mathematica.gr

Δίνεται τρίγωνο και έστω σταθερό σημείο επί της πλευράς του Δια μεταβλητού σημείου επί της ευθείας φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των οι οποίες τέμνουν αντιστοίχως τις ευθείες στα σημεία Προσδιορίστε το σημείο ώστε να είναι

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θερμά συγχαρητήρια στους δημιουργούς αυτού του φόρουμ και εύχομαι από καρδιάς, ότι καλύτερο για τη συνέχεια.

Καλωσορίζουμε στην Λέσχη τον Κώστα Βήττα, Μηχανικό και εξαίρετο Γεωμέτρη.

Σπούδασε στο Πολυτεχνείο* την εποχή που εισαγωγικές ήσαν βαρβάτες, με όλη την σημασία της λέξης.

Μιχάλης Λάμπρου

* Είδαμε ένα δείγμα από την Άλγεβρα
πολυωνύμων στις εισαγωγικές του ΕΜΠ,
από τις ερωτήσεις που έθεσε στη Λέσχη ο
Ροδόλφος. Που να δούμε και την Γεωμετρία!

Παρεμπιπτώντος:Υπάρχουν τα παλιά (εννοώ παλιά) θέματα
των εισαγωγικών στη Φυσικομαθηματική και το ΕΜΠ; Καλό
θα ήταν να αναρτηθούν στη Λέσχη, για να τα δούμε...

Μια περιγραφική απάντηση στο πολύ καλό πρόβλημα.
Θα γράψω, όταν βρω λίγο χρόνο, αναλυτικά την απάντησή μου.

Κώστα σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου και όπως πολύ σωστά ανέφερες, έτσι βρίσκουμε το(α) σημείο(α)

Από το σχήμα σου φαίνεται ότι ίσως έχουμε διαφορετική λύση και με ενδιαφέρει να δω μία άλλη προσέγγιση.

Κώστας Βήττας.

Κώστα,
στο συνημμένο .pdf έχω αναλυτικά την απάντησή μου στην άσκηση.
Ενδεχομένως να υπάρχουν τυπογραφικά λάθη ή κάποια δύσκολα σημεία.
Για οποιαδήποτε παρατήρηση... θα είμαι εδώ!

Κώστα, σ' ευχαριστώ για τη λύση σου με στοιχειώδη μέσα. Παραθέτω και την εναλλακτική προσέγγιση που έχω υπόψη μου.

Έστω ότι έχει βρεθεί το σημείο και ότι είναι

Οι μεσοκάθετες των τέμνονται στο σημείο έστω το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετη ευθεία του ως το περίκεντρο του τριγώνου

Επίσης, ως παράλληλες αντιστοίχως των οι ίδιες ευθείες περνάνε από τα μέσα των αντιστοίχως.

Είναι εύκολο τώρα να δούμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, από με βάση το θεώρημα Θαλή.

Άρα το σημείο είναι σταθερό και από προκύπτει το ως το ζητούμενο σημείο του προβλήματος.

Ο κύκλος τέμνει την ευθεία και στο σημείο αντιδιαμετρικό του το οποίο επίσης έχει την ιδιότητα του προβλήματος, αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι και

Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, το πρόβλημα δεν έχει λύση όταν Η κορυφή του είναι ( συμβατικά ) στην περίπτωση αυτή, το εκφυλισμένο σε σημείο τμήμα

Αν τώρα το διατρέχει την ευθεία το σημείο κινείται επί της μεσοκάθετης του (σταθερή ευθεία) και ο γεωμετρικός τόπος του (τον οποίο γραφικά μόνο μπορώ να προσεγγίσω) ως σημείου επί της ευθείας και έτσι ώστε να είναι (όπου σταθερά σημεία), είναι μία περίεργη ''πατάτα'', ένα κλειστό δηλαδή σχήμα που δεν είναι κύκλος αλλά ούτε και έλλειψη.

Ο ίδιος γεωμετρικός τόπος προκύπτει για το σημείο αν θεωρήσουμε το ζεύγος των σταθερών σημείων , αντί των

Κώστας Βήττας.