανοικτό.

Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #30

stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;

πρέπει να πάρεις $y\in A_{x}$
η κάτι τέτοιο.
Το

δεν το βάζεις στο παιχνίδι.

stranger · #31

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις $y\in A_{x}$
η κάτι τέτοιο.
Το δεν το βάζεις στο παιχνίδι.

Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι $A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y$ προφανώς αφού $y \in W_y$ για κάθε $y \in A_x$ .
Αν $w \in W_y$ με $y \in A_x$ τότε $w \sim y$ και $y \sim x$ , άρα $w \sim x$ που σημαίνει $w \in A_x$ .
Άρα $W_y \subset A_x$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #32

stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις $y\in A_{x}$
η κάτι τέτοιο.
Το δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι $A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y$ προφανώς αφού $y \in W_y$ για κάθε $y \in A_x$ .
Αν $w \in W_y$ με $y \in A_x$ τότε $w \sim y$ και $y \sim x$ , άρα $w \sim x$ που σημαίνει $w \in A_x$ .
Άρα $W_y \subset A_x$ .

Δεν κατάλαβες.
Το έχεις στο μυαλό σου άλλα δεν το γράφεις .
Το W_y

δεν υπάρχει μέσα στην απόδειξη σου.
Θα πρέπει να πάρεις $y\in A_{x}$
κλπ
Να σημειώσω ότι πολλές φορές κατι που έχουμε στο μυαλό μας και είναι προφανές
το μεταφέρουμε λάθος.
Αυτά που γράφονται εδώ θα διαβάζονται σε πολλά -πολλά χρόνια μετά .
(το ελπίζω).
Πρέπει να είναι κατά την γνώμη απόλυτα κατανοητά.

stranger · #33

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:34 pm
stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις $y\in A_{x}$
η κάτι τέτοιο.
Το δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι $A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y$ προφανώς αφού $y \in W_y$ για κάθε $y \in A_x$ .
Αν $w \in W_y$ με $y \in A_x$ τότε $w \sim y$ και $y \sim x$ , άρα $w \sim x$ που σημαίνει $w \in A_x$ .
Άρα $W_y \subset A_x$ .
Δεν κατάλαβες.
Το έχεις στο μυαλό σου άλλα δεν το γράφεις .
Γιατί $W_y \subset A_x$ .
Να σημειώσω ότι πολλές φορές κατι που έχουμε στο μυαλό μας και είναι προφανές
το μεταφέρουμε λάθος.
Αυτά που γράφονται εδώ θα διαβάζονται σε πολλά -πολλά χρόνια μετά .
(το ελπίζω).

Έχω αποδείξει(νομίζω αρκετά αυστηρά) ότι $W_y \subset A_x$ για κάθε $y \in A_x$ .
Άρα $\cup_{y \in A_x}W_y \subset A_x$ αφού για κάθε τέτοιο W_y

ισχύει $W_y \subset A_x$
Αυτό εννοείς; Αν όχι πες μου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #34

stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:41 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:34 pm
stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 6:11 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:56 pm
stranger έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:47 pm.
Δεν βρίσκω κανένα πρόβλημα. Θα μπορούσες να πεις που είναι το πρόβλημα;
πρέπει να πάρεις $y\in A_{x}$
η κάτι τέτοιο.
Το δεν το βάζεις στο παιχνίδι.
Το γράφω πιο αναλυτικά.
Έχουμε ότι $A_x \subset \cup_{y \in A_x}W_y$ προφανώς αφού $y \in W_y$ για κάθε $y \in A_x$ .
Αν $w \in W_y$ με $y \in A_x$ τότε $w \sim y$ και $y \sim x$ , άρα $w \sim x$ που σημαίνει $w \in A_x$ .
Άρα $W_y \subset A_x$ .
Δεν κατάλαβες.
Το έχεις στο μυαλό σου άλλα δεν το γράφεις .
Γιατί $W_y \subset A_x$ .
Να σημειώσω ότι πολλές φορές κατι που έχουμε στο μυαλό μας και είναι προφανές
το μεταφέρουμε λάθος.
Αυτά που γράφονται εδώ θα διαβάζονται σε πολλά -πολλά χρόνια μετά .
(το ελπίζω).
Έχω αποδείξει(νομίζω αρκετά αυστηρά) ότι $W_y \subset A_x$ για κάθε $y \in A_x$ .
Άρα $\cup_{y \in A_x}W_y \subset A_x$ αφού για κάθε τέτοιο ισχύει $W_y \subset A_x$
Αυτό εννοείς; Αν όχι πες μου.

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 2:57 pm
stranger έγραψε: Πέμ Νοέμ 12, 2020 7:08 pm
stranger έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 8:16 pm 2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.
Κανείς;
Έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον ώστε $x \sim y$ ανν υπάρχει μονοπάτι που συνδέει το και το .
Έστω η κλάση ισοδυναμίας του .
Θα δείξω ότι για κάθε $x \in X$ . Για να το δείξω αυτό είναι αρκετό να δείξω ότι το είναι ταυτόχρονα ανοιχτό και κλειστό στον , αφού ο είναι συνεκτικός.
Έστω $x \in X$ . Αφού ο είναι πολλαπλότητα(manifold), έχουμε ότι υπάρχει ανοιχτή περιοχή του που είναι ομοιομορφική με τον $\mathbb{R}^n$ . Έστω ένας ομοιομορφισμός από τo στον $\mathbb{R}^n$ .
Τότε η αντίστροφη εικόνα της μπάλας είναι ανοιχτό και συνεκτικό κατά τόξα με $x \in f^{-1}(B(f(x),1)= W_x \subset A_x$ .
Άρα τελικά έχουμε $A_x = \cup_{y \in A_x} W_y$ , άρα το είναι ανοιχτό.
Τώρα επειδή κάθε πολλαπλότητα είναι μετρικοποιήσιμη, για να δείξουμε ότι το είναι κλειστό αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία $u_n \rightarrow z$ με $u_n \in A_x$ ισχύει $z \in A_x$ .
Άρα αφού $u_n \rightarrow z$ έχουμε ότι $u_n \in W_z$ για κάθε $n \geq n_0$ . Άρα $u_n \sim z$ και $u_n \sim x$ , άρα $x \sim z$ και τελειώσαμε.

edit: Μπορούμε να το δείξουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε ότι οι πολλαπλότητες είναι μετρικοποιήσιμες, θεωρώντας δίκτυα αντί για ακολουθίες.

Σου παραθέτω την αρχική απόδειξη.
Που είναι;

stranger · #35

Δεν το έχω γράψει στην αρχική απόδειξη, επειδή νομίζω είναι εύκολο να το παρατηρήσει κάποιος.
Πάντως επειδή μας διαβάζουν και άτομα που θέλουν περισσότερη αυστηρότητα, εντέλει έχεις δίκιο.Έπρεπε να το γράψω.
Σε ευχαριστώ.

BAGGP93 · #36

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:41 pm
BAGGP93 έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am
stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 1:32 pm 4) Έστω ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες στον με $T_1 \subset T_2$ , έτσι ώστε ο με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf.
Δείξτε ότι .
Έστω $K\in T_2$ . Τότε το σύνολο $X\setminus K$ ως - κλειστό, θα είναι και συμπαγές, εφ'όσον ο είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Θα

αποδείξουμε ότι το $X\setminus K$ είναι και συμπαγές. Έστω λοιπόν $(U_i)_{i\in I}$ - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Επειδή $T_1\subseteq T_2$ , η $(U_i)_{i\in I}$ είναι και - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν $U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I$ ώστε $\displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}$
όπως θέλαμε. Αφού ο είναι συμπαγής και Haussdorf, και $X\setminus K$ συμπαγές, έπεται ότι $X\setminus K$ κλειστό, άρα $K\in T_1$ .

Τελικά, .

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:00 am Έστω λοιπόν $(U_i)_{i\in I}$ - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Επειδή $T_1\subseteq T_2$ , η $(U_i)_{i\in I}$ είναι και - ανοικτή κάλυψη του $X\setminus K$ . Λόγω συμπάγειας, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, δηλααδή υπάρχουν $U_i_{k}\,,i_1,...,i_k\in I$ ώστε $\displaystyle{X\setminus K=\bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}}$
????????????????
Τετριμμένη διόρθωση αλλά για κάτι τέτοια μας πάνε μέσα.

$X\setminus K\subseteq \bigcup_{j=1}^k U_{i_{j}}$

stranger · #37

stranger έγραψε: Παρ Νοέμ 13, 2020 4:51 pm 5) Έστω $D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}$ , $S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$ και $x \in D^2$ .
Δείξτε ότι ο $D^2/\{x\}$ είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν $x \in S^1$ .

Κανείς;

stranger · #38

6) Έστω

ένας μετρικός χώρος.
Δείξτε ότι ο

είναι δεύτερος αριθμήσιμος αν και μόνο αν είναι διαχωρίσιμος.

stranger · #39

7) Δείξτε ότι αν έχουμε μια συνάρτηση $f:X \rightarrow Y$ που είναι ομοτοπική ισοδυναμία τότε ο επαγώμενος ομομορφισμός $f_{*}: H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$ είναι ισομορφισμός για κάθε

Εδώ $H_{n}(X)$ είναι η ομάδα ομολογίας του

τάξης

.

#40

stranger έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 10:39 pm 6) Έστω ένας μετρικός χώρος.
Δείξτε ότι ο είναι δεύτερος αριθμήσιμος αν και μόνο αν είναι διαχωρίσιμος.

Ωραίο θεώρημα αλλά είναι στάνταρ θεωρία, και απλή, που υπάρχει σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Τοπολογίας. Την διδάσκονται όλοι
όσοι παρακολουθούν μαθήματα Τοπολογίας, οπότε δεν νομίζω ότι υπάρχει λόγος να ξαναγράψουμε τα χιλιογραμμένα.

Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Μέλη σε σύνδεση