mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 22, 2010 10:12 pm**

Επισυνάπτω τα θέματα της Γ' Λυκείου για εξάσκηση.

Ο "Ευκλείδης" πλησιάζει, οπότε περιμένουμε τις λύσεις σας.

Ελπίζω να βρω το χρόνο και να μετατρέψω τα θεματα σε $\LaTeX$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 22, 2010 10:22 pm**

Μία προσπάθεια απάντησης για το θέμα 3

Έστω η $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\frac{{3x - 1}}{2}}},x \ge \frac{1}{3}$
$\forall {x_1},{x_2} \in R$ με ${x_1} < {x_2}$ είναι $\frac{{3{x_1} - 1}}{2} < \frac{{3{x_2} - 1}}{2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα άρα 1-1 οπότε αντιστρέφεται. Για την αντίστροφη θα έχουμε
$y = f\left( x \right) \Leftrightarrow {y^3} = \frac{{3x - 1}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{2{y^3} + 1}}{3}$
που σημαίνει ότι έχουμε να λύσουμε την εξίσωση
$\sqrt[3]{{\frac{{3x - 1}}{2}}} = \frac{{2{x^3} + 1}}{3} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f \uparrow } {f^{ - 1}}\left( x \right) = x \Leftrightarrow$

$\frac{{2{x^3} + 1}}{3} = x \Leftrightarrow 2{x^3} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = \frac{{-1 + \sqrt 3 }}{2}$

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Άλλαξα ένα πρόσημο στην τελευταία λύση -1+ρίζα δεύτερα και όχι 1+ ρίζα 3 δεύτερα. Ευχαριστώ τον Demetres για την επισήμανση του λάθους μέσω πμ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 22, 2010 10:39 pm**

Το 1 λίγο χαζούλικα... έτσι μου ήρθε
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{150}^{1 - x - y}} = 25} \\ {{{150}^{1 - y}} = 50} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{150}^{1 - x - y}} = 25} \\ {{{150}^{2\left( {1 - y} \right)}} = {{50}^2}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - x - y = {{\log }_{150}}25} \\ {2\left( {1 - y} \right) = {{\log }_{150}}{{50}^2}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow$

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{1 - x - y}}{{2\left( {1 - y} \right)}} = \frac{{{{\log }_{150}}25}}{{{{\log }_{150}}{{50}^2}}}} \\ {2\left( {1 - y} \right) = {{\log }_{150}}{{50}^2}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{1 - x - y}}{{2\left( {1 - y} \right)}} = \frac{1}{2}{{\log }_{50}}25} \\ {2\left( {1 - y} \right) = {{\log }_{150}}{{50}^2}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{50}^{\frac{{1 - x - y}}{{2\left( {1 - y} \right)}}}} = {{50}^{\frac{1}{2}{{\log }_{50}}25}}} \\ {2\left( {1 - y} \right) = {{\log }_{150}}{{50}^2}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow$

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{50}^{\frac{{1 - x - y}}{{2\left( {1 - y} \right)}}}} = \sqrt {25} } \\ {2\left( {1 - y} \right) = {{\log }_{150}}{{50}^2}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 5} \\ {2\left( {1 - y} \right) = {{\log }_{150}}{{50}^2}} \\ \end{array}} \right\}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 22, 2010 11:04 pm**

ΑΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΤΕ ΤΟ ΘΕΜΑ 2 ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΜΑ 2 ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ
ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΩΣΤΟ;;;;;

Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 22, 2010 11:08 pm**

xr.tsif έγραψε:ΑΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΤΕ ΤΟ ΘΕΜΑ 2 ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΜΑ 2 ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ
ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΩΣΤΟ;;;;;

Χρήστος

Και τα δυο σωστά είναι. Ζητάνε διαφορετικά πράγματα.

Στης Γ' μπορείς να χρησιμοποιήσεις και μιγαδικούς ενώ στης Β' δε χρειάζεται (είναι διαφορές τετραγώνων)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:47 am**

Να προσθέσω για την άσκηση 3 ότι οι μαθητές μας πρέπει να είναι λίγο πιο προσεκτικοί στους διεθνείς διαγωνισμούς. Και αυτό γιατί και η λύση $x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ θα θεωρείτο σωστή.

Στο εξωτερικό ως κυβική ρίζα ενός πραγματικού αριθμού

ορίζουν τον μοναδικό πραγματικό αριθμό

για τον οποίο ισχύει ότι y^3 = x

. Π.χ. χρησιμοποιούν τον συμβολισμό $\sqrt[3]{-8} = -2$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:54 am**

Δημήτρη στη συγκεκριμένη περίπτωση η ΕΜΕ στις επίσημες λύσεις την απέρριπτε (λόγω του ότι στην ελλάδα η σύμβαση με τις ρίζες είναι διαφορετική). Βέβαια για κάποιον ο οποίος δεν την απέρριπτε δεν υπήρχε βαθμολογική επίπτωση (έτσι είχε κανονιστεί αν δεν κάνω λάθος)

mathematica.gr

Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007

Re: Θέματα Ευκλείδη Γ' Λυκείου 2007