mathematica.gr

Σας επισυνάπτω τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού "Ο ΘΑΛΗΣ".

Αλέξανδρος

Μπράβο Αλέξανδρε και τα ήθελα!! Γρήγορος όπως πάντα!

Με μια γρήγορη ματιά, δεν είναι απαιτητικά, σωστά; Πως τα χαρακτήρισαν οι μαθητές;

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ - Θέμα 2ο

Υπόδειξη

Το ΒΕΓΚ είναι εγγράψιμο διότι οι γωνίες ΒΕΔ,ΒΖΔ,ΒΓΔ είναι ίσες, οπότε (μετρικά με δύναμη) και το ΔΖΓΚ είναι εγράψιμο. Άρα οι γωνίες ΚΓΔ,ΚΖΔ είναι ίσες.Όμως και οι γωνίες ΒΖΑ και ΒΓΑ είναι ίσες. Έστι στο τρίγωνο ΖΒΛ το τμήμα ΖΔ είναι ύψος και διάμεσος.

Τη λύση αυτή κάναμε με το Θανάση Μπεληγιάννη(mathfinder) μόλις τώρα στο εξεταστικό στη Χαλκίδα. Καλή άσκηση ομολογουμένως και μέσης δυσκολίας.

Μπάμπης

Μια που δίνουμε λύσεις, θα δώσω τα αποτελέσματα στην Γ Λυκείου Θέμα 1ο

Λύστε την εξίσωση:

Με απλή παραγοντοποίηση και πράξεις, βρίσκουμε λύσεις: χ =0 , -1 , 1

αν κάποιος θέλει και την λύση, εύκολα μπορούμε να την γράψουμε

Β' Λυκείου - Θέμα 4

Υπόδειξη

Το τρίγωνο ΕΒΑ είναι ισοσκελές, όπως και το τρίγωνο ΜΑΒ .Άρα η ΕΜ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.Το Μ είναι επίσης μέσο του ΒΓ. Συνεπώς η ΜΕ και η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ.Αν θέλουμε το δικαιολογούμε και ως εφαρμογή του θεωρήματος του βόρειου πόλου(...).

Τη λύση κάναμε με το φίλο Θανάση Μπεληγιάννη την ώρα του διαγωνισμού.

Μπάμπης

Β Λυκείου:

Θέμα 1ο

Τετραγωνισζουμε κατα μέλη λαμβανοντας περιορισμό x,y,z>=2 Προσθέτουμε κατα μέλη τις 3 ισοτητες που προκύπτουν και βγαίνει x+y+z=6. Αντικαθιστουμε στην πρώτη το -y-z με το 6-χ και βγαίνει εξίσωση μονο με χ
Τελικά x=y=z=2



Θέμα 3ο

Με BCS ή αντικατάσταση του y με 4-x. Ισότητα αν-ν x=y=2

Θέμα 4ο

Η ΜΒ εφάπτεται του περικυκλου ΑΕΒ. Αρα ΜΒ=ΜΑ. Συγκρινουμε τριγωνα και βγαίνει ΜΕ διχοτομος αρα και μεσοκαθετος της ΑΒ. Όμως η διχοτομος μιας γωνίας και η μεσοκαθετος της απεναντι πλευράς στο τρίγωνο τέμνονται πάνω στον περιγγεγραμμένο κύκλο

A λυκείου Θέμα 2

Γ λυκείου 4ο θέμα :
Φέρνω τα ύψη Ο1Κ και Ο2Λ στα τριγωνα ΑΟ1Μ και ΒΟ2Μ. Τότε <ΒΑΜ=<ΑΟ1Κ και <ΑΒΜ=<ΒΟ2Λ.
Παίρνω νομο ημιτονων στο ΑΒΜ (1), ημΑΟ1Κ=ΚΑ/Ο1Α (2) και ημΒΟ2Μ=ΛΒ/Ο2Β (3)

Από (1)(2)(3) συμπεραίνω ότι άρα έπεται το ζητούμενο.

Να σημειώσω ότι το τρίτο θέμα της B λυκείου ήταν απλή εφαρμογή της ανισότητας Andreescu.

Πώς τα πήγατε,παιδιά στο διαγωνισμό;;;

(Και ειδική ερώτηση απευθύνω στους φίλους μου chris,kwstas12345 και dreamkiller)

Κατά τη γνώμη μου τα θέματα της B Λυκείου είχαν γεωμετρία λίγο δύσκολη για Θαλή,ίσως περισσότερο κατάλληλη για Ευκλείδη.Τι πιστεύετε;;;;

Φιλικά,
Νίκος

Γεια σας κι από μένα... (Παρακολουθώ το forum αρκετό καιρό αλλά δεν έτυχε να γραψω)
Καλούτσικα έγραψα, χοντρικα 3/4. Λοιπόν, τα 3 πρώτα θέματα της Β Λυκείου που έγραφα ήταν σχετικά απλά, αλλά το 4ο δεν το έβγαλα

Για το 3ο μπορούμε επίσης να αναπτύξουμε τα τετράγωνα και να πούμε ότι αρκεί να δείξουμε ότι 1/χ + 1/y >=1 , το οποίο με αντικατάσταση του χ ή του y και λίγες πράξεις καταλήγει σε (y-2)^2 >=0
Βέβαια έβγαινε πιο γρήγορα και με την περίφημη andrescu...

Το θέμα 3 της Γ Λυκείου δεν μοιάζει λίγο με το θέμα που είχε προτείνει ο Δημήτρης viewtopic.php?f=12&t=7703&p=43964&hilit ... %82#p43964; Το θέμα της άσκησης και όχι η λύση και τα ζητούμενα... που υπόψιν η λύση είναι καταπληκτική (64 αθλητές)!!

Εγώ πάντως αυτό σκέφτηκα με την μία όταν το είδα!!

πολύ ωραίο το 3ο θέμα Γ' Λυκείου

Μία λύση:

α)Οι αγώνες είναι και με επαγωγή στο , το βγαίνει πολλαπλάσιο του 7

β)

Άρα έγιναν 6 γύροι και δουλεύουμε ανάποδα:

6ος γύρος--> 2 παίκτες
5ος << --> 4 <<
4ος << --> 8 <<
3ος << --> 16 <<
2ος << --> 32 <<
1ος << --> 64 <<

Πιστευω οτι οι αλγεβρες ηταν ευκολες. Ελυσα 4/4. Μια ερωτηση: γινοταν να παρω κατευθειαν οτι "η διχοτομος μιας γωνίας και η μεσοκαθετος της απεναντι πλευράς στο τρίγωνο τέμνονται πάνω στον περιγγεγραμμένο κύκλο" ή επρεπε να το αποδειξω? εγω το απεδειξα.
1η μου δημοσιευση στο φορουμ.Καλη αρχη.
Αντωνης

Με συγχωρειτε. Παρελειψα να αναφερω οτι μιλαω για τα θεματα της Β' Λυκειου.
Ευχαριστω
Αντωνης

Καλά θεματάκια Πράγματι.
Γιά το 4ο θέμα της Γ λυκείου το απόλυτο πλεονέκτημα το έχει αυτός που γνωρίζει ότι η κοινή χορδή (ή η κοινή εφαπτομένη) διχοτομεί το ΑΒ (ριζικός άξονας-εφαρμογή) οπότε γίνεται πανεύκολη, αφού η γωνία <ΑΤΜ είναι οξεία (λόγω της διάταξης των ακτίνων) * .Μάλλον είναι γιά ενημερωμένους λύτες (η επιτροπή της Ε.Μ.Ε. προφανώς θα το έχει διδάξει στις συνεδρίες της σαν βασική γνώση που είναι) αφού στηρίζεται σε γνωστές διαδικασίες.

*Ο ριζικός άξονας καθίσταται η ευθεία της διαμέσου του τριγώνου ΜΑΒ.

S.E.Louridas

Έδινα Γ' Λυκείου σήμερα.
Έλυσα το 1ο αντικατάσταση.
Το 2ο δεν το έλυσα πλήρως αφού αντί να πάω με γωνίες πήγα με μετρικές σχέσεις και Μενέλαο και χάθηκα κάπως στην πορεία.
Το 3ο ήταν αρκετά εύκολο.
Το 4ο το πήγα καθαρά με γωνίες βασιζόμενος στο ότι απέναντι από τη μικρότερη γωνία είναι η μικρότερη πλευρά κ.λ.π..

Σε γενικές γραμμές ήταν όμορφα. Προσωπικά, ήθελα μία θεωρία αριθμών αντί για δεύτερη γεωμετρία αλλά εντάξει.

Καλά αποτελέσματα σε όλους!

Στο δεύτερο της Γ έχει κάνει κανείς την επίσημη λύση που δίνει η ΕΜΕ? Εγώ πάντως τη λύση του κ.Στεργίου στο 3ο post έχω...Παρεπιπτόντως το 3ο της Γ ήταν όμορφο επίσης(αλλά εύκολο).Ενα διαφορετικό τελείωμα είναι:

Αν το πλήθος των αγώνων τότε είναι
Όμως

Καλή επιτυχία σε όλους!!!


ΥΓ: Μόλις είδα το μύνημα του Νίκου πιο πάνω...Μια χαρά Νίκο όπως και εσύ φαντάζομαι

Χρήστο,σωστά φαντάζεσαι!!!

Κι εγώ τα πήγα πολύ καλά.Χαίρομαι που ισχύει το ίδιο και για σένα.